torstai 29. joulukuuta 2016

Normaaleja lukuja

\[ 1,2,2,1,1,2,1,2,2,1,2,2,\dots \]

Keksitkö kaavan? (Vastaus seuraavassa kappaleessa.) Kolakoskin sarja on loputon lukujono, joka koostuu pelkästään ykkösistä ja kakkosista. Sen kehitti alkujaan Rufus Oldenburger vuonna 1939, mutta tunnetuksi sen teki William Kolakoski vuonna 1965 julkaistussa artikkelissaan. Siitä lähtien on ihmetelty, onko jonossa yhtä paljon ykkösiä ja kakkosia.

keskiviikko 21. joulukuuta 2016

Joululinkkejä

Platonin kappaleita joulutähtikuviolla.

Muutama jouluinen linkki lähinnä vuoden takaa.

Lumihiutaleissa on kuusi sakaraa

Mutta valitettavan moni piirtää kahdeksan, tai jopa viisi! (Jään saa muihinkin muotoihin, mutta ilmakehän paine on yleensä alle tuhat ilmakehää.[lähde?])

Stand up -matemaatikko Matt Parkerin aloitteesta Twitterin #snowfake-tunniste (rajattu Parkerin mainitseviin) on täynnä hyviä huonoja esimerkkejä. Aperiodical-blogin kuusikulmainen lumihiutalekilpailu tuotti tuloksia.

Lahjapaperit ovat matemaattisesti tylsiä

Aperiodicalin Katie Steckles tutki lahjapaperien symmetrisyyttä ja pettyi. Seitsemästätoista mahdollisesta symmetriasta vain kolmea käytettiin, ja niistäkin lähinnä tylsää toistoa. Koko tarina ja vaihtoehtoisia kuvioita.

Geometrisia joulukoristeita

Platonin kappaleet ovat yllättävän hienoja joulukoristeita (ainakin jos unohdetaan piirroshahmot). Tulosta ja askartele! Tekeminen vaatii jonkun verran hermoja, varsinkin viimeisiä liimauksia tehdessä, ja näissä malleissa on puutteensa.

Itse tuunasin näitä tulostamalla pohjat riittävän suurina ja tekemällä yhteen tahkoon reiän LED-kynttilälle. Pistelin myös pieniä reikiä, joista valo pääsee loistamaan.

Kaikkein tärkein kysymys

XKCD-sarjakuva luo joulumieltä.

Nollakohta muistuttaa, että ankara koristekritiikki ei välttämättä johda joulurauhaan. Blogi päivittyy hieman harvemmin seuraavat pari viikkoa.

maanantai 19. joulukuuta 2016

Keskiaikainen käännöskukkanen

Kreikkalainen matematiikka kukoisti kirkkaimmillaan ennen ajanlaskumme alkua, minkä jälkeen taso alkoi laskea. Jotkut pitävät matemaatikko Hypatian traagista kuolemaa vuonna 415 lopullisena päätöksenä kreikkalaiselle matematiikalle. Rooman valtakunnan rappeutuessa sivistyksen painopiste siirtyi itään, Bysantin kautta arabeille. Suuri osa kreikkalaisista teksteistä on säilynyt vain arabiankielisten käännösten ansiosta, ja ne palasivat Eurooppaan vasta keskiajan lopulta alkaen.

Sitä ennen kreikkalaiseen oppiin kuitenkin yhdistettiin tietoa muualta maailmasta — suurin lisäys oli intialainen lukujärjestelmä, joka yhdisti aiempien merkintätapojen parhaat puolet ja nollan. Yksi eri puolilta tulleiden oppien yhdistäjä oli 800-luvulla elänyt Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi, jonka kuvaus intialaisesta merkinnästä levisi myöhemmin Eurooppaan. Hän kirjoitti astronomiasta ja maantieteestä, mutta hänen tunnetuin työnsä käsittelee toisen asteen yhtälöitä. Kirja esittää esimerkkejä ja ratkaisumenetelmiä geometrisine todistuksineen, minkä vuoksi häntä on kutsuttu algebran isäksi. Eikä suotta.

Al-Khwarizmin pääteoksen pitkää nimeä (vapaasti suomennettuna Lyhyt kirja laskemisesta täydentämällä ja tasapainottamalla) en lähde translitteroimaan, mutta avainsana siinä on "palauttaminen; täydentäminen", al-jabr. Kirjoittajan ja teoksen nimet kääntyivät hieman puutteellisesti Euroopassa, muuttuen omiksi sanoikseen. Puhuessamme algoritmeista ja algebrasta viittaamme siis suoraan 800-luvun matemaatikkoon!

keskiviikko 14. joulukuuta 2016

Lisää liikkeen mahdottomuudesta

(Kuva: Niccie King (Flickr). CC-BY 2.0.)

Mainitsin syyskuussa lyhyesti 450 eaa. tienoilla filosofoineen Zenon Elealaisen todistuksesta, jonka mukaan liike on mahdotonta. Palataan tutkimaan asiaa vähän tarkemmin, koska Zenon ei esittänyt ainoastaan yhtä todistusta väitteelleen. Antiikin kreikkalaisilla ei ollut muodollista määritelmää jatkuvuudelle ja raja-arvoille, vaikka niiden intuitiivisesta ymmärryksestä on paljon viitteitä myös matemaattisissa teksteissä — he muun muassa määrittivät joidenkin pyörähdyskappaleiden tilavuuksia lähes integrointia muistuttavalla menetelmällä.

perjantai 9. joulukuuta 2016

Tietokone, osa 9: Suuri todellisuus

Tietokonesarjamme päättyy tähän osaan. Matkamme alkoi pienimmistä osista, joten se on hyvä päättää kaikkein suurimpiin rakennelmiin. Mikä ihmeellisintä, pienikin on yllättävän suurta. Tietojenkäsittelyssä usein hyödyllisimmät ideat ovat periaatteeltaan yksinkertaisimpia, kuten viime kerralla nähtiin erityyppisen tiedon muodossa.

keskiviikko 7. joulukuuta 2016

Tietokone, osa 8: Tekstiä ja kuvia

Viime kerralla rakenneltiin ohjelmia palikoista. Nyt on hyvä hetki lisätä lelulaatikkoon ääntä, kuvaa ja reaalilukuja ennen kuin sarja pääsee loppumaan. Siispä kohti kissavideoita!

maanantai 5. joulukuuta 2016

Tietokone, osa 7: Funktiot

Perjantain ohjelmointitekstissä esitettiin itseisarvofunktion toteutus useammalla ohjelmointikielellä. Funktion määritelmä puolestaan jäi vielä vajaaksi, muuten kuin että se muistuttaa matemaattista vastinettaan. Matemaattinen määritelmä on seuraava:

Funktio on sääntö, joka liittää jokaiseen määrittelyjoukon $A$ alkioon täsmälleen yhden maalijoukon $B$ alkion.

Toisin sanoen funktio ottaa vastaan joitakin parametreja ja antaa niiden pohjalta tuloksen. Muunnetaan tämä osaksi ohjelmaa.

perjantai 2. joulukuuta 2016

Tietokone, osa 6: Ohjelmointi

Viimekertaisen konekieliharjoituksen jälkeen on hyvä siirtyä oikeisiin ohjelmointikieliin. Pieni määrittely lienee paikallaan: ohjelmointikieli on keinotekoinen kieli, jossa on (yleensä) yksinkertainen ja kiinteä kielioppi sekä pieni sanasto. Kielestä riippuen koodi on lähempänä matematiikkaa tai englantia. Kääntäjäksi kutsuttu ohjelma muuntaa koodin konekieliseksi esitykseksi. Ohjelmointikielellä on kaksoistarkoitus olla selkeä sekä koneelle että ihmiselle, ja kiitos ihmisten luovuuden, niitä on ehditty luoda useampia tuhansia, hieman eri tarkoituksiin ja eri ajatusmalleja kannustaviksi.

Tässä osassa esittelen muutaman pääsuuntauksen historian varrelta, siinä missä niitä itse osaan. Loppuun olen lisännyt linkin Code.org -sivuston tunnin mittaiseen ohjelmointitehtävään, joka on aika loistavan oloinen ja visuaalinen tapa tutustua periaatteisiin itse. Aloitetaan!