torstai 16. helmikuuta 2017

Kuka voittaa uudessa Lotossa?

Näin voitat Lotossa (keskimäärin): Älä pelaa.

Päivitys 24.1.2018: Lotto uudistui uudelleen. Tuorein tieto löytyy tekstistä Kannattaako Lotto plussata?, jossa tosin hyödynnän tämän tekstin tietoja.


Kukako voittaa Lotossa? No Veikkaus tietenkin.

Entä kuinka Loton uudistuminen joulukuussa 2016 vaikutti tasapainoon? Yksi tämän blogin ensimmäisistä jutuista oli Kannattaako Lotto tuplata?, jossa tutkin lottorivin odotusarvoa tuplauksella ja ilman. On korkea aika päivittää tulokset.

Mikä muuttui?

Edellisessä peliversiossa numeroita oli 39 ja uudessa 40. Tästä seuraa, että voiton todennäköisyys pieneni jonkin verran: kun aiemmin mahdollisia rivejä oli $15~380~937$, nyt niitä on

\[ \begin{align*} 40 \choose 7 &= \frac{40 \cdot 39 \cdot 38 \cdot 37 \cdot 36 \cdot 35 \cdot 34}{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}\\ &= 18~643~560. \end{align*} \]

Kompensoidakseen harvinaistuvia voittoja Veikkaus lisäsi kaksi voittoluokkaa: 3+1 kaikille, sekä tuplausta pelaaville rajoitettu 3 oikein -luokka tuplausnumeron osuessa riviin. Tämä on merkittävä muutos, jolla Veikkaus yrittänee houkutella ihmisiä tuplaamaan. Uusissa luokissa voiton suuruus on kiinteä 2 euroa (paitsi tuplaten 3+1, jolloin suuruus on 4 euroa).

Perusrivin hinta on edelleen euron, mutta tuplattu rivi maksaa nykyään 1,30 euroa (ennen 1,25 €).

Kuvitteellinen lottokierroksemme

Viime kerralla annoin laiskuuden voittaa ja laskin odotusarvon käyttämällä muutaman aiemman pelin tuloksia. Nyt en kuitenkaan voi tehdä niin, koska kierrokset eivät ole keskenään vertailukelpoisia. Tarkastelen siksi kuvitteellista pelikierrosta, ja toivon etten tee mitään liian vakavaa ajatusvirhettä. (Muistutus lukijalle: en ole ammattilainen!)

Viikolla 4 pelattiin varsin tyypillinen kierros: 3,6 miljoonan päävoitto meni yhdelle onnekkaalle ja pienempiä voittoja ropisi ympäriinsä. 6+1-tulosten yhteenlaskettu summa oli noin 220 000 euroa. Pelin sääntöjen mukaan kyseinen luokka muodostaa 3,8 % kierroksen kokonaisvaihdosta, joten kokonaisuus oli

\[ \frac{220~000~€}{0,038} \approx 5~790~000~€. \]

Oletetaan tämän rahasumman pysyvän samana (kuten se näyttää yleensä pysyvän), kuten myös päävoiton suuruuden. Sääntöjen perusteella rahat jakautuvat voittoluokille seuraavasti:

\[ \begin{array}{r|l|l|} & \text{Vanha summa} & \text{Uusi summa}\\ \hline \text{7 oikein} & 3~600~000~€ & 3~600~000~€\\ \text{6+1 oikein} & 266~000~€ \quad (4.6~\%) & 220~000~€ \quad (3.8~\%)\\ \text{6 oikein} & 162~000~€ \quad (2.8~\%) & 145~000~€ \quad (2.5~\%)\\ \text{5 oikein} & 197~000~€ \quad (3.4~\%) & 174~000~€ \quad (3.0~\%)\\ \text{Loput} & \text{vakiovoitto} & \text{vakiovoitto}\\ \end{array} \]

Seuraavaksi täytyisi ratkaista oikeat voitto-osuudet eli jakaa voittoluokat onnekkaiden pelaajien kesken. Säännöissä sanotaan, että vaihdon laskennassa ei huomioida tuplausta, joten koko 5 790 000 euron vaihto on tullut euron hintaisista peleistä. Pelaajien määrä on tästä siis sangen helppo laskea. Kuinka moni näistä voittaa? Sitä varten laskemme voittajien lukumäärän odotusarvon: se tapahtuu yksinkertaisesti kertomalla voiton todennäköisyys pelaajien määrällä ja sopivasti pyöristämällä. Todennäköisyydet ovat tutusti suoraan Veikkauksen sivuilta.

\[ \begin{array}{r|c|c|c|c|} & \text{Vanha} & \text{Voittajia} & \text{Voitto} & \text{Uusi} & \text{Voittajia} & \text{Voitto} \\ \hline \text{7 oikein} & \frac{1}{15~380~937} & 1 & 3~600~000~€ & \frac{1}{18~643~560} & 1 & 3~600~000~€\\ \text{6+1 oikein} & \frac{14}{15~380~937} & 5 & 53~000~€ & \frac{7}{18~643~560} & 2 & 110~000~€\\ \text{6 oikein} & \frac{210}{15~380~937} & 79 & 2~050~€ & \frac{224}{18~643~560} & 70 & 2~070~€\\ \text{5 oikein} & \frac{10~416}{15~380~937} & 3920 & 50~€ & \frac{11~088}{18~643~560} & 3440 & 50~€\\ \end{array} \]

Huh, luvut näyttävät suunnilleen täsmäävän tulosarkiston kanssa! Meillä siis lienee jokseenkin kelvollinen kierros. Nyt siis laskemaan sen odotusarvoa.

Totuuden hetki

Odotusarvo saatiin siis summaamalla kunkin voiton suuruuden ja todennäköisyyden tulot. Vanhoilla säännöillä se on:

\[ \begin{align*} &\quad{}3~600~000~€ \cdot \frac{1}{15380937} + 53~000~€ \cdot \frac{14}{15380937} + 2~050~€ \cdot \frac{210}{15380937}\\ &\quad{}+ 50~€ \cdot \frac{10416}{15380937} + 10~€ \cdot \frac{173600}{15380937}\\ &\approx 0.4570~€\\ &\approx 0.46~€. \end{align*} \]

Saatu luku on hieman pienempi kuin syyskuussa, kiitos pienemmän 5 oikein -voiton, mutta odotettua luokkaa. Tuplausnumero osuu $\frac{7}{39}$ riveistä ja kaksinkertaistaa voiton, joten tuplatun rivin odotusarvo on

\[ \frac{7}{39} \cdot 2 \cdot 0.4570~€ + \frac{32}{39} \cdot 0.4570~€ \approx 0.54~€. \]

Vanhoilla säännöillä pelatulla kierroksella rivi on siis keskimäärin 54 senttiä tappiollinen, ja tuplattu rivi peräti 71 senttiä. Kuten viimeksikin, tuplaaminen ei siis kannata. (Ellei voita varmasti.)

Entäpä sitten uusilla säännöillä? Lasku on kovasti edellisen näköinen, mutta päivitetty Uusilla pienemmillä todennäköisyyksillä™ (tämän takia en ole mainonnassa) ja toisaalta yhdellä uudella voittoluokalla:

\[ \begin{align*} &\,{}3~600~000~€ \cdot \frac{1}{18643560} + 110~000~€ \cdot \frac{7}{18643560} + 2~070~€ \cdot \frac{224}{18643560}\\ &\quad{}+ 50~€ \cdot \frac{11088}{18643560} + 10~€ \cdot \frac{190960}{18643560} + 2~€ \cdot \frac{173600}{18643560}\\ &\approx 0.4101~€\\ &\approx 0.41~€. \end{align*} \]

Aistinko mädän kalan tuoksua... Tuplattaessa voitot kaksinkertaistuvat ja mukaan tulee 3 oikein -luokka, samalla tuplausnumeroehdolla, joka tosin nyt tapahtuu vain $\frac{7}{40}$ riveistä.

\[ \frac{7}{40} \cdot (2 \cdot 0.4101~€ + \frac{1258600}{18643560} \cdot 2~€) + \frac{33}{40} \cdot 0.4101~€ \approx 0.51~€. \]

Kumpikin odotusarvo on pienempi kuin ennen. Tuplausrivin hinta vieläpä kasvoi viidellä sentillä, joten Veikkaus voittaa peruspelissä 5 senttiä ja tuplauspelissä 8 senttiä enemmän kuin vanhoilla säännöillä.

Käytännön merkitys

Loton kokonaisvaihdosta laskettu palautusprosentti on kalenterivuosittain 40 - 55 prosenttia.

Nämä luvut vastaavat hyvin tuota oletusta, joka on Loton sääntöjen kohta 22.

Näyttäisi siis siltä, että uusien sääntöjen voittaja on Veikkaus, mutta asiassa on tietenkin kääntöpuolensa: Odotusarvolla pelaaminen toimii vain keskimäärin (ks. Onko odotusarvo pätevä mittari?). Kuvitteellisen kierroksemme 6+1-voittaja saa tuplasti vanhaan verrattuna, ja tuplaus on edelleen kannattavaa mikäli sattuu voittamaan. Ongelma vain on, etteivät useimmat voita.

Epäilen sääntömuutoksella olevan toinenkin tarkoitus: uudet voittoluokat tekevät voittamisesta yleisempää. Aiemmin voitto tuli keskimäärin 83 kierroksen välein, mutta uusilla säännöillä 50 kierroksen ja tuplaamalla vain 31 kierroksen välein. Pienempiä voittoja, mutta useammin. Sillä lienee psykologista merkitystä.


  • Pelien säännöt on kirjattu sisäministeriön asetuksen liitteenä: edelliset, uudet.

Ei kommentteja:

Lähetä kommentti

Kommentit ovat moderoituja - yritän hyväksyä kommenttisi mahdollisimman pian. Voit kirjoittaa kommenttiin LaTeX-koodia - lue lisää Kommentointi-sivulta.