torstai 27. huhtikuuta 2017

Pienten lukujen lait

Isojen lukujen laki on vakavamielinen ja tärkeä todennäköisyyksien pääsääntö: todennäköisyydet toimivat vasta isossa mittakaavassa. Tuhannesta kolikonheitosta noin puolet on kruunia, kahdesta heitosta puolestaan on paha mennä sanomaan. Pienten lukujen laki, tai itse asiassa kaksi lakia, on vähemmän vakava mutta niin ikään olennainen:

  1. Pieniä lukuja ei ole riittävästi vastaamaan niihin kohdistettuja odotuksia.
  2. Vaikka kaksi lukua näyttäisivät samalta, asia ei välttämättä ole niin!
Richard Guy

Guy esitteli nämä lukuisilla esimerkeillä kahdessa artikkelissa, joihin linkitän tämän tekstin lopussa. Annan kuitenkin muutaman esimerkin ihan itse.

tiistai 25. huhtikuuta 2017

Elämän peli

Selaimesi ei näytä tukevan <canvas>-elementtiä, joka vaaditaan tähän demoon.

Jokainen musta ruutu on solu. Solu syntyy, jos sen ympärillä on kolme solua ja kuolee, jos naapureita on alle kaksi tai yli kolme. Nämä yksinkertaiset säännöt esitti brittimatemaatikko John H. Conway (1937–) vuonna 1970. Siitä alkaen Game of Life on kiinnostanut ihmisiä — pelinä, jota voi vain katsella sen alettua.

Jo ylläolevaa kokeilemalla on helppo löytää kuvioita, jotka eivät koskaan kuole tai jotka liikkuvat pitkin kenttää. Vastoin ensimmäisiä odotuksia löytyi myös kuvio, joka "ampuu" loputtomasti uusia liikkuvia kuvioita. (Kuten usein, Wikipedian kuvat aiheesta ovat erinomaisia.)

Itse asiassa kuvioista voi koota kaikki tarvittavat loogiset osat: Game of Life on tietokoneiden tavoin Turing-täydellinen eli sillä pystyy laskemaan mitä tahansa laskettavissa olevaa. Viimeinen puuttuva palanen oli kuvio, joka pystyisi "lisääntymään" eli luomaan täydellisen kopion itsestään. Pitkän aikaa tiedettiin, että sellainen on olemassa, ja lopulta sellainen rakennettiin vuonna 2013. Peli alkoi olla nimensä veroinen.

Pelin filosofisen merkityksen suhteen voi mennä täysin överiksi, mutta kiistämättä se on vaikuttanut moneen alaan. Jos näinkin yksinkertainen, kaksiulotteinen ja mustavalkoinen soluautomaatti pystyy mihin vain, entä monimutkaisemmat järjestelmät? Kuinka vähän tarvitaan, jotta voidaan puhua elämästä?

Puhumattakaan siitä, että peliä voisi katsella loputtomiin. Solut elävät elämäänsä, muodostavat kuvioita ja jatkavat vaikka kuinka pitkään. Tässä toteutuksessa reunat on kytketty toisiinsa sekä pysty- että vaakasuunnassa. (Harjoitus: mikä geometrinen kappale on kyseessä?)

perjantai 21. huhtikuuta 2017

Kalkkunoita ja ihmisiä

SE ON KALKKUNA

(David Goehring/Flickr. CC-BY 2.0.)

Viimeviikkoinen analyysini pääsiäispupun liikehdinnästä muistutti ei niin etäisesti Randall Munroen What If? -blogia ja samannimistä kirjaa. (Pikalukuvinkki: Lue. Kirja löytyy myös suomeksi.) Kirjassa esitellään myös joukko erityisen kummallisia ja huolestuttavia kysymyksiä, joihin ei anneta vastausta. Tämä teksti vastaa niistä yhteen — eikä säästele imitoinnissa.

Entä jos... joka päivä jokaisella ihmisellä olisi prosentin todennäköisyys muuttua kalkkunaksi ja jokaisella kalkkunalla prosentin todennäköisyys muuttua ihmiseksi?

(Alkuperäinen kysyjä: Kenneth)

keskiviikko 19. huhtikuuta 2017

Ristinollan matemaattinen sisarus

(Esimerkki kolmesta vuorosta kahden ympyrän peliä.)

Brittimatemaatikko John H. Conway (1937–) tunnetaan ennen kaikkea Game of Life -pelistään, mutta se ei suinkaan ole hänen ainoa pelikeksintönsä. Hänen ja Mike Patersonin kehittämä Sprouts eli Versot on loistava korvike kahden hengen ristinollalle. Itselleni se oli uusi tuttavuus, eikä kirjahyllystä löytynyt pelikirja (ymmärrettävästi) maininnut pelin matemaattista taustaa tai merkitystä.

Pelilauta valmistellaan piirtämällä paperille muutama ympyrä. Kukin pelaaja piirtää vuorollaan kahden ympyrän välille viivan ja johonkin kohtaan sitä uuden ympyrän. Viivat saavat mutkitella ja päättyä samaan ympyrään kuin alkavat, mutta ne eivät saa koskettaa toisiaan. Kun ympyrään koskee kolme viivaa, siihen ei voi enää liittää uusia viivoja. Pelin häviää se, joka ei enää voi piirtää uutta viivaa.

Kuten ristinollaan, tähänkin peliin on optimaalinen strategia. Pelin nerokkuus tuleekin siitä, että säännöt ovat helposti laajennettavissa. Alussa piirrettyjä pisteitä voi olla kuinka monta tahansa yhdestä alkaen, ja se paitsi vaikuttaa täydellisesti pelatun pelin voittajaan, myös vaikeuttaa peliä reippaasti. Toinen vaikeuttava sääntömuutos on kääntää voittoehto: se häviääkin, joka piirtää viimeisen viivan.

Osa pelin analyysistä on jopa suhteellisen helppoa. Kuinka monta kierrosta peli voi enintään jatkua? Entä vähintään kuinka monta?

perjantai 14. huhtikuuta 2017

Tapaus Pääsiäispupu

Värikkäitä munia.

(Cowgirl Jules/Flickr. CC-BY-NC 2.0.)

Taas on se aika vuodesta, kun ihmiset kokoontuvat juhlistamaan kansainvälistä suklaaherkku- ja maataloustuotejuhlaa (johon jostain syystä liitetään myös puurakenteessa roikkuva puolialaston mies). Olennaisena osana monen pääsiäiseen kuuluu suklaamunia toimittava kotieläin, mutta tapoja onkin sitten enemmän. Onko se pupu, kukko vai joku muu? Milloin ja montako kertaa se vierailee? Ovatko munat hatussa, korissa vai hukassa?

Jokajouluisen partasuun toilailuista on kirjoitettu paljon, mutta pääsiäisen yöllisiin tapahtumiin on perehdytty harvemmin. Yritän tässä tekstissä selventää joitakin itselleni heränneitä kysymyksiä. Montako munaa ilmestyy? Kuinka pitkän reissun kukko tekee? Ja joutuuko pupu menemään samaa vauhtia kuin pukin porot?

Vastatakseni kysymyksiin tein muutaman suuntaa-antavan Fermi-arvion. Menetelmänä on siis yksinkertaisesti tehdä joukko valistuneita arvauksia ja toivoa virheiden kumoavan toisensa. Toivoisin lukujen olevan ainakin suuruusluokan tarkkuudella oikein. Mitä fysiikkaan tulee, olisi kiinnostavaa kuulla oikeasti alaa ymmärtävän tuloksia.

Selvyyden vuoksi puhun vain pääsiäispupusta, jolla on kukosta poiketen oma Wikipedia-sivu. Uskoisin näiden kahden olevan vertailukelpoisia, joten ainakin minä korvaan lukiessani pupun kukolla. Lisäksi rajoitan tarkastelun Suomen rajojen sisäpuolelle tietojenkeräämisen helpottamiseksi.

Kuinka monta munaa?

Ihan ensimmäiseksi pitää selvittää, montako munaa pupujussi kätkee. S-ryhmä mainostaa tuoreimmassa Yhteishyvä-lehdessään myyvänsä 7,7 miljoonaa suklaamunaa joka vuosi. Koska S-kaupalla on noin puolet suomalaisesta markkinasta, sovitaan kokonaismyynniksi pyöreät 15 miljoonaa munaa. Oletan jänön hankkivan tuotteet kaupasta, luultavasti sellaisesta jonka bonusohjelma tarjoaa ruoat loppuvuodeksi.

tiistai 11. huhtikuuta 2017

Täydellisten lukujen mysteeri

28 yksikköä pitkä palkki jaettuna eri tavoin osiin ja näistä osista koottu 28 yksikön palkki.

(Luvun 28 täydellisyys visuaalisemmassa muodossa.)

Mikäli sortuisin inhimillistämään lukuja, näkisin täydelliset luvut turhamaisena kaksosparina, joka ei katso omia napojaan pidemmälle. Vertaus on enemmän kuin hieman ontuva, mutta siitä viis täydellisen luvun käsite on huikea: todella yksinkertainen, todella muinainen ja edelleen arvoituksellinen.

Lukua sanotaan täydelliseksi, mikäli se on itseään pienempien tekijöidensä summa. Esimerkiksi $28$ on täydellinen, koska se on jaollinen luvuilla $1$, $2$, $4$, $7$ sekä $14$, ja näiden summa on $1+2+4+7+14=28$. Tämä tiedettiin jo antiikin Kreikassa.

Jos tämä kuulostaa hyvältä ainekselta numerologiahuuhailulle, olet aivan oikeassa: täydellisiin lukuihin on liitetty mystisiä ominaisuuksia kautta historian. Miksi muutenkaan Kuu kiertäisi Maan 28 päivässä ja kristinuskon Jumala käytti luomiseen kuusi päivää? Näillä luvuilla on onneksi myös oikeasti matemaattisesti kiehtoviakin ominaisuuksia.

keskiviikko 5. huhtikuuta 2017

Klikkiotsikot, ufokolumnit ja Markovin ketju

23 vuotta taksia ajanut Pekka: Valkoinen talo yritti häiritä Venäjä-kuulemisia. Susanna Leinosen päänsäryn taustalta paljastui erikoinen yhteys - keskiössä tamperelainen pubi. Poliisi: Olen lentänyt ilman housuja.

(Iltalehti, Ilta-Sanomat ja Markov.)

Tuntuuko sinusta siltä, että klikkiotsikot toistavat itseään? Että nettiuutiset ovat toinen toistaan turhempia ja järjettömämpiä? Että verkkotoimittajat on hiljalleen korvattu satunnaista tekstiä suoltavilla koneilla?

Tekstiä tuottavista koneista ehkä yksinkertaisin ja hauskin on Markovin ketju. Menetelmän kehitti venäläismatemaatikko Andrei Markov (1856–1922) viime vuosisadan alussa, tosin joitakin sen sovelluksia tunnettiin aiemminkin. Kyseessä on taas yksi esimerkki yksinkertaisesta menetelmästä, jota voi matematiikan voimin soveltaa lukemattomiin asioihin.