Miltä näyttää satunnainen funktio?

Tämänhetkinen tutkimusprojektini käsittelee fysiikan yhtälöitä, jotka kuvaavat aaltoliikettä. Yhtälöt itsessään etenevät kuin kellokoneisto ilman mitään satunnaisuutta, mutta minäpä tutkinkin, mitä tapahtuu jos lähtötilanne on satunnaisesti valittu. Viritän siis kuvitteelliselle vedenpinnalle satunnaisesti valitun muodon, käynnistän kellon ja katson, miten aallot alkavat loiskua.

(Oikeasti en tosin katsele mitään... työskentelen täysin teoreettisesti kynällä ja paperilla. En ohjelmoi simulaatioita eikä minua päästettäisi lähellekään aaltotankkia.)

Mutta miltä ylipäätään näyttää satunnaisesti valittu lähtötilanne? Millainen on satunnainen funktio? Tapoja sellaisen rakentamiseen on monta, joten eiköhän kurkata niistä muutamaan.

Lue Tyyppiarvoa!

Minulla on Nollakohtaan varmaan viisi tekstiä, joita en ole saanut aikaiseksi kirjoittaa loppuun (tai joissakin tapauksissa edes alkuun), eikä tämä päivä ei tuota poikkeusta sen suhteen. Sen sijaan olen viime viikkoina ehtinyt kirjoittaa Tyyppiarvoon, Suomen tilastollisesti merkitsevimpään julkaisuun. Tätä verkkolehteä/blogia ylläpitävät Helsingin yliopiston tilastotieteen opiskelijat, joiden joukkoon minäkin sivuaineen puolesta kuulun. (Itse asiassa suosin heidän opiskelijahuoneellaan norkoilua, vaikka matemaatikoksi itseni laskenkin.)

Noin kuukausi sitten pohdin uhkapelurin tuhoa ja höpsismiä. Isompi juttu on kuitenkin eiliseltä: massiivinen tietopaketti siitä, miten Suomessa (ja kaikkialla muuallakin) äänestetään väärin. Sieltä löydät luultavasti enemmän kuin olet koskaan halunnutkaan tietää vaalitavoista!

Erään hakukonehuijauksen anatomia

Yksi päätöksistäni heti bloggaamista aloittaessani oli esiintyä omalla nimelläni ja olla helposti tavoitettavissa. Jos vilkaiset Kuka olen? -sivuani, löydät liudan erilaisia tapoja saada asiasi tietooni. Tämä on ollut pelkästään hyvä päätös, koska sitä kautta olen päässyt kirjoittamaan muuallekin: viimeksi minulla oli suuri kunnia kirjoittaa Fermi-arvioista aineenopettajien Dimensio-lehdessä.

Tällä kertaa en kuitenkaan puhu näistä mahtavista tilaisuuksista. (Joita siis otan mielelläni vastaan!) Sen sijaan puhun siitä yhdestä, josta kieltäydyin. Ja koska tämä on blogi matematiikasta, tähän tarinaan kietoutuu yksi maailman merkittävimmistä algoritmeista. Ja kuten jokaiseen hyvään juttuun, tähänkin liittyy matriiseja.

Mitä on todennäköisyys?

Yksi ekan opiskeluvuoden absurdeimmista kokemuksista tapahtui tammikuussa. Oli aivan tavallinen luento, kurssin Todennäköisyyslaskenta I ensimmäinen. Luvassa oli kurssi, jonka ohjelmasta ainakin puolet olisi lukiosta tutun jutun kertaamista.

Niinpä luennoitsija riipusti taululle tuttuja todennäköisyyden ominaisuuksia: todennäköisyys on aina nollan ja ykkösen välillä, tapahtuman ja sen vastatapahtuman todennäköisyyksien summa on $1$, ja niin edelleen. Selvää tavaraa, vaikka useampi lukio-opettaja kannustaakin välttämään yo-kokeen todennäköisyystehtävää.

Sitten luennoitsija totesi, että matemaatikoina yliopistossa meitä toki kiinnostaa, mistä nämä ominaisuudet tulevat. Siispä hän alkoi kirjoittaa todennäköisyydelle oikeaa määritelmää (tässä tiivistettynä):

Olkoon kokoelma perusjoukon $\Omega$ osajoukkoja $\mathcal F$ sigma-algebra. Nyt kuvaus $\mathrm P : \mathcal F \to \mathbb R$ on todennäköisyys, jos

1. $\mathrm P(A) \geq 0$ kaikilla $A \in \mathcal F$,
2. $\mathrm P(\Omega) = 1$,
3. jos $A_i \in \mathcal F$ kaikilla $i \in \mathbb N_+$ ja $A_i \cap A_j \neq \emptyset$ kun $i \neq j$, niin \[ \mathrm P \left( \cap_{i=1}^\infty A_i \right) = \sum_{i=1}^\infty P(A_i). \]

Kolmikko $(\Omega, \mathcal F, P)$ on todennäköisyysavaruus.

Mitä ihmettä juuri tapahtui? Äsken puhuttiin kivoista laskukaavoista, nyt jostain joukko-opin infernaalisesta serkusta!

Viime viikon maailmanloppu

Sopivasti pääsiäisen alla muun muassa Helsingin Sanomat uutisoi iloisella otsikolla "Tutkijat laskivat: Maailmankaikkeus saattaa olla jo tuhoutumassa, emmekä edes ehtisi reagoida siihen". Uutinen kertoo tuoreesta tutkimusartikkelista, joka ennustaa juurikin otsikossa kuvaillun maailmanlopun skenaarion.

Itse olisin korostanut asian epätodennäköisyyttä ja taustaa ehkä enemmänkin, mutta minusta ja artikkelin kirjoittajasta vain jälkimmäinen on alansa ammattilainen. Artikkeli sitä paitsi on ihan hyvin kirjoitettu, ja vieläpä linkkaa alkuperäiseen tutkimukseenkin. Jutusta minulla ei siis ole mitään moitittavaa. Sen sijaan jäin miettimään, kuinka epätodennäköinen maailmanloppu oikeasti on.

Selasin siis läpi alkuperäisen tutkimusartikkelin, josta en tietenkään pelkällä lukiofysiikalla pysty sanomaan liikaa. (Sinua on varoitettu: teen varmasti monentasoisia virheitä!)

Kannattaako Lotto plussata?

Veikkaus työllistää matikkabloggaria. Olen kirjoittanut, kannattaako Lomatonni, kannattaako Kaikki tai ei mitään, kannattaako Lotto tuplata, kannattaako Lotto tuplata uusin säännöin, ja tässä sitä taas mennään. Uusin uudistus koko kansan suosikkipeliin on tuplauksen korvaaminen hieman erilaisella plussauksella.

Tuttuun tapaan tarkastelen ensin odotusarvoa eli sitä, kuinka paljon keskimäärin voittaa. Sen jälkeen kuitenkin teen jotain, mistä on ollut tarkoitus kirjoittaa jo pitkään: esitän ajatuksen sen puolesta, ettei lottoaminen ehkä olekaan täysin tyhmää. Se muuttaa analyysia merkittävällä tavalla.

Kuinka Bayesin kaava pelastaa noutajan, tutkijan ja siinä sivussa maailman

(Yumi/Flickr. CC-BY-NC 2.0.)

Kuvittele vastikään uunista vedetty, lämpöä, makeutta ja rakkautta hehkuva pellillinen vastustamattomia kaurakeksejä. Hetken keittiöstä poissa oltuasi huomaat, että pelliltä on kadonnut muutama suupala. Talossa on lisäksesi kaksi kolmevuotiasta: yksi labradorinnoutaja ja yksi ihmislapsi. Kumpaa syyttäisit?

Astut hieman lähemmäs rikospaikkaa ja huomaat pöydän eteen siirretyn tuolin. Labradori yltäisi pöydälle ilmankin, lapsi ei. Kumpaa nyt syyttäisit?

Kävelet naapurihuoneeseen, jossa lapsi pitää kädessään tuoretta kaurakeksiä, kovin läheisesti kadonnutta muistuttavaa sellaista. Kumpaa nyt syyttäisit?

Ihmisen arkinen päättely perustuu hypoteesien päivittämiseen havaintojen pohjalta. Aluksi lapsi ja koira voivat olla yhtä todennäköisesti syyllisiä, mutta tuoli on vahva aihetodiste ja rysän päältä kiinni jääminen sinetöi tapauksen. Tällainen ajattelu on kovin luonnollista. Saman voi pukea myös matemaattisempaan muotoon, ja silloin puhutaan bayesilaisesta päättelystä. Tässä on yksi työkalu täydentämään viimekertaisia p-arvoja.

Mitkä ihmeen p-arvot, ja miksi ne ovat peestä?

(BRICK 101/Flickr. CC-BY-NC 2.0.)

Jos olet perehtynyt tieteelliseen tutkimukseen, olet varmaankin törmännyt p-arvon käsitteeseen ja siihen, kuinka niitä ei oikeastaan pitäisi käyttää. Jos aihe ei satu olemaan ennestään tuttu, tiivistettynä kyse on vuosikymmeniä jatkuneesta kränästä, joka menee osapuilleen näin:

— Tilastotieteilijät: Älkää käyttäkö p-arvoja, ne ovat valheellinen ja epäpätevä mittari!

— Kokeelliset tutkijat: Antaa kuulua parempi tapa.

Tietenkään asia ei ole ihan näin yksinkertainen. Sen ymmärtämiseksi pitää perehtyä siihen, kuinka tiedettä oikein tehdään. Minä tietenkin olen teoreettisena opiskelijana harvinaislaatuisen huono opas, muttei anneta sen haitata, kunhan pidetään mielessä, että kyseessä on yksinkertaistus!

Kuinka kysyä arkaluonteinen kysymys

Ei, nyt ei puhuta ihmissuhdetaidoista vaan tilastotieteen kurssilla vastaan tulleesta tempusta. Tämä kikka ei ehkä auta kasvotusten keskustelussa, mutta yleisellä tasolla siitä voi olla hyötyä.

Joskus halutaan selvittää, kuinka paljon ihmiset tekevät asioita, joista ei välttämättä haluta puhua ääneen. Esimerkiksi lukion matikanope saattaisi haluta tietää, kuinka moni ryökäle laskee helppoja yhteenlaskuja laskimella. Vaikka opettaja kuinka vakuuttelisi, että vastaukset ovat anonyymeja, oppilailla voi olla vaikeuksia luottaa yksityisyytensä (ja matikannumeronsa) säilymiseen.

Miten opettaja saisi tietää, moniko opiskelija turvautuu laskimeen — ilman, että oppilailla olisi paineita valehdella?

Kuinka monta bussipysäkkiä?

Jokaisella Helsingin bussipysäkillä on numero; myös sillä, jolla vietän suhteettoman paljon aikaa (harrastan etuajassa olemista). Bussia odotellessa ehtii miettiä kaikenlaista, kuten klassista tilastotieteen pulmaa: panssarivaunuongelmaa.

Toisessa maailmansodassa liittoutuneita kiinnosti tietää, montako panssarivaunua Saksa tuotti, ja yhtenä keinona he arvioivat lukua tankkien sarjanumeroiden perusteella. Minua puolestaan kiinnostaa tietää, montako bussipysäkkiä Helsingissä on — tai ainakin, mikä on suurin pysäkinnumero.

Aineistona minulla on kolme jokseenkin satunnaista pysäkkiä:

• H2041 Rautatientori (vähän kaiken keskellä),
• H3207 Syystie (jonka ohitse kävelin ihanana varhaissyksyn päivänä),
• H3597 A.I. Virtasen aukio (siisti tiedepaikka).

En ole tähän mennessä keksinyt logiikkaa numeroinnin taustalla, mutta tuhannen alapuoliset numerot näyttävät olevan kisko- ja lauttaliikenteelle varattuja. Numeroiden välissä on selvästi tyhjiä koloja, joten siksi pysäkkien määrä ja isoin numero eivät ole sama asia.

Ihan ensi alkuun voidaan olettaa, että isoin numero on vähintään 3597. Mutta voimmeko arvata tarkemmin?

Hyvin selviävä ajatusharha

(xkcd: Survivorship Bias.)

Selviytymisharha, yksi pirullisimmasta ajatusvirheistä. Äärimmäisen yksinkertainen: jos ryhmästä tutkitaan jotain piirrettä, joka vaikuttaa ryhmään kuulumiseen, tulokset ovat vääristyneitä. Esimerkiksi matematiikan laitoksella tehdyssä kyselytutkimuksessa lukiomatematiikka todettaisiin helpoksi — kai nyt, kun laitokselle ei pääse ilman sen osaamista. Ikävä kyllä todellisuudessa ei tietenkään ole mitään näin ilmeistä.

Miten luultavasti kuolet?

(Ben Watkin/Flickr. CC-BY-NC 2.0.)

Syksyllä kirjoitin tekstin Suuri muutos pienessä riskissä, joka muistutti, että isokin kasvu häviävän pienessä riskissä johtaa... edelleen häviävän pieneen riskiin. Mutta kuinka isoja nuo pienet riskit oikeasti ovat? Nykyään puhutaan taas paljon terrorismista, ja jotkut muistuttavat aiheen alle jäävän paljon isompia kuolinsyitä (alkoholi, tupakka, matematiikka). Miten nämä todennäköisyydet suhtautuvat toisiinsa? Tilastotieteilijöillä on siihen vastaus.

Uhkapelurin monta tuhoa

(Zdenko Zivkovic/Flickr. CC-BY 2.0.)

Rahapeliteema jatkuu, joskin tällä kertaa muitakin sovelluksia löytäen. Ei mitenkään pelaamisen järkevyyttä kommentoiden, tänään aiheina ovat uhkapelurin virhepäätelmä ja uhkapelurin tuho.

Kannattaako Kaikki tai ei mitään?

Katso myös uusi teksti: Kannattaako Lotto plussata?

---

Jatketaan vielä vähän rahapeliasiaa viime viikolta. Veikkaus on viime aikoina mainostanut uutta Kaikki tai ei mitään -peliä, jossa mainoslauseena on ollut kaikkien numeroiden saaminen oikein... tai väärin. Tutustutaan pikkaisen tähän peliin.

Säännöt ovat helpot: valitse 12 numeroa 24 joukosta ja aseta panos. Arvotaan 12 numeroa, ja voittokerroin määräytyy oikein menevien numeroiden mukaan niin, että 8 oikein on samanarvoinen kuin 4 oikein, 9 oikein sama kuin 3 oikein, ja niin edelleen. Kiva symmetrinen ominaisuus tulee juurikin siitä, että numeroista valitaan tasan puolet. Pelissä on aina kaksi päävoiton saavaa riviä: se, jossa on arvotut 12 numeroa, ja se, jossa ei ole yhtään niistä. Panoksen (köh tappion köh köh) voi valita yhden ja viiden euron väliltä.

Kuka voittaa uudessa Lotossa?

Päivitys 24.1.2018: Lotto uudistui uudelleen. Tuorein tieto löytyy tekstistä Kannattaako Lotto plussata?, jossa tosin hyödynnän tämän tekstin tietoja.

---

Kukako voittaa Lotossa? No Veikkaus tietenkin.

Entä kuinka Loton uudistuminen joulukuussa 2016 vaikutti tasapainoon? Yksi tämän blogin ensimmäisistä jutuista oli Kannattaako Lotto tuplata?, jossa tutkin lottorivin odotusarvoa tuplauksella ja ilman. On korkea aika päivittää tulokset.

Maailma on pieni

(m4tik - 128db/Flickr/CC-BY-NC 2.0, kmhkmh/Wikimedia Commons/CC-BY 3.0, muokkaukset kirjoittajan.)

Elokuvaharrastajat tuntevat 90-luvulla keksityn pelin "Six Degrees of Kevin Bacon". Näyttelijä Kevin Bacon on työskennellyt hyvin laajasti ja monen ihmisen kanssa, joten hän saattaa oikeutetusti sanoa tuntevansa useimmat Hollywoodissa ainakin välillisesti tuttavan tuttavina. Baconin ja toisen näyttelijän elokuvallisen välimatkan päättelemisestä tuli hauska peli harrastajille.

Samanlainen konsepti oli juuri tullut yleiseen tietoon elokuvan Six Degrees of Separation (1993) myötä. Se leikitteli ajatuksella, että jokainen maailman ihminen tuntee toisensa enintään viiden tuttavan välityksellä. Tämä idea puolestaan oli jo vuosikymmeniä vanha, vaikka se ei ihan täysin voikaan pitää paikkaansa eristyneiden yhteisöjen takia.

Aihe on saanut matemaattista huomiota viime vuosisadalta lähtien, ja maailma on osoittautunut yllättävän pieneksi. Sitä ennen kuitenkin pitää mainita, että matemaatikot ovat pelanneet samanlaista peliä jo pitkään. Sitä kutsutaan Erdös-luvuksi.

Kaoottinen ilmakehä

Sääennusteet ovat käytetyimpiä ennusteita ja ehkä rajuimpia yksinkertaistuksia. Meteorologien ja tehokkaiden tietokoneiden yhteistyön tulos tiivistetään kartalle pilvisymboleiksi ja lämpötiloiksi. Samalla menetetään tietoa ennusteiden sisäisestä epävarmuudesta ja monimutkaisuudesta. En ole missään nimessä pätevä kommentoimaan ennusteiden fysiikkaa, mutta tutustutaan isoimpiin matemaattisiin periaatteisiin.

Lukuvinkki: Signaali ja kohina

(Kuva jenkkipokkariversiosta.)

Nate Silver on yksi aikamme merkittävistä tilastotieteilijöistä. Hänen tilastollisia ennusteita tekevä FiveThirtyEight-sivustonsa nousi otsikoihin vuonna 2012, kun sen ennuste Yhdysvaltain presidentinvaaleista osui oikeaan... jokaisessa osavaltiossa. Sivusto erottuu muista vastaavista siinä, että se ei peittele tilastojen epävarmaa luonnetta. (Suosittelen vilkaisemaan tämänhetkistä vaaliennustetta — on nimittäin paljon kovaa dataa!)

Silver on menestyksestään huolimatta ensimmäinen sanomaan, ettei häneen tai muihin ennusteentekijöihin kannata luottaa sokeasti. Ennusteella kävi säkä: todennäköisyys kaikkien osavaltioiden nappiinosumiseen oli vain parikymmentä prosenttia. Ennusteiden pohja todennäköisyyksissä ja niiden sisäsyntyinen epävarmuus on helppo ohittaa, ja Silverin menestysteos The Signal and the Noise (Penguin Books, 2012) taistelee näitä harhakäsityksiä vastaan. Teos on saatavilla myös suomennettuna.

Synttärit samana päivänä

Ala-asteen luokkakaverillani oli sama syntymäpäivä kuin minulla. Olet luultavasti itsekin ollut samankaltaisessa tilanteessa: jollain tuttavallasi on yhteinen syntymäpäivä sinun tai muun tutun kanssa. Aika lailla joka toisessa koululuokassa on tällainen pari.

Suuri muutos pienessä riskissä

Kuva: xkcd

On matemaattinen fakta, että kesän kolmas rantareissu kasvattaa todennäköisyyttä joutua käsiase suussa uivan koiran uhriksi peräti 50 prosentilla. (Vielä pahempaa, kesän toinen reissu kasvattaa sitä sadalla prosentilla!)

Tuskin kukaan meistä kuitenkaan välttää rannalle menoa juuri siitä syystä — riskihän on aivan naurettavan olematon! Valitettavasti tuolla sarjakuvalla on silti tiukat juuret todellisuudessa: on tapauksia, joissa suuri muutosprosentti on ajanut ihmisiä raiteiltaan. Tässä on niistä yksi.