Paljon iloa osittaisintegroinnista

Pitkän matematiikan oppimäärä yllättää. Mikä aikanaan oli vain näppärä temppu vaikeiden laskujen laskemiseen, onkin avain todella nerokkaaseen ja kauniiseen teoriaan.

Tai ainakin yllätti. Niin pitkälti kuin minä tiedän, oppikirjoissa ei enää puhuta tästä kaverista. Pitkää matikkaa, kuten montaa muutakin ainetta, on viime vuosina kevennetty. Käsinlaskemista on korvattu ohjelmistojen käyttämisellä, joten tätäkään työkalua ei enää tarvita.

Kyse on siis osittaisintegroinnin kaavasta

\[ \int_a^b f(x)g'(x) \,\mathrm dx = \bigg/_{\hspace{-0.6em}a}^{\,b} f(x)g(x) - \int_a^b f'(x)g(x) \,\mathrm dx. \]

Siis mikä, ja miksi tästä on valtavasti iloa?

(Varoituksen sanana: tässä tekstissä pyöritellään integraaleja. Ensi kerralla taas helpompaa kamaa!)

Teekkarin ja teoreetikon ylin ystävä

Matemaatikkona olemiseen kuuluu myös kulttuurista tuntemusta kuten alalla olijoiden yhteistä sanastoa. Yksi tärkeimmistä tällaisista sanoista on käsienheiluttelu. Se viittaa siihen, mitä tilastotieteilijät, fyysikot ja teekkarit parhaiten tekevät eli tarkkojen perustelujen sivuuttamiseen.

Vaikka sanaa toki voi käyttää myös loukkauksena, mielestäni käsienheiluttelussa ei ole mitään pahaa. Tosimaailmassa nimenomaan täytyy ohittaa yksityiskohtia ja tehdä valistuneita arvauksia, jos aikoo saada jotain aikaiseksi. Ja joskus käsienheiluttelu johtaa jonkin suuremman äärelle. Tässä tapauksessa se vie syvälle funktioiden ymmärtämiseen tavalla, josta niin diplomi-insinööri kuin akateemikkokin tykkää.

Viime viikon maailmanloppu

Sopivasti pääsiäisen alla muun muassa Helsingin Sanomat uutisoi iloisella otsikolla "Tutkijat laskivat: Maailmankaikkeus saattaa olla jo tuhoutumassa, emmekä edes ehtisi reagoida siihen". Uutinen kertoo tuoreesta tutkimusartikkelista, joka ennustaa juurikin otsikossa kuvaillun maailmanlopun skenaarion.

Itse olisin korostanut asian epätodennäköisyyttä ja taustaa ehkä enemmänkin, mutta minusta ja artikkelin kirjoittajasta vain jälkimmäinen on alansa ammattilainen. Artikkeli sitä paitsi on ihan hyvin kirjoitettu, ja vieläpä linkkaa alkuperäiseen tutkimukseenkin. Jutusta minulla ei siis ole mitään moitittavaa. Sen sijaan jäin miettimään, kuinka epätodennäköinen maailmanloppu oikeasti on.

Selasin siis läpi alkuperäisen tutkimusartikkelin, josta en tietenkään pelkällä lukiofysiikalla pysty sanomaan liikaa. (Sinua on varoitettu: teen varmasti monentasoisia virheitä!)

Nollan ja ykkösen valtava väli

Kaikki tietävät, että lukuja on äärettömästi. (No okei, eivät kaikki, mutta tällä oletuksella menen.) Tämä äärettömyys ei ole vain leveää vaan myös syvää: pelkästään nollan ja ykkösen välissä on aika monta lukua.

Otetaan vaikka nollan ja ykkösen keskiarvo $\frac 1 2$. Ja tämän ja nollan keskiarvo $\frac 1 4$. Ja siitä saadaan $\frac 1 8$. Ja niin edelleen, loputtoman pitkään, aina nollaa lähestyen muttei sitä ikinä tavoittaen. Siispä pelkästään nollan ja ykkösen välissä on äärettömän monta rationaalilukua!

Sana "ääretön" kuitenkin vihjaa ongelmallisesti, että kyse olisi yhdestä, intuitiivisesta asiasta. Todellisuudessa ääretön ei ole kumpaakaan, mokoma rontti.

Piin loputtomat desimaalit

three.onefouronefivenine.com

Pii, tuo matematiikan kansikuvakasvo. Suunnilleen kaikki tietävät, että piin desimaalit jatkuvat loputtomiin ilman mitään kuviota. Jotkut opettelevat sitä ulkoa huvikseen. Jotkut syövät piirakkaa kansainvälisenä piipäivänä (epäkansainväliseen malliin 14.3., tosin itse suosin heinäkuuta).

Paitsi että pii on irrationaalinen eli loputon ja toistumaton, se on transsendentti. Se meinaa, että sitä ei voi laskea minkään helpon (tekniselle helpon määritelmälle) polynomin avulla. Siksi sen laskemiseen on monia kiinnostavampia tapoja. Tapoja, joiden ansiosta desimaaleja tunnetaan biljoonittain.

Tämä on yksi niistä harvoista matemaattisista aiheista, joissa käytännön tarpeet tyydytettiin kokonaan jo vuosisatoja sitten. Miljoonilla desimaaleilla ei tee yhtään mitään, ei edes sadoilla. Linnunradan kokoisen ympyrän halkaisijan voisi laskea protonin tarkkuudella käyttäen vain neljääkymmentä desimaalia. Tämäkin vastaa pelkästään teoreettisten tähtitieteilijöiden ja ehkä Elon Muskin tarpeisiin.

Kuitenkin piin laskemisen tarina tarjoaa kiinnostavan poikkileikkauksen matematiikan historiasta.

Miksei nollalla saa jakaa?

Ai miksikö nollalla ei saa jakaa? No ensinnäkin siksi, että niin ei saa tehdä. Toisekseen siksi, että kuvahaku sanalle "division by zero" tuottaa tämän tuloksen:

Mikäli asia tuli tästä selväksi ja olisi parempaakin tekemistä, voit lopettaa lukemisen nyt. Helppoa! Mutta jos "siksi" ei kelpaa vastaukseksi, katsotaanpa asiaa hieman tarkemmin...

Lisää liikkeen mahdottomuudesta

(Kuva: Niccie King (Flickr). CC-BY 2.0.)

Mainitsin syyskuussa lyhyesti 450 eaa. tienoilla filosofoineen Zenon Elealaisen todistuksesta, jonka mukaan liike on mahdotonta. Palataan tutkimaan asiaa vähän tarkemmin, koska Zenon ei esittänyt ainoastaan yhtä todistusta väitteelleen. Antiikin kreikkalaisilla ei ollut muodollista määritelmää jatkuvuudelle ja raja-arvoille, vaikka niiden intuitiivisesta ymmärryksestä on paljon viitteitä myös matemaattisissa teksteissä — he muun muassa määrittivät joidenkin pyörähdyskappaleiden tilavuuksia lähes integrointia muistuttavalla menetelmällä.

Lukuvinkki: Things to Make and Do in the Fourth Dimension

(Oma kopioni kirjasta on jenkkiversio: alkuperäinen brittiteos näyttää hieman erilaiselta.)

Sarja äärettömyydestä on hyvä päättää kertomalla loistavasta lähteestä lisätiedolle. Matt Parkerin Things to Make and Do in the Fourth Dimension (mikä sanahirviö!) on sellainen, vaikka äärettömyys muodostaa vain pienen osan teoksesta.

Eräs iso luku

Menneen puolentoista viikon aikana olemme leikkineet äärettömyydellä sekä suuressa että pienessä merkityksessä. Ääretön on tavoittamattomissa, jotain mitä ei voi edes yrittää konkreettisesti ajatella. Paljon parempi tapa räjäyttää mielensä on tutkia jotakin pienempää, vaikkapa Grahamin lukua.

Sisukkaasti etenevä sarja

Päivän kysymys: kummalla näistä loputtomista lukujonoista on suurempi summa?

\[ \begin{align*} A &= 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \ldots\\ B &= 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \ldots \end{align*} \]

Kuten kysymyksen asettelusta saattaa arvata, vastaus ei ole B. Oikeastaan "suurempi" ei ole oikea sana, koska kummankin summa on ääretön. Kysymys onkin, miksi A, jonka termit pienenevät nopeasti kohti nollaa, on suuruudeltaan ääretön.

Hajaantukaa, täällä ei ole mitään nähtävää

Kuinka paljon on $$A = 1 - 1 + 1 - 1 + \ldots$$?

Helppoa: $$A = (1 - 1) + (1 - 1) + \ldots = 0$$.

Toisaalta: $$A = 1 + (-1 + 1) + (-1 + 1) + \ldots = 1$$.

Ja vielä pahempaa, kun lasketaan $$A + A$$ pienellä twistillä:

\[ \begin{align*} 1 - &1 + 1 - 1 + \ldots\\ + \, &1 - 1 + 1 - \ldots \end{align*} \]

$$2A = 1$$ eli $$A = \frac{1}{2}$$! Jotenkin ihmeellisesti kokonaisista ykkösistä saatiin puolikas!

Mikä sitten on oikea vastaus? Ei mikään. Kyseessä on hajaantuva sarja, jollaiselle ei voida määrittää summaa. Suurin osa vuosisatojen varrella kehitetyistä summausmenetelmistä päätyy lopputulokseen $$\frac{1}{2}$$, mutta sekään ei tarkoita että vastausta olisi olemassa. Jos jokin pitäisi valita, puolikas olisi luultavasti paras vaihtoehto.

Tämän sarjan esitti matematiikan professoriksi edennyt italialaismunkki Guido Grandi vuonna 1703. Omassa käsittelyssään hän päätyi siihen, että tulos oli paitsi puolikas, ristiriita myös todisti maailman luomisen tyhjästä. Siitä kohtaa todistusta kyllä puuttui välivaihe tai kaksi.

Ensi kerralla: tasapainoilemme äärettömyyden rajoilla.

Tarpeeksi lähelle kun menee...

Tällä väitteellä saa sopivanlaisessa porukassa aikaan keskustelua:

\[ 0.999\ldots = 1 \]

Kuinka niin siinä voi olla yhtäsuuruusmerkki? Ensimmäinen alkaa nollalla ja toinen ykkösellä! Kyllähän ne voivat olla äärettömän lähellä toisiaan, mutta eivät kai ne sama luku voi olla?

Kyllä vaan voivat.

Hilbertin suurehko hotelli

Ensinnäkin, pieni huomautus. Hilbertin hotelli on erittäin klassinen esimerkki, joka esiintyy jotakuinkin jokaisessa populaarimatematiikkaa käsittelevässä kirjassa. Mikäli olet korviasi myöten täynnä Hilbertin hotellia, voit esimerkiksi pelata Christian Lawson-Perfectin alkulukupeliä. Oikeastaan, sitä kannattaa pelata muutenkin.

Tällä ja muutamalla kertaa hyppäämme äärettömyyksien jännittävään maailmaan. Vaikka en kovin syvälle siihen osaa johdattaakaan, aihe on mielestäni äärettömän (anteeksi) monipuolinen ja kiehtova, ajoittain arkijärjen vastainen mutta silti täydellisen looginen. Ensimmäinen kysymys: kuinka suuri on ääretön?