maanantai 24. syyskuuta 2018

Liitutauluja, liitutauluja kaikkialla

Auditorio, jossa neljä liitutaulua.

Hae netistä kuvia matematiikasta ja matemaatikoista, ja saat kuvia liitutauluista. Liitutaulut ovat erottamaton osa matematiikan identiteettiä. Mikä parasta, tämä stereotypia on vieläpä varsin tosi!

Meidänkin matematiikan laitoksemme on aivan täynnä liitutauluja. Jokaisessa varteenotettavassa luentosalissa on neljä; jokaisessa harjoitusluokassa on kolme seinällistä tauluja. Yksi käytävä on vuorattu tauluilla opiskelijoita varten. Jos luento joudutaan pitämään fysiikan tai kemian laitoksen puolella, luennoitsija on aivan pulassa: eihän kaksi liitutaulua riitä, tai vielä pahempaa, salissa on valkotaulu!

Liitutaulun käyttämiseen on jopa jonkinlainen universaali standardi, jonka moni luennoitsija jakaa. Siinä esiintyjä laatikoi kunkin tuloksen ja todistuksen omaksi osakseen taulua, kunnes koko tila on laatikoiden peitossa ja alkaa strateginen pyyhkiminen. Sanon tätä universaaliksi, koska keväällä luin kiinnostavan sosiologian artikkelin, joka kuvaa tismalleen saman menetelmän!

Animaatio siitä, miten homma toimii.

Kuten artikkelikin esittää, uskon matematiikan ajattelemisen olevan jossain määrin kytkeytynyttä sen kirjoittamiseen. Liidun avulla abstraktista tulee konkreettista, ja paljon kouriintuntuvammalla ja ajattomammalla tavalla kuin tussilla. Siksi niin moni matemaatikko suosii valkoista mustalla.

Mutta joskus rakkaus liitutauluihin menee ehkä yli.

tiistai 11. syyskuuta 2018

Matemaatikkona työelämässä: Varian Medical Systems

Syöpäklinikan TrueBeam-hoitokone.

(Varianin moderni sädehoitokone Meilahden Syöpäklinikalla.)

Havaitsin tammikuisten rekrymessujen ohjelmasta firman, josta en ollut aiemmin kuullut. Se teki lääketieteellistä tekniikkaa ja vieläpä minulle tutuilla ohjelmointityökaluilla. Erittäin käymisen arvoinen ständi, ajattelin. Toukokuussa sitten astuinkin firman palkkalistoille kuluneen kesän ajaksi!

Koska tämä on blogi matematiikasta ja työelämä kiinnostanee monia, ajattelin esittää muutaman vinjetin siihen, millainen oli ensimmäinen kesätyöni matemaatikkona (ainakin melkein, kuten alla näet). Kaiken kukkuraksi kovinkaan moni ei tiedä, että Suomesta löytyy tällaistakin huippuosaamista — taikka sitä, että Varian rekrytoi ahkerasti.

(Huomautus: En ole saanut tästä tekstistä kompensaatiota eikä sitä ole tarkistettu. En voi käsitellä läheskään kaikkea näkemääni, enkä ota kantaa tekniikoiden tai tuotteiden kliiniseen kelpoisuuteen.)

torstai 23. elokuuta 2018

Erään hakukonehuijauksen anatomia

Yksi päätöksistäni heti bloggaamista aloittaessani oli esiintyä omalla nimelläni ja olla helposti tavoitettavissa. Jos vilkaiset Kuka olen? -sivuani, löydät liudan erilaisia tapoja saada asiasi tietooni. Tämä on ollut pelkästään hyvä päätös, koska sitä kautta olen päässyt kirjoittamaan muuallekin: viimeksi minulla oli suuri kunnia kirjoittaa Fermi-arvioista aineenopettajien Dimensio-lehdessä.

Tällä kertaa en kuitenkaan puhu näistä mahtavista tilaisuuksista. (Joita siis otan mielelläni vastaan!) Sen sijaan puhun siitä yhdestä, josta kieltäydyin. Ja koska tämä on blogi matematiikasta, tähän tarinaan kietoutuu yksi maailman merkittävimmistä algoritmeista. Ja kuten jokaiseen hyvään juttuun, tähänkin liittyy matriiseja.

maanantai 4. kesäkuuta 2018

Huonosti käyttäytyvät funktiot

Yläkoulussa opitaan, mitä funktio tarkoittaa. Alkuun kirjaimilla laskemisessa on reippaasti sulattelemista, mutta sen jälkeen homma alkaa helpottua. Muutaman lukiokurssin jälkeen kaavaan sijoittamiset, kuvaajan piirtämiset ja derivaatan nollakohdan etsimiset sujuvat kuin vettä vain. Tämä kuitenkin on valheellinen käsitys, joka jättää katseen ulkopuolelle ison osan maailmasta.

Useimmat funktiot nimittäin ovat kaikkea paitsi kivoja.

tiistai 29. toukokuuta 2018

Kesä. Lukuristikko.

Sininen taivas Kumpulan kampuksella.

Taas on se aika vuodesta, jolloin verrataan lukioita, verrataan lukiovertailuja, verrataan lukioiden vertailijoita erilaisiin elämänmuotoihin, vedetään herne nenään netissä koko lukiojärjestelmästä ja niin edelleen. Joka tapauksessa: jotkut saavat lakin, jotkut saavat todistuksen ja jotkut pääsevät lomalle. Ja sehän voi tarkoittaa vain yhtä asiaa: Nollakohdan perinteinen (kyllä se tässä kohtaa on jo traditio) lukuristikko on täällä taas!

Ajan hengen mukaisesti ristikkoa on jälleen kerran leikattu. (Viime kevään ristikot löytyvät täältä ja talviset täältä.) Nyt ristikoita on tasan yksi kappale, ja vaikeustasoltaan olen asemoinut sen lähemmäksi helppoa kuin hankalaa. Tähän malliin ei tarvitse siis etsiä ratkaisuja ohjelmoimalla, mutta niin saa toki tehdä! Jos tuntuu liian helpolta, niin laita kaikki apuvälineet pois ja ratko pelkästään kynällä ja paperilla.

Enemmittä puheitta PAINA TÄSTÄ JA NAUTI. Kun olet valmis, kannattaa vilkaista myös ratkaisua!

Tämän myötä toivotan myös hyvää kesää niille lukijoilleni, joita tällainen toivotus kiinnostaa. Nollakohta päivittyy rauhallisella tahdilla sitä mukaa, kun kokopäivätyöltä ehdin. Olen Varianilla tekemässä softaa sädehoidon suunnitteluun, ja se on pikku matemaatikosta aika jännää se!

tiistai 22. toukokuuta 2018

Vaarallinen veikkaus

Mikä luku tulee jonossa $1, 2, 4, 8, 16, \ldots$ seuraavaksi?

  1. $31$,
  2. $32$,
  3. $212$,
  4. ei mikään edellisistä.

tiistai 8. toukokuuta 2018

Mitä on todennäköisyys?

Todennäköisyyksien yhteenlaskukaava.

Yksi ekan opiskeluvuoden absurdeimmista kokemuksista tapahtui tammikuussa. Oli aivan tavallinen luento, kurssin Todennäköisyyslaskenta I ensimmäinen. Luvassa oli kurssi, jonka ohjelmasta ainakin puolet olisi lukiosta tutun jutun kertaamista.

Niinpä luennoitsija riipusti taululle tuttuja todennäköisyyden ominaisuuksia: todennäköisyys on aina nollan ja ykkösen välillä, tapahtuman ja sen vastatapahtuman todennäköisyyksien summa on $1$, ja niin edelleen. Selvää tavaraa, vaikka useampi lukio-opettaja kannustaakin välttämään yo-kokeen todennäköisyystehtävää.

Sitten luennoitsija totesi, että matemaatikoina yliopistossa meitä toki kiinnostaa, mistä nämä ominaisuudet tulevat. Siispä hän alkoi kirjoittaa todennäköisyydelle oikeaa määritelmää (tässä tiivistettynä):

Olkoon kokoelma perusjoukon $\Omega$ osajoukkoja $\mathcal F$ sigma-algebra. Nyt kuvaus $\mathrm P : \mathcal F \to \mathbb R$ on todennäköisyys, jos
  1. $\mathrm P(A) \geq 0$ kaikilla $A \in \mathcal F$,
  2. $\mathrm P(\Omega) = 1$,
  3. jos $A_i \in \mathcal F$ kaikilla $i \in \mathbb N_+$ ja $A_i \cap A_j \neq \emptyset$ kun $i \neq j$, niin \[ \mathrm P \left( \cap_{i=1}^\infty A_i \right) = \sum_{i=1}^\infty P(A_i). \]
Kolmikko $(\Omega, \mathcal F, P)$ on todennäköisyysavaruus.

Mitä ihmettä juuri tapahtui? Äsken puhuttiin kivoista laskukaavoista, nyt jostain joukko-opin infernaalisesta serkusta!

keskiviikko 18. huhtikuuta 2018

Avoin kirje tv-yhtiöille

Hyvät ohjelmapäälliköt, tuottajat ja muut lukijat: olemme kaikki kuulleet, kuinka tosi-tv tyhmentää kansaa ja laadukkaista tiedeohjelmista leikataan. Selvästi kuitenkin reality-ohjelmat kiinnostavat yleisöä, joten ymmärrän halunne keskittää tuotantoa niihin. En kuitenkaan keksi mitään syytä, miksi tunteet ja tiede olisivat toisensa poissulkevia.

Ajatusta havainnollistaakseni olen kehitellyt joitakin esimerkkejä konsepteista, jotka voisivat vedota niin syvimpään sohvaperunaan kuin paatuneimpaan matemaatikkoon.

Ei elämää

Seitsemän pitkän uran tehnyttä matemaatikkoa kokoontuu viettämään viikon syrjäisellä mökillä. Kullakin heistä on oma päivänsä, jona muut vieraat esittävät omat todistuksensa hänen ikimuistoisimmille lauseilleen.

Kun algebrikot, analyytikot ja loogikot kohtaavat toistensa klassikoiden merkeissä, ei kyyneliltä voi välttyä. Tämä on ehdottomasti vuoden suurin viihdeilmiö.

torstai 5. huhtikuuta 2018

Viime viikon maailmanloppu

Taas yksi avaruuskuva.

Sopivasti pääsiäisen alla muun muassa Helsingin Sanomat uutisoi iloisella otsikolla "Tutkijat laskivat: Maailmankaikkeus saattaa olla jo tuhoutumassa, emmekä edes ehtisi reagoida siihen". Uutinen kertoo tuoreesta tutkimusartikkelista, joka ennustaa juurikin otsikossa kuvaillun maailmanlopun skenaarion.

Itse olisin korostanut asian epätodennäköisyyttä ja taustaa ehkä enemmänkin, mutta minusta ja artikkelin kirjoittajasta vain jälkimmäinen on alansa ammattilainen. Artikkeli sitä paitsi on ihan hyvin kirjoitettu, ja vieläpä linkkaa alkuperäiseen tutkimukseenkin. Jutusta minulla ei siis ole mitään moitittavaa. Sen sijaan jäin miettimään, kuinka epätodennäköinen maailmanloppu oikeasti on.

Selasin siis läpi alkuperäisen tutkimusartikkelin, josta en tietenkään pelkällä lukiofysiikalla pysty sanomaan liikaa. (Sinua on varoitettu: teen varmasti monentasoisia virheitä!)

keskiviikko 28. maaliskuuta 2018

Karin karttakeppitehdas

Karin karttakeppi oyj

Mitä eroa on keskiarvolla ja mediaanilla — ja ennen kaikkea, kumpaa niistä nyt pitäisi katsoa? Varmaankin olet kuullut, että keskiarvojen tuijottaminen on huono idea. Toisaalta keskiarvoista puhutaan niin paljon, ettei mediaanikaan voi olla ihan ylivoimainen.

Kuten maailmassa yleensä, yhtä oikeaa vastausta ei ole. Asian selvittämiseksi siirtykäämme hämyiselle teollisuusalueelle...

Kari omistaa tehtaan, karttakeppitehtaan. Viime vuosikymmenen opetusteknologinen rakennemuutos on johtanut tehtaan toimintojen sopeuttamiseen, toisin sanoen firmassa työskentelee enää parikymmentä ihmistä ja heistäkin osa vajaita tunteja. Lähdetäänpä tutkimaan hieman palkkojen jakautumista eri keskilukujen avulla.

tiistai 13. maaliskuuta 2018

Lukuvinkki: We Have No Idea

Viimeisimmästä lukuvinkistä on kohtalaisesti aikaa ja tenttiviikon jäljiltä pidempi blogaus vasta hautumassa, joten eiköhän oteta käsittelyyn kirja! Tänään vuorossa on Jorge Chamin ja Daniel Whitesonin We Have No Idea (Riverhead Books, 2017).

Kirjan aiheena on maailmankaikkeuden fysiikka (ei juurikaan matematiikkaa) ja jos pidit Randall Munroen What If?/Entäs jos? -kirjasta, pidät tästäkin. Siinä missä Munroe vastaili hypoteettisiin kysymyksiin ja samalla sivusi jänniä puolia maailmasta, Cham ja Whiteson kertovat siitä, mitä emme vielä tiedä — ja matkan varrella aika monesta tunnetusta jutusta. Mitä on pimeä aine? Kuinka suuri universumi on? Mitä "aika" ja "avaruus" ylipäätään tarkoittavat?!

Parempia oppaita näihin eksistentiaalisiin kysymyksiin saa hakea. Whiteson on hiukkasfysiikan professori, Cham suosittu akateemisen elämän popularisoija. Lopputulos on loistava sekoitus tiukkaa asiaa selkeästi selitettynä ja mitä hulvattomimmilla esimerkeillä havainnollistettuna. Juuri mitään taustatietoja ei tarvita, mutta lukiofysiikankin läpikäynyt löytää paljon uutta. Tätä voin rehellisesti suositella jokaiselle, jota maailmankaikkeus kiinnostaa eikä kielimuuri aiheuta ongelmaa.

torstai 8. maaliskuuta 2018

Poliittinen torniodraama

Aikojen alussa, jolloin Neuvostoliitto näytti ikuiselta ja markalla sai litratolkulla lyijyllistä bensiiniä, oli kaukana Lapissa pieni jalasmökki. Mökkiin oli kokoontunut salamyhkäinen joukko ihmisiä kolmen puutapin ympärille. Yhdessä tapeista oli kuusikymmentäneljä erikokoista rengasta täydellisessä suuruusjärjestyksessä.

Hahmot alkoivat siirtää renkaita yksi kerrallaan tapista toiseen, aina pienemmät isompien päällä pitäen. Kun koko pino olisi siirretty toiseen tappiin, maailma järkkyisi: Paavo Väyrynen jättäisi politiikan lopullisesti!

Se näillä mystisillä hahmoilla myös on tarkoituksena. (Kuten olet saattanut lukea uutisista, he eivät ole ainoita.) Miten heidän tulisi siirtää renkaita, jotta tavoite täyttyisi mahdollisimman nopeasti? Kuinka kauan Paavolla on aikaa jäljellä? Ja ennen kaikkea: mitä ihmettä tämänkin tarinan kirjoittaja on hengitellyt?

Ensimmäisiin kahteen ratkaisu saattaa löytyä pienellä päättelyllä, joten otapa tauko lukemisesta! Kannattaa tosin kokeilla neljällä renkaalla, ja muista säännöt: vain yhtä rengasta voi liikuttaa kerrallaan eikä yksikään rengas saa olla itseään pienemmän renkaan päällä.

torstai 1. maaliskuuta 2018

Nollan ja ykkösen valtava väli

Lukuavaruus nollan ja ykkösen välissä.

Kaikki tietävät, että lukuja on äärettömästi. (No okei, eivät kaikki, mutta tällä oletuksella menen.) Tämä äärettömyys ei ole vain leveää vaan myös syvää: pelkästään nollan ja ykkösen välissä on aika monta lukua.

Otetaan vaikka nollan ja ykkösen keskiarvo $\frac 1 2$. Ja tämän ja nollan keskiarvo $\frac 1 4$. Ja siitä saadaan $\frac 1 8$. Ja niin edelleen, loputtoman pitkään, aina nollaa lähestyen muttei sitä ikinä tavoittaen. Siispä pelkästään nollan ja ykkösen välissä on äärettömän monta rationaalilukua!

Sana "ääretön" kuitenkin vihjaa ongelmallisesti, että kyse olisi yhdestä, intuitiivisesta asiasta. Todellisuudessa ääretön ei ole kumpaakaan, mokoma rontti.

torstai 22. helmikuuta 2018

Piin loputtomat desimaalit

Pii, tuo matematiikan kansikuvakasvo. Suunnilleen kaikki tietävät, että piin desimaalit jatkuvat loputtomiin ilman mitään kuviota. Jotkut opettelevat sitä ulkoa huvikseen. Jotkut syövät piirakkaa kansainvälisenä piipäivänä (epäkansainväliseen malliin 14.3., tosin itse suosin heinäkuuta).

Paitsi että pii on irrationaalinen eli loputon ja toistumaton, se on transsendentti. Se meinaa, että sitä ei voi laskea minkään helpon (tekniselle helpon määritelmälle) polynomin avulla. Siksi sen laskemiseen on monia kiinnostavampia tapoja. Tapoja, joiden ansiosta desimaaleja tunnetaan biljoonittain.

Tämä on yksi niistä harvoista matemaattisista aiheista, joissa käytännön tarpeet tyydytettiin kokonaan jo vuosisatoja sitten. Miljoonilla desimaaleilla ei tee yhtään mitään, ei edes sadoilla. Linnunradan kokoisen ympyrän halkaisijan voisi laskea protonin tarkkuudella käyttäen vain neljääkymmentä desimaalia. Tämäkin vastaa pelkästään teoreettisten tähtitieteilijöiden ja ehkä Elon Muskin tarpeisiin.

Elon Musk tahtoo vain rakennella raketteja.

Kuitenkin piin laskemisen tarina tarjoaa kiinnostavan poikkileikkauksen matematiikan historiasta.

keskiviikko 14. helmikuuta 2018

Miksei nollalla saa jakaa?

Ai miksikö nollalla ei saa jakaa? No ensinnäkin siksi, että niin ei saa tehdä. Toisekseen siksi, että kuvahaku sanalle "division by zero" tuottaa tämän tuloksen:

Google-kuvahaku: division by zero

Mikäli asia tuli tästä selväksi ja olisi parempaakin tekemistä, voit lopettaa lukemisen nyt. Helppoa! Mutta jos "siksi" ei kelpaa vastaukseksi, katsotaanpa asiaa hieman tarkemmin...

torstai 8. helmikuuta 2018

Yhteenlaskun salattu elämä

Liitutaululla kysymys: 1+1=2, mutta mitä tarkoittaa plus?

Ensimmäisenä matikasta tulee mieleen laskeminen. Matematiikan laitoksella aktiviteettina on kaikki paitsi laskeminen. Nyt kuitenkin lasketaan, mutta matemaatikon tapaan.

Matemaatikontaimi laskee $1+1=2$. Muutaman vuoden koulutuksen jälkeen otetaan askel käsitteellisempään suuntaan. Nyt paperissa lukeekin $1+x=2$ ja tehtävänä olisi selvittää $x$. Tämä hupi tunnetaan myös algebrana. Yliopistomatematiikassa askelia otetaankin sitten maratonin verran. Kun päästään abstraktiin algebraan, tutkintaan laskutoimituksessa joutuu $+$. Yhteenlasku voi tuntua maailman yksinkertaisimmalta asialta, mutta näin asian ei tietenkään tarvitse olla.

Keksitään näin alkajaisiksi uudentyyppinen yhteenlasku. Siinä missä tavanomainen 3000-luvun eaa. yhteenlasku toimii luvuilla, meidän versiomme toimii sanoilla. Sovitaan että $\oplus$ (kutsutaan tätä vaikka sananlaskuksi) liittää kaksi sanaa toisiinsa suomen kielen sääntöjen mukaisesti. Siis vaikkapa

\[ \text{makkara} \oplus \text{siili} = \text{makkarasiili}. \]

keskiviikko 31. tammikuuta 2018

Kuinka monta lumihiutaletta lumiukossa on?

Jonkin aikaa sitten Twitter-piirissäni käytiin tämänkaltainen keskustelu:

Ah, miten ihastuttava ja vuodenaikaan sopiva kysymys! Kiitos @Dragon_Dodo ja @SamHartburn! Kertauksena siis Fermi-arviolla, jollaisia tässäkin blogissa on sangen monta vilahtanut, tarkoitetaan arviota, joka kasataan kertomalla yhteen monta karkeaa arviota ja toivomalla, että virheet kumoavat toisensa. Mitä pidempi ketju, sitä parempi arviosta teoriassa tulee. (Tällä kertaa ketju tosin pysyy lyhyenä.)

Tämä on siitäkin mukava kysymys, että sitä pohtiessa saa edes kuvitella talvea. Kun aloin kirjoittaa tätä, Helsingissä ei ollut hiutalettakaan lunta. Sitten tuli Lumi-inferno™ (kehäkolmosen ulkopuolisella kielellä: tavallinen talvisää). Sitten lumi suli. Sitten taas... no, tarinan opetus on, että täällä ei ole kauheasti lunta. Siksi tämä koko arvio on tehty sisätiloissa matemaatikolle sopivalla teoreettisella tavalla.

Se ei tietenkään tarkoita, etteikö kokeellinen tutkimus olisi nastaa. Siksipä kannustan kaikkia kykeneviä rakentamaan lumiukon tieteen nimissä!

keskiviikko 24. tammikuuta 2018

Kannattaako Lotto plussata?

KUVAUS

Veikkaus työllistää matikkabloggaria. Olen kirjoittanut, kannattaako Lomatonni, kannattaako Kaikki tai ei mitään, kannattaako Lotto tuplata, kannattaako Lotto tuplata uusin säännöin, ja tässä sitä taas mennään. Uusin uudistus koko kansan suosikkipeliin on tuplauksen korvaaminen hieman erilaisella plussauksella.

Tuttuun tapaan tarkastelen ensin odotusarvoa eli sitä, kuinka paljon keskimäärin voittaa. Sen jälkeen kuitenkin teen jotain, mistä on ollut tarkoitus kirjoittaa jo pitkään: esitän ajatuksen sen puolesta, ettei lottoaminen ehkä olekaan täysin tyhmää. Se muuttaa analyysia merkittävällä tavalla.

torstai 11. tammikuuta 2018

Kuinka Bayesin kaava pelastaa noutajan, tutkijan ja siinä sivussa maailman

KEKSEJÄ

(Yumi/Flickr. CC-BY-NC 2.0.)

Kuvittele vastikään uunista vedetty, lämpöä, makeutta ja rakkautta hehkuva pellillinen vastustamattomia kaurakeksejä. Hetken keittiöstä poissa oltuasi huomaat, että pelliltä on kadonnut muutama suupala. Talossa on lisäksesi kaksi kolmevuotiasta: yksi labradorinnoutaja ja yksi ihmislapsi. Kumpaa syyttäisit?

Astut hieman lähemmäs rikospaikkaa ja huomaat pöydän eteen siirretyn tuolin. Labradori yltäisi pöydälle ilmankin, lapsi ei. Kumpaa nyt syyttäisit?

Kävelet naapurihuoneeseen, jossa lapsi pitää kädessään tuoretta kaurakeksiä, kovin läheisesti kadonnutta muistuttavaa sellaista. Kumpaa nyt syyttäisit?

Ihmisen arkinen päättely perustuu hypoteesien päivittämiseen havaintojen pohjalta. Aluksi lapsi ja koira voivat olla yhtä todennäköisesti syyllisiä, mutta tuoli on vahva aihetodiste ja rysän päältä kiinni jääminen sinetöi tapauksen. Tällainen ajattelu on kovin luonnollista. Saman voi pukea myös matemaattisempaan muotoon, ja silloin puhutaan bayesilaisesta päättelystä. Tässä on yksi työkalu täydentämään viimekertaisia p-arvoja.

maanantai 8. tammikuuta 2018

Mitkä ihmeen p-arvot, ja miksi ne ovat peestä?

Lego-tutkijoita.

(BRICK 101/Flickr. CC-BY-NC 2.0.)

Jos olet perehtynyt tieteelliseen tutkimukseen, olet varmaankin törmännyt p-arvon käsitteeseen ja siihen, kuinka niitä ei oikeastaan pitäisi käyttää. Jos aihe ei satu olemaan ennestään tuttu, tiivistettynä kyse on vuosikymmeniä jatkuneesta kränästä, joka menee osapuilleen näin:

— Tilastotieteilijät: Älkää käyttäkö p-arvoja, ne ovat valheellinen ja epäpätevä mittari!

— Kokeelliset tutkijat: Antaa kuulua parempi tapa.

Tietenkään asia ei ole ihan näin yksinkertainen. Sen ymmärtämiseksi pitää perehtyä siihen, kuinka tiedettä oikein tehdään. Minä tietenkin olen teoreettisena opiskelijana harvinaislaatuisen huono opas, muttei anneta sen haitata, kunhan pidetään mielessä, että kyseessä on yksinkertaistus!

Ratkaisut jouluristikoihin

Onnea voittajille kaikille osallistuneille, seuraavaan ristikkoon! / Congratulations to all the winners who tried this out, till the next crossnumber!