tag:blogger.com,1999:blog-69280227222737343492024-03-06T02:36:58.179+02:00NollakohtaSatunnaista matikkaa satunnaisella aikataululla.Petri Laarnehttp://www.blogger.com/profile/02918099887181866034noreply@blogger.comBlogger155125tag:blogger.com,1999:blog-6928022722273734349.post-57584995949082453262022-09-02T09:16:00.000+03:002022-09-02T09:16:00.112+03:00Miltä näyttää satunnainen funktio?<div style="clear: both; text-align: center;">
<img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhHxJdr0zjKJo1ccI2I8ToJTFzb0Y9srPwqYalMwhhn4ATo537D1_Ua4pJNU3KzPRLJeQAIbgLGf8kZVgacwZ3x11wofz0fd3LnTTLJuD1kk_DMHHe1WhHr0_sy7AgPkT0rXGlvEj-bl_NMkmMmX0t67x88G6CcrmFgtiWsufCteQqIxzPr2w_alWBV8A/s1600/Teekuppi.png" style="max-width:80%;box-shadow:none;border:0;" alt="Myrsky teekupissa." />
</div>
<p>
Tämänhetkinen tutkimusprojektini käsittelee fysiikan yhtälöitä, jotka kuvaavat aaltoliikettä.
Yhtälöt itsessään etenevät kuin kellokoneisto ilman mitään satunnaisuutta,
mutta minäpä tutkinkin, mitä tapahtuu jos lähtötilanne on satunnaisesti valittu.
Viritän siis kuvitteelliselle vedenpinnalle satunnaisesti valitun muodon,
käynnistän kellon ja katson, miten aallot alkavat loiskua.
<p>
(Oikeasti en tosin katsele mitään...
työskentelen täysin teoreettisesti kynällä ja paperilla.
En ohjelmoi simulaatioita eikä minua päästettäisi lähellekään aaltotankkia.)
<p>
Mutta miltä ylipäätään näyttää satunnaisesti valittu lähtötilanne?
Millainen on satunnainen funktio?
Tapoja sellaisen rakentamiseen on monta, joten eiköhän kurkata niistä muutamaan.
<a name='more'></a>
<h3>Tapa 1: jokainen piste on satunnainen</h3>
<p>
Aloitetaan helpoimmasta ideasta.
Jos $x$ on lukusuoran piste, niin $f(x)$ on jokin siihen pisteeseen liittyvä lukuarvo.
Entä jos valitaan jokainen $f(x)$ jollain satunnaisella tavalla,
sanotaan nyt vaikka normaalijakaumasta?
(Tarkkaan sanottuna standardista normaalijakaumasta, eli siitä jonka keskiarvo on $0$
ja keskihajonta $1$.)
<p>
Normaalijakaumassa nollan ympärillä olevat luvut ovat todennäköisimpiä,
mutta periaatteessa siitä voi tulla ulos vaikka kuinka suuria tai pieniä lukuja.
Kuitenkin suuren luvun todennäköisyys on häviävän pieni.
Kuvaajalta näkyy, että suhteellinen todennäköisyys pienenee todella rajusti
etäisyyden nollasta kasvaessa:
<div style="clear: both; text-align: center;">
<img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhYqkbsqV1PA3vqIdVL26eMz8xkYnVOMRCTMJUKhgz-yYw0SyErj7oVyUiHV3m4Rgxf9J07VscVC2-KrzCwaWT0mASZNeq-7Tp-EVNNNgjODbCYuo7Ql7S-KlmvmqbXZOuVpX-H1-hPGPZuKFl617Zd39Adgr5_ww2azf1861IJTKnT1zGmTDtMGyZVbw/s1600/normal-dist.png" style="max-width:80%;box-shadow:none;border:0;" alt="Tuttu kirkonkellon muotoinen käyrä. Nollaa lähellä olevat arvot todennäköisiä, mutta muutkin mahdolllisia." />
</div>
<p>
Väännetään siis rautalangasta, miten satunnainen funktio muodostetaan: $f(0)$ on normaalijakautunut luku,
$f(1)$ on jokin toinen normaalijakautunut luku,
ja niin ovat myös $f(0{,}5)$ tai $f(17\pi/3)$.
Helppoa kuin heinänteko.
<p>
Kuvaajaksi piirrettynä tämä funktio näyttää tältä:
<div style="clear: both; text-align: center;">
<img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi17Mu0mZkKwAGpJDGIYgF_k5xzwEMoxNHUvov6SIUEf94jmofvHGUWjTf-p28uooZ6pN4ZT8viQ9Lo5qrETLGuqPRJQoc7ciz3cpkzWsdimkqbmlECVg9gJwaPm74aqqWNbyIndCRDkMgFz0EowhMT4taWmTAs0FIip_R9jx90HSF0MZV954aR7quk4g/s1600/empty.png" style="max-width:80%;box-shadow:none;border:0;" alt="Kuva-ala on kokonaan täytetty yhdellä värillä." />
</div>
<p>
Heinänteko ei taidakaan olla helppoa? Mikä oikein meni pieleen?
<p>
Katsotaan vaikka pistettä $f(0{,}5)$, se on siinä kuvan keskellä vaikkei siltä näyttäisikään.
Tässä pisteessä normaalijakauma antoi tällä kertaa arvoksi suunnilleen $0{,}7523$.
Viereisessä pisteessä taas... niin, mikä onkaan viereinen piste?
Lukusuoralla on pisteitä äärettömän tiheässä, joten jokaisen pisteen naapurustossa riittää tungosta.
<p>
Normaalijakaumasta tulee edes nelosta isompi luku todennäköisyydellä,
joka on luokkaa 0.003 %.
Satasta isomman luvun todennäköisyyttä ei edes saa helposti ulos tietokoneesta,
se on niin naurettavan lähellä nollaa.
<p>
Ikävä kyllä häviävän pieni todennäköisyys kertaa äärettömän monta pistettä on
edelleen äärettömän iso määrä pisteitä.
Samaan aikaan hirvittävän suuressa määrässä pisteitä funktio on nollan läheisyydessä.
Kaiken kaikkiaan satunnainen funktiomme siis sohii ja säheltää ympäriinsä
pahemmin kuin kofeiinilla kyllästetty orava.
<p>
Näin huonosti käyttäytyvälle funktiolle ei voi tehdä paljon mitään matematiikan keinoin.
Sitä on turha piirtää ja todella toivotonta derivoida.
Koetetaanpa keksiä siis jokin fiksumpi tapa.
Ihan turha yritys tämä ei kuitenkaan ollut, useammastakin syystä:
<ol>
<li>Joskus on ihan tervettä nähdä, että matematiikassa kaikki ei suju kuin Strömsössä.
<li>On <b>erittäin</b> tervettä nähdä, että matemaattiset ongelmakohdat voivat olla muutakin kuin laskuvirheitä.
<li>Tämä menetelmä tekee näyttävän <i>comebackin</i> muutaman ruudunmitan kuluttua.
</ol>
<h3>Tapa 2: kaikki rakastavat trigonometriaa</h3>
<p>
Jokainen teekkari ja teoreetikko tietää, että Fourier-sarjat ovat kova juttu.
Perustelut löytyvät esimerkiksi luovasti nimetystä tekstistäni
<a href="https://www.nollakohta.fi/2019/09/teekkarin-ja-teoreetikon-ylin-ystava.html">Teekkarin ja teoreetikon ylin ystävä</a>,
mutta tiivistetään ne vielä uudestaan tässä.
<p>
Sini- ja kosinifunktio tekevät täyden kierroksen välillä ${[{0},{2\pi}]}$.
Tässä $2\pi$ on kulmamittaus radiaaneina ja tarkoittaa samaa kuin 360 astetta.
(Matemaatikot suosivat radiaaneja syystä, joka mainitaan linkatussa tekstissä.)
Kuvana ne ovat nämä tutut kaverit:
<div style="clear: both; text-align: center;">
<img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjCwP_kQMiSAuS3nPfavQn2Hss7-NzqIVQVBRkIzlYUj-seOSKUmnpebsM_ZUiHrXEimViM_LrUIbLsyCCTDEXdJvYZePl7Cc6MtE3y-EeycIHedMpuyU9rxT3C6qth8DuYZce9LPCVf6mJPdulPGn4u2XPjKDbuQQLoW9zpkX9euCDdASGuGZxd4Eqtg/s1600/sine-cosine.png" style="max-width:70%;box-shadow:none;border:0;" alt="Sini- ja kosinifunktio." />
</div>
<p>
Funktiot $\sin(2x)$ ja $\cos(2x)$ tekevät vastaavasti kaksi kierrosta tällä välillä,
$\sin(3x)$ ja $\cos(3x)$ kolme kierrosta ja niin edelleen.
<p>
Osoittautuu, että kaikki riittävän kivat funktiot välillä ${[{0},{2\pi}]}$
voidaan esittää äärettömän pitkänä summana tällaisista funktioista.
Kaavan muodossa siis
\[
f(x) = c + \sum_{n=1}^\infty \bigg( a_n \sin(nx) + b_n \cos(nx) \bigg),
\]
<p>
missä $c$ on funktion keskiarvo ja kaikki kertoimet $a_n$ ja $b_n$ saadaan niin sanotulla Fourier-muunnoksella.
Esimerkiksi funktio
\[
f(x) = \sum_{n=1}^\infty \bigg( \frac{1}{n^2} \sin(nx) + \frac{(-1)^n}{n^2} \cos(nx) \bigg)
\]
<p>
näyttää tältä erikoiselta sykkyrältä:
<div style="clear: both; text-align: center;">
<img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh_K23V-B9EwCWJ2mfxgIn2YO-iAvYHEt6o-sdnYUiTXzPXsfp12Y3kf3IXo4qcWS7FSMB_Ur7KmTEabPIRRDLAuHf2hB3jXK3GbQjCuh0GCqjs_bYnfKycXYJZ6dgsGsUCwI-pFUssSw-sNoKku-Ac722XpHR6LGZh5xvVlKJGmcGBQmoI5uRK97XLGw/s1600/deterministic-fourier.png" style="max-width:90%;box-shadow:none;border:0;" alt="Jännästi kaareutuva funktio." />
</div>
<p>
Olen laiska, joten sovitaan että keskiarvo $c=0$.
Tällä tavoin jäljelle jää enää äärettömän monta termiä.
Toistetaan nyt yllä tehty trikki ja nyhjäistään jokaiseksi kertoimeksi satunnainen luku!
<p>
Jos jokainen $a_n$ ja $b_n$ on normaalijakautunut luku, toisistaan riippumatta,
niin ajaudumme samanlaiseen ongelmaan kuin edellä
– äärettömän pitkään summaan mahtuu äärettömän paljon hankalia lukuja
eikä summauksesta tule mitään.
(Lukiossa tai myöhemmin raja-arvoja lukeneet tietävät, että summa <i>hajaantuu</i>.)
<p>
Mutta meillä on nyt käytössämme pikkaisen enemmän rakennetta kuin viimeksi.
Voimme nimittäin käyttää indeksiä $n$ eduksemme.
Jaetaankin $n$'s kerroin luvulla $n$.
Kertoimet $a_1$ ja $b_1$ tulevat siis tavallisesta normaalijakaumasta,
kertoimet $a_2$ ja $b_2$ puolet kapeammasta sellaisesta
ja niin edelleen.
Tässä siis normaalijakauman <i>keskihajonta</i> on $1/n$.
<p>
Ja nyt kaikki toimii!
Ääretönkin summa on mahdollista laskea, kun termit pienenevät tarpeeksi nopeasti.
Yksi esimerkki tällaisesta funktiosta on
\[
f(x) = 0{,}1257 \sin(x) - 0{,}6635 \cos(x) - 0{,}0661 \sin(2x) - 0{,}3067 \cos(2x) + \cdots
\]
<div style="clear: both; text-align: center;">
<img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjZDtlNifHT6CBr9y1FhAM2eN-8BY8qxjRk4sCtllumyDkElIsdccZuTNfcEuQTlj4POSl67tGtAjsX5sN73k6zavlrHwFRAf6E_HSYQbeCYZvQGDQ44jQuJmJKqF0sep8Ws2BYoQ4JkUVfiZc0rJ82h175hsvKcafYrUqGNVODVFCC0nJnoOzQlaEAcQ/s1600/random-1d-1.png" style="max-width:90%;box-shadow:none;border:0;" alt="Siksakkaava funktio, jossa on siksakkia sekä laajalla että pienellä skaalalla." />
</div>
<p>
Arvotaan kertoimet uudelleen ja saadaan erilainen funktio:
<div style="clear: both; text-align: center;">
<img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhVNMXwKTVrHF7Aivk5yGFPCGxX7OzuOsgQYRHZuHqK8KvjI1kRHREwbIxuKAHLeRsR8E-D29xltafi2DoRuo1VMnnem8NdhQQJQ-2Efl9faFYI_-ZbTPD4bKOhBcAQrCOhu7c432MYRY3BWVCcmTbZtZOfiokOteGTUbyAfe6lTD5vG1LOA2b5CDEQXQ/s1600/random-1d-2.png" style="max-width:90%;box-shadow:none;border:0;" alt="Hyvin samannäköinen siksakki." />
</div>
<p>
Jos minulta kysytään, niin tämä funktio ainakin näyttää satunnaiselta.
Lisäksi se näyttää hyvin piikikkäältä.
On mahdollista osoittaa, että tällä tavalla luodut funktiot ovat jatkuvia
mutta eivät yhdessäkään pisteessä derivoituvia.
<h3>Tapa 3: pala kerrallaan</h3>
<p>
On olemassa toinenkin fiksu keino.
<p>
Ensimmäisessä yritelmässä ainoa varsinainen ongelma oli,
että funktio sai pahasti erilaisia arvoja vierekkäisissä pisteissä.
On kuitenkin näppärä tapa rakentaa funktio niin, että tätä ongelmaa ei ole.
<p>
Valitaan ensin välin päätepisteille satunnaiset arvot normaalijakaumasta,
ja piirretään näiden väliin jana:
<div style="clear: both; text-align: center;">
<img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgmgKs-wL8Upa57o4bj-mK80Q-VfyfIyZYl1X0AuSreBgrsfRXIRsb9mpXuapdVA3TCExEwuHbKW_81_cdSoyNlfctDgXpfzhGWcdDYIP_KkmU9IKw2h2xdUgiOy0xGYA4TAuTd0jxfJ0BL6ybxhTA8Ovnnxe_IltD0EuloT3ydSxP-oRb42Pbb0q891A/s1600/triangle-0.png" style="max-width:90%;box-shadow:none;border:0;" alt="Jana." />
</div>
<p>
Sitten jaetaan jana puoliksi ja siirretään keskipistettä ylös- tai alaspäin.
Siirtymä nyhjäistään normaalijakaumasta, jonka keskihajonta on $\sqrt{1/2}$:
<div style="clear: both; text-align: center;">
<img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiEqZQtLqnzVq02GhepRfEjvZqp2Cb_bP8oSNwTzbGoC__WfX3t2jJTEgrDbb1Kr7WbTPfB6N6JahLAOpXkcyZ85hrznZd0UBEgJvQMP0-oTry85dQgrdfD3Ls0pUL231aBIEWutsdEEX-3olwDH8OPZbkeMeXoPdw1uxCQFI2PHCDa_9YZwfZ3i9kDIQ/s1600/triangle-1.png" style="max-width:90%;box-shadow:none;border:0;" alt="Keskeltä taitettu jana." />
</div>
<p>
Jatketaan samaa prosessia puolittamalla kumpikin puolikas
ja lisäämällä $\sqrt{1/4}$-normaalijakaumat keskipisteisiin, ja niin edelleen.
Jos tätä jatketaan äärettömän pitkään, niin lopputulos näyttää esimerkiksi tältä:
<div style="clear: both; text-align: center;">
<img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjEpWcT2gqbowyt_omFqoHyfCwAsDfzqYhNTZ4lWk2L0VhnQqzpoX9fb5kRpho1GLckUKcuWMdOBNvTLaTTEYMPCrURXgJjOYgzt6y9X4sfa5R2Wz6mvhtwYTCMFFGwHsVfySd-Vv0GYVQporseR-rJ1N3U9SSz4BhlMuL7dzYDq61DftLx1z6Hq5wKPA/s1600/triangle-10.png" style="max-width:90%;box-shadow:none;border:0;" alt="Samanlainen siksakki kuin aiemmin." />
</div>
<p>
Itse asiassa tulos näyttää hyvin samanlaiselta kuin edellisessä menetelmässä,
ja asia on matemaattisesti näin!
<p>
Tällaisella satunnaisella funktiolla on nimikin: <emph>Brownin liike</emph>.
Nimi tulee biologi <b>Robert Brownista</b>, joka kiinnitti vuonna 1827 huomiota siihen, kuinka siitepölyhiukkaset
liikkuvat satunnaisesti veden pinnalla.
Liikkeen matemaattista perustaa selitti muun muassa eräs fyysikko <b>Albert Einstein</b> vuoden 1905 tienoilla
(tämä tyyppi teki ihan hyvää settiä monella matematiikan alalla).
Veden pinnalla Brownin liike näyttää esimerkiksi tältä:
<div style="clear: both; text-align: center;">
<img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgNB0oxGMliPB8rgtEGkmpafhVD1vmWy5GixEpQwC7hraChUy1BssH-f3PbPWYh6Cix3pDUtXrBnaOYcCQAkn5VOYs7dJim33YlzM_h5gM-B9utWNU-3oVJzhLWFGPoNHFjjvsmbuPOphDuwdKQyVu_kvqzcjSUCg0MmagEUJsRXLzg1h58oHJt0HxPgg/s1600/brownian.png" style="max-width:90%;box-shadow:none;border:0;" alt="Hiukkanen liikkuu erittäin siksakkaavaa polkua tasossa." />
</div>
<p>
Yllä puolestaan on piirretty yksiulotteinen liike:
aika kulkee vasemmalta oikealle, ja y-akseli kuvaa hiukkasen siirtymää lähtöpisteestä.
<h3>Dramaattinen paljastus</h3>
<p>
Brownin liikkeen tärkeä ominaisuus on, että pisteiden $x_1$ ja $x_2$
välinen erotus on normaalijakautunut keskihajonnalla $|x_1 - x_2|$.
Edellä mainitsin, että liikkeellä ei oikeasti ole derivaattaa,
mutta kokeillaan silti laskea se.
Määritelmän mukaan derivaatta saadaan erotusosamääränä
\[
f'(x) = \frac{f(x + h) - f(x)}{h}.
\]
<p>
Osoittaja on satunnainen, ja sen keskihajonta on siis $|(x+h)-x|$ eli $|h|$.
Nimittäjässä on $h$.
Nämä kumoavat toisensa, ja jäljelle jää tavallinen normaalijakauma keskihajonnalla $1$.
Siispä $f'(x)$ on normaalijakautunut luku.
<p>
Dun-dun-duu!
<p>
Ykköskohdassa kehitelty mahdoton sotku on siis Brownin liikkeen derivaatta,
ainakin jos heilutellaan käsiä pikkaisen.
Derivaattafunktiota kutsutaan valkoiseksi kohinaksi,
ja se todella on ikävä funktio – mutta ainakin sitä on mahdollista integroida
ja saada Brownin liike ulos.
<p>
(Nimi "valkoinen kohina" tulee siitä, että virittämättömästä radiosta kuuluva kohina
näyttää kuvaajalle piirrettynä aika samalta.
Valkoinen viittaa siihen, että äänen jokainen taajuus on samalla lailla satunnainen,
ihan niin kuin valkoisessa valossa jokainen aallonpituus on yhtä voimakas.
On olemassa eri "värisiä" kohinoita sen mukaan, miten taajuudet käyttäytyvät.)
<p>
Yleisesti ottaen kakkoskohdan rakennelmaa voi vähän muokata:
$1/n$ ei ole ainoa mahdollinen valinta kertoimien keskihajonnaksi.
Jos kertoimet pienenevät nopeammin (vaikka $1/n^{1{,}5}$ tai $1/n^2$),
niin funktiosta tulee sileämpi ja derivoituvampi.
Tämä johtuu siitä, että pahin siksakki tulee korkeammista "taajuuksista", joiden painokertoimet pienenevät nopeammin.
<div style="clear: both; text-align: center;">
<img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEho3N4oFj23KoNLSC7C40CEGAkjoxG4kCGTa4GcUSO_rQTMVnCg9Ei8SznxYoL4H4ffnmfP6bVQIak_eXgQovfmKF8kMHTCExx6L55Yb6k3v4xTnXL26W6EGB2OY6eJWhM4I5bzs-ecdxQwOhf3fDApQpvG1YYri4A9hqWAzqdEPX3B31Xsc61AdK4FeQ/s1600/random-1d-smoothing.png" style="max-width:90%;box-shadow:none;border:0;" alt="Siksakki pehmenee laineiksi." />
</div>
<h3>Tapa 4: ihan erilainen keino</h3>
<p>
Haluan nopeasti esitellä vielä yhden menetelmän kehittää satunnaisia funktioita.
Entä jos valitaankin "melkein" vakiofunktio:
funktio on muuten tasainen, mutta satunnaisin väliajoin se hyppää satunnaisen määrän?
<p>
Sovelluksia ajatellen on luonnollisinta valita hyppyjen suuruus normaalijakaumasta
ja välimatkat niin sanotusta eksponenttijakaumasta.
Eksponenttijakauma tuottaa aina nollaa suurempia lukuja siten,
että pienet luvut ovat todennäköisempiä kuin isot.
<p>
Tällä keinolla syntyvä funktio näyttää jotakuinkin tältä:
<div style="clear: both; text-align: center;">
<img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiI7tpHGIjL_X5rJVtnRRCcLOb_iyZBf6bII-FH4DjfUYLZjfTzfxpB9YC38pW8v5dyrTFdMht1fE1L1E641dmEiSh_X04E1R2e75Tp-V_LQe2bC_DsQ4PMDaKCSaCaYabKJP3cQKTmNF3E--UZaKBCdlVcshODxyiM6K5CRbBoujKLfM6iEHzPGSE0pw/s1600/random-jumps-2.png" style="max-width:90%;box-shadow:none;border:0;" alt="Funktio tekee satunnaisin väliajoin hyppäyksiä ja on muuten vakio." />
</div>
<p>
Kyllä tuotakin voisi hyvällä syyllä kutsua satunnaiseksi.
<p>
Vielä yksi idea!
Entä jos plussataan tämänlainen funktio ja Brownin liike?
Sittenhän saataisiin funktio, jossa on kahdenlaista satunnaisuutta:
sekä satunnaista siksakkia että yllättäviä hyppäyksiä ja pudotuksia.
Pikaisen yhteenlaskun tulos on:
<div style="clear: both; text-align: center;">
<img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgDIQuj4xaZZJ-BSadYptyqYoxgta9j_Qs94y8Jb3VxHY-OZFW8uobIzVX6yYcRIEJ63WRuzz6xlputeoJGl3s5OHzo__YBibzwF50i6A3OeLOsgF7qm3ZWdImkX3FFooO1X1Ph9iwijTukbTQH1sh9ufJjZQJ1PEO_Qf7xbJUndLZxWLFbMueZ28i_Lw/s1600/random-levy.png" style="max-width:90%;box-shadow:none;border:0;" alt="Siksakki tekee lisäksi satunnaisin väliajoin isompia hyppäyksiä." />
</div>
<p>
Tällainen jatkuvan ja hyppivän yhdistelmä on todella hyvä malli moneen käytännön ilmiöön,
sanotaan vaikka pörssikursseihin.
Taloustiedettä lukevat pääsevät tutustumaan juurikin tällaisiin prosesseihin opinnoissaan.
<p>
Lisäksi Brownin liike ja tämänlainen hyppyprosessi ovat matemaattisesti kohtalaisen selkeitä ja toimivia,
ainakin muihin vaihtoehtoihin verrattuna.
Siksi tämä yhdistelmä on hyvin yleinen tapa rakentaa satunnaisia funktioita.
<h3>Ja tarina jatkuu...</h3>
<p>
Toki joukkoon mahtuu vielä muunkinlaisia rakennuskeinoja.
Mikään laki ei esimerkiksi vaadi, että satunnaiset kertoimet olisivat toisistaan riippumattomia.
Samoin asioita voidaan yleistää kahteen tai useampaan ulottuvuuteen.
Kahdessa ulottuvuudessa saadaan satunnainen vuorimaisema:
<div style="clear: both; text-align: center;">
<img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjLZWPAGidHlBAZyici37JVqFmGSLMPVC_VVSod-yEq49DVJznknMizUggWCZOL3A0ij6l_V3Pv2Cm4uKeASp1eJo03Ru9V7DmhYLrmJefbYF6uiATvel6RGHZTb_4farhkpmEHiDKaqhQWJ4JcEo6PeBk20S4U-CwawyzcitEdGV07pGzlK1Qz4a-1ZQ/s1600/random-2d.png" style="max-width:70%;box-shadow:none;border:0;" alt="Kuvaaja näyttää etäisesti vuoristolta." />
</div>
<p>
Ulottuvuuden kasvaessa tosin kasvavat myös tekniset ongelmat.
Alussa nähdyn valkoisen kohinan kaltaiset ongelmatapaukset muuttuvat yleisemmiksi
ja vielä ilkeämmiksi.
Äärettömät summat eivät enää suppenekaan ilman mystisiä kikkakolmosia,
joita fyysikot ovat kehitelleet saadakseen mallinsa toimimaan.
<p>
Lienee turha sanoakaan, että hankalasti käsiteltävät jutut tunnetaan myös nimellä
"kiinnostava matemaattinen tutkimuskohde" ja siksi Helsingissäkin useampi väitöskirjatutkija
painii näiden olioiden kanssa.
<hr style="margin-top:4em">
<b>Lopuksi pieni huomio:</b>
Todennäköisyyslaskentaa yliopistossa lukeville täytyy lisätä tähän pieni täsmennys.
Useimpiin väitteisiin pitää kirjoittaa perään "melkein varmasti".
Esimerkiksi Brownin liike on jatkuva vain melkein varmasti,
eli on mahdollista saada epäjatkuva funktio
– sen todennäköisyys vain sattuu olemaan nolla.
<p>
Myöskin kakkos- ja kolmoskohtien funktioissa on oikeasti pieni ero:
kolmoskohdassa funktio ei ala ja pääty samaan arvoon.
Tämä puute olisi helppo korjata valitsemalla ensimmäinen jana vakiofunktioksi,
mutta muuten menetelmä pysyy samana.
<p>
Ymmärtänet, minkä takia ohitan tämänlaiset yksityiskohdat yllä.
Tekniset detaljit ovat välillä turhauttavia, vaikka niistä täytyykin olla tietoinen.
Alan ammattilaisille "melkein varmasti" on jatkuva taustaoletus.
Petri Laarnehttp://www.blogger.com/profile/02918099887181866034noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-6928022722273734349.post-4573228180425979272022-07-14T18:49:00.001+03:002022-07-18T09:19:31.057+03:00Fieldsin mitalit 2022<div style="clear: both; text-align: center;">
<img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi43qnPEkXd3zACS38HHbwwgdCT6ru0_dvImYpvJiMG9Ef6dgIZJVm9mqrJO1Te7g3DP2-2xUCc1_AQltX1GoW8L_fOVb_3s_KWY9W0fe-o1jc6lfYsNyqbetOpDawtje0-XngafjWQYBf3iXqZ9qGnRg2VvvsAywhsteZFiaSOWobQXyHej_VQfkAOgw/s1600/Fields.jpg" style="max-width:50%;box-shadow:none;border:0;" alt="Kuva kultaisesta mitalista, jonka keskellä Arkhimedes ja reunoilla latinaa." title="En tiedä, kuinka hyvin Arkhimedes tuota latinaa lukisi." />
</div>
<p>
Mikäli seurasit uutisia viime viikolla, saatoit huomata pienen otsikon "matematiikan Nobeleista". (Jos seurasit esim. luonnontieteisiin erikoistunutta, ilmaista <a href="https://www.quantamagazine.org/" rel="noopener">Quanta Magazine -nettilehteä</a>, et voinut olla huomaamatta isoja otsikoita.)
</p>
<p>
Maailmantilanteen takia <b>Fieldsin mitalit</b> sekä kourallinen muita palkintoja jaettiin tiistaina 5.7. hieman yllättäen... Helsingissä. Alla käyn läpi vastaukset muutamaan kysymykseen:
</p>
<ul>
<li>Mitkä ihmeen Fieldsin mitalit?
<li>Onko syytä mennä torille?
<li>Ketkä ne sitten saivat ja mistä hyvästä?
</ul>
<a name='more'></a>
<h3>"Matematiikan Nobelit"</h3>
<p>
Fieldsin mitali on ehkä tunnetuin ja arvokkain palkinto, jonka matemaatikko voi saada työstään. Koska muissa luonnontieteissä vastaava palkinto on Nobel, niin tästä syystä mitaleita kutsutaan "matematiikan Nobeleiksi". Tämä siitä huolimatta, että Nobel ja Fields ovat jotakuinkin toistensa täydet vastakohdat.
</p>
<p>
Fieldsin mitalissa on nimittäin ikäraja: saajan täytyy olla alle 40-vuotias, sillä mitalin olisi tarkoitus olla kannustuspalkinto vielä suurempia saavutuksia kohti. Nobeleissa puolestaan pitkäikäisyydestä ei ole ollenkaan haittaa, mikäli palkittujen listaa on uskominen. Matemaattisesta elämäntyöstä olisi olemassa myös norjalaisten maksama Abelin palkinto. Mutta ei anneta yksityiskohtien pilata hyvin brändättyä vertausta...
</p>
<p>
Fieldsin mitaleita jaetaan neljän vuoden välein, ja kerralla sen saa 2–4 matemaatikkoa. (Viime vuosina voittajia on ollut neljä, eikä hyvä matematiikka tunnu olevan vähenemään päin.) Kukin saa palkinnon omasta työstään, ja palkinnot pyritään hajauttamaan matematiikan eri aloille. Voittajat paljastetaan matemaatikoiden kansainvälisen kongressin (ICM) avajaisseremoniassa.
</p>
<h3>Onko Suomi mainittu?</h3>
<p>
Tähän mennessä vain yksi suomalainen on saanut Fieldsin mitalin. Hän oli <b>Lars Ahlfors</b> ja vuosi oli 1936 – ensimmäinen kerta, kun mitaleita jaettiin.
</p>
<p>
Ahlfors (1907–1996) työskenteli kompleksianalyysin ja läheisten alojen parissa. Mitalin saadessaan hänellä oli virka Helsingin yliopistossa, mutta sotien jälkeen hän siirtyi Harvardin yliopistoon, jossa oli uransa loppuun asti. Tiedän syvemmästä kompleksianalyysista aivan liian vähän tehdäkseni kunniaa Ahlforsin työlle, mutta sen tiedän, että hänen vuoden 1953 oppikirjansa aiheesta – mielikuvitukselliselta nimeltään <i>Complex Analysis</i> – on edelleen alan klassikko.
</p>
<p>
Ahlforsin mukaan on nimetty Helsingin yliopiston Kumpulan kampuksen suurin auditorio, jossa myös pidetään matematiikan peruskursseja. Oven vieressä on replika hänen mitalistaan; perikunta lahjoitti alkuperäisen yliopiston museolle.
</p>
<div style="clear: both; text-align: center;">
<img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjnonEkRY5_7WZqnBNAYGVQHKpkjsFY6U6Zou9YmtXFw0hZnRLf9MRWVjxIvQqcIoGffYKq2c7T7pLvxN-Jl3vIGnffNyhrsFQaChtW1Qn-i3Ks6_6JuNwjehG0_k5C5a9kVmQcDIzdFLXZTcNGJiUQdMmXgESr_UzZk36WIzlb8MBilzZ4VQ0DfLZcrA/s1600/Seremonia.jpg" style="max-width:90%;box-shadow:none;border:0;" alt="Aalto-yliopiston juhlasali, etualalla mitalistit ja valkokankaalla värikäs sekasotku" title="Vuoden 2014 Fields-mitalisti tarjoaa tripin koko porukalle." />
<p><i>(Seremonia Aalto-yliopiston entisellä kauppakorkealla. Kuva otettu ihan takarivistä, mutta kyllä siellä näkyy matemaatikkoliiton puheenjohtaja ja neljä mitalistia. Vuoden 2014 mitalisti Martin Hairer demoaa juhlapuheessaan mallia, joka liittyy Duminil-Copinin työhön, ks. alla.)</i></p>
</div>
<h3>Helsinki 2022</h3>
<p>
Kansainvälinen matemaatikkokongressi on kerran aiemmin järjestetty Helsingissä, vuonna 1978. Tänä vuonna ICM oli tarkoitus järjestää Pietarissa. Päätös oli alusta asti herättänyt närää Krimin miehityksestä sekä Venäjän ihmisoikeustilanteesta johtuen. Vastalauseista huolimatta järjestelyt jatkuivat. Mitalistit saivat tiedon voitostaan ilmeisesti tammikuun puolessavälissä, tiukalla salassapidolla tietenkin. Ja sitten tapahtui 24. helmikuuta.
</p>
<p>
ICM:n perinteisiin kuuluu järjestää ympäri maailman pienempiä "satelliittitapahtumia", joissa paikalliset matemaatikot pääsevät kokoontumaan – ne ovat muutenkin mukavampia kuin 5000 ihmisen massatapahtuma. Helsinkiin oli valmisteilla matemaattiseen fysiikkaan keskittyvät etkot, joihin oli tulossa alan kärkinimiä niin Euroopasta kuin kauempaakin. Kun tieto ICM:n siirtymisestä virtuaalimuotoon tuli, alkoi professorien kesken tapahtua. Pikaisesti koottu suomalainen komitea tarjoutui järjestämään edes seremoniat livetapahtumana.
</p>
<p>
Niinpä sitten se ei ollut Putin vaan Niinistö, joka toivotti muutaman sataa matemaatikkoa tervetulleeksi tiistaiaamuna 5.7.2022. Hetkeä myöhemmin neljä mitalia oli jaettu, ja loppupäivän ajan kuultiin mitalistien esittelyjä sekä jaettiin muutama muukin palkinto. (Usein valtionjohtaja osallistuu myös mitalien jakamiseen, mutta Suomen presidentillä on viime aikoina ollut vähän kiire.)
</p>
<p>
Yritän seuraavaksi tiivistää, mitä tämänvuotiset mitalistit ovat saaneet aikaan.
</p>
<div style="clear: both; text-align: center;">
<img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi8IAPjA_myU5gL89PMbdEjSfbjRem4QIQ0utdj9Ji6pLocesy9oKA5-kQnCPvwRDqZrU1L2BweALuRmJo8XH3bxqeW7l3zUZW_xVcXA2Y6kzjQc8MP11RG9qGkesJGFL_HewjzxP4DWYOmW9VOldLRDzxJIfLtlA9UeTiyI4u2oj8MX3i-qVXQU2l_bg/s1600/HugoDC.jpg" style="max-width:90%;box-shadow:none;border:0;" alt="Kauluspaitaan pukeutunut ranskalainen luentosalin edessä, taustalla esitelmän dia" title="Ei sillä, että eturivin paikalta mitään näkisi." />
<p><i>Hugo Duminil-Copin seuraavan päivän julkisella luennollaan. Kannattaa tarjoutua nakkihommiin esitysten järjestelyssä, niin saa istumapaikan eturivistä.</i></p>
</div>
<h3>Hugo Duminil-Copin, matemaattinen fysiikka</h3>
<p>(<a href="https://youtu.be/AY_B9gk18Mw" rel="noopener">Videoesittely YouTubessa</a>)</p>
<p>
Duminil-Copinin työ on minulle tutuinta, koska työskentelen itse edes puolittain samalla alalla. Matemaattinen fysiikka pyrkii saamaan fyysikoiden tutkimia ilmiöitä – tai ainakin niiden yksinkertaistuksia – kestävälle matemaattiselle pohjalle. Duminil-Copin tutkii malleja, joissa ainetta kuvataan <i>hilana</i>: pisteiden muodostamana ruudukkona, kuten vaikkapa kokonaislukuja olevat koordinaatit muodostaisivat kartalla.
</p>
<p>
Yksi tällainen malli on Ising-malli. Siinä jokaisessa pisteessä hiukkanen osoittaa joko ylös tai alas. Vierekkäiset hiukkaset pyrkivät olemaan samoin päin, mutta "lämpötila" määrää, kuinka vapaasti hiukkaset saavat suuntansa valita. Tällä tavoin saadaan yksinkertainen versio magneettisesta aineesta: suuntien keskiarvo osoittaa magneettikentän suunnan.
</p>
<p>
Magneetteihin liittyy jännittävä Curie-ilmiö. Matalassa lämpötilassa aine on magneettista eli useimmat hiukkaset osoittavat samaan suuntaan. Mutta kun magneettia kuumentaa tarpeeksi, hiukkaset alkavat pyöriä kukin miten sattuu ja aine menettää magneettisuutensa, kunnes se viilenee uudelleen! Muutos tapahtuu niin sanotussa <i>kriittisessä lämpötilassa</i>. Ising-malli käyttäytyy tässä suhteessa oikean magneetin tavoin eli silläkin on kriittinen "lämpötila" (lainausmerkit saa ottaa pois, kunhan yksiköt valitsee fysikaalisesti järkevällä tavalla).
</p>
<div style="clear: both; text-align: center;">
<img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgBIks8YmUj9ZfKQBychfYViJUyVwWydquMZzZ_BK0itgg9H_SLlXpjIHt222NwCPkZ-kMCC_-jwiH4gYyVhRRJzr4WzK8JEDpfJ6LqXqJBLQHIKQEQxl0zX0uikn9VOumV4faLNT2JoGXpCUvnBkAos1xDjSh3LcxBKIPctdSpaRNV5QmN0a6L7eMpmQ/s1600/Ising.gif" style="max-width:80%;box-shadow:none;border:0;" alt="Vasemmalla sekavaa kahden värin mössöä, oikealla toinen väri dominoi mutta toista väriä on pieninä laikkuina." title="Kun Hairer esitti animaation tästä mallista seremoniassa, striimin videotarkkailija meinasi pudota penkiltään. Näyttäähän se siltä kuin kaapeli olisi mennyt poikki." />
<p><i>Vasemmalla kaoottinen kuuma magneetti; oikealla viileä magneetti, jossa valtaosa atomeista on samanvärisiä. (Kuva: Martin Hairer, <a href="https://arxiv.org/abs/2207.01715" rel="noopener">arXiv:2207.01715</a>, CC-BY 4.0.)</i></p>
</div>
<p>
Yleisesti ottaen matemaattisessa fysiikassa "kriittinen" tarkoittaa samaa kuin "kiinnostava". Kriittinen lämpötila ja mallin käytös sen läheisyydessä eivät aina ole helppoja selvittää. Ising-mallin toiminta kahdessa ulottuvuudessa on melko hyvin tunnettua, mutta jo kolmas ulottuvuus (eli se hyödyllisin...) tuottaa lisää vaikeuksia. Duminil-Copin on juurikin ratkaissut ongelmia kolme- ja neliulotteisessa tapauksessa. Neljäs ulottuvuus on fyysikoille tärkeä, koska he puhuvat aika-avaruudesta, ja ikävä kyllä Duminil-Copin osoitti, että jotkin yksinkertaisista malleista ovat liian yksinkertaisia siinä tapauksessa. Työ ei siis ole lopussa...
</p>
<p>
Duminil-Copin sattui olemaan satelliittikonferenssiin kiinnitetty esiintyjä, ja hän piti esitelmän Fields-seremoniaa edeltävänä päivänä. Pokka piti, mutta käytävillä supistiin kyllä hänen hyvistä mahdollisuuksistaan mitaliin.
</p>
<h3>June Huh, kombinatoriikka/algebrallinen geometria</h3>
<p>(<a href="https://youtu.be/HJvb7aQcIXo" rel="noopener">Videoesittely YouTubessa</a>)</p>
<p>
Tätä onkin sitten hieman vaikeampi avata, koska en tiedä kovinkaan paljoa kombinatoriikasta, algebrallisesta geometriasta enkä varsinkaan niiden leikkauskohdasta. Mutta yritetään silti.
</p>
<p>
Ota paperi ja piirrä siihen $N$ pistettä. Yhdistä kaikki pisteet toisiinsa suorilla viivoilla. Joko piirsit kaikki pisteet samalle suoralle, tai tarvitset ainakin $N$ viivaa.
</p>
<p>
Tässä on esimerkki geometrisesta ongelmasta, johon liittyy <i>kombinatoriikka</i>: erilaisten vaihtoehtojen lukumäärän laskeminen. Entä jos pisteet ovatkin pallolla ja suorat korvataan isoympyröillä? Entä donitsilla, tai korkeamman ulottuvuuden avaruudessa? Huh todisti joitakin merkittäviä tuloksia kysymyksen tiettyyn versioon liittyen, mutta hänen päätyönsä liittyy vielä mutkikkaampiin objekteihin.
</p>
<p>
Huh muuten harkitsi uraa runoilijana ennen kuin löysi matematiikan. Aloissa on loppujen lopuksi paljon samaa.
</p>
<h3>James Maynard, lukuteoria</h3>
<p>(<a href="https://youtu.be/m6sYWT_9RFE" rel="noopener">Videoesittely YouTubessa</a>)</p>
<p>
En ole myöskään lukuteoreetikko, mutta Maynardin tutkimusala aukeaa paljon helpommin. Hän nimittäin tutkii alkulukujen jakaumaa lukusuoralla.
</p>
<p>
Alkulukuja ovat siis kaikki ykköstä suuremmat kokonaisluvut, jotka ovat jaollisia vain itsellään ja ykkösellä. Alkuluvut ovat kiehtoneet matemaatikoita jotakuinkin viimeiset 2500 vuotta, eikä loppua näy. Niillä on lukemattomasti sovelluksia; muun muassa moderni salakirjoitus perustuu osin alkulukuihin.
</p>
<p>
Yksi epäselvä kysymys on, kuinka tiheässä alkulukuja on. Niitä on äärettömän monta, mutta pidemmälle lukusuoralla mentäessä ne käyvät harvemmaksi – joukosta tippuvat vuoron perään kaikki kahdella, kolmella, viidellä... jaolliset luvut. Silti joukosta löytyy esimerkiksi alkulukupareja, jotka ovat muotoa $(p, p+2)$. (Välissä oleva luku on parillinen.) Tällä hetkellä ei tiedetä, onko alkulukupareja äärettömästi.
<p>
Se sen sijaan tiedetään, että muutaman sadan sisällä toisistaan olevia alkulukuja on äärettömän monta. Tästä projektista kertoo esimerkiksi <b>Vicky Nealen</b> mukava kirja <i>Closing the Gap</i> (Oxford 2017). Maynardilla oli suuri rooli tämän todistamisessa. (Tarinassa esiintyy muuten myös Kaisa Matomäki, yksi Suomen tällä hetkellä tunnetuimmista matemaatikoista.)
</p>
<p>
Maynard on myöskin todistanut tuloksia alkulukujen tihentymistä ja harventumista, ja ehkä eksoottisimpana: osoittanut, että on olemassa äärettömän monta alkulukua, joista ei löydy numeroa 7. Numero 7 ei ole maaginen, sen voi vaihtaa mihin tahansa muuhun.
</p>
<div style="clear: both; text-align: center;">
<img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhh5T2riGYlwcyXLdM2xU3wx6qQB52VzjbJJahAoK7s0NaT2gRsRJzA20-NoBesr3IiU_CitQKt0_PBgoyPmoyihsc7_LZ2gMsp4nNF2c-vWyukqI3zXCwfeZRW1eh5KAe5A60wiGASkprUdCF46dfcGcXhN1Vhx-IyBoPx19MfpUvcSda_P9V3F-pZSQ/s1600/ClosingTheGap.jpg" style="max-width:60%;box-shadow:none;border:0;" alt="Valokuva Closing the Gap -kirjan kannesta" title="Kyllä tämä on lukusuositus." />
</div>
<h3>Maryna Vjazovska, lukuteoria/geometria</h3>
<p>(<a href="https://youtu.be/yAyuipqM5uQ" rel="noopener">Videoesittely YouTubessa</a>)</p>
<p>
Vjazovskan tunnetuin tutkimustulos saattaa kuulostaa alkuun erikoiselta: hän on todistanut tehokkaimman tavan pakata palloja kahdeksanulotteisessa avaruudessa.
</p>
<p>
Tämä on kuitenkin oikeasti iso juttu. Jos ajatellaan kahta ulottuvuutta, niin kuusikulmiot ovat kaikista tiivein pakata ympyröitä. Tätä ei myöskään ole ihan mahdotonta, jos ei ihan helppoakaan, todistaa parhaaksi tavaksi.
</p>
<div style="clear: both; text-align: center;">
<img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgAqr6mf3TUSXgfjxoNA7tsznG8mRWihjmqg8p5BrgnS2IwBwm4vBhYV-defCWkZlRFh0_c3Rev82Wvjj6olk9Q1YGrl9y41sEM6f5dfCac4vzkvu32iO6cmu_GVMMl_UZxJqknszaJ84ht/s1600/Kolikot.jpg" style="max-width:40%;box-shadow:none;border:0;" alt="Kolikoita hunajakennon muotoisessa kuviossa." />
<p><i>(Kuva kierrätetty tekstistä </i><a href="https://www.nollakohta.fi/2017/10/roope-ankan-rahasailio.html">Roope Ankan rahasäiliö</a><i>.)</i></p>
</div>
<p>
Kolmessa ulottuvuudessa ongelman ratkaisu on ihan yhtä lailla intuitiivinen. Mutta todistus sille, että tämä todella on paras tapa – niin sanottu Keplerin konjektuuri – olikin äärimmäisen vaikea. Sen todisti 90-luvun lopussa Thomas Hales. Todistus oli todella vahvasti tietokoneavusteinen: suurin osa työstä koostui valtavasta määrästä koodia ja laskelmia. Siksi myöskin meni monta vuotta tarkistaa, että todistus on oikein!
</p>
<p>
Ja tähän päättyi ihmiskunnan ymmärrys pallojen pakkaamisesta. Neljännestä ulottuvuudesta ylöspäin olemassa oli vain alarajoja tehokkaimmalle tavalle, sekä vahvahko veikkaus parhaasta tiheydestä. Siksi oli aikanaan melkoinen uutispommi, kun Vjazovska julkaisi todistuksen 8-ulotteiselle tapaukselle. Pian sen jälkeen hän ja muutama muu matemaatikko saivat käytettyä samoja tekniikoita 24-ulotteiseen avaruuteen.
</p>
<p>
Kahdeksanulotteisten pallojen pakkaaminen voi tuntua turhalta, mutta asialla on sovelluksia tietojenkäsittelyn puolella. Virheenkorjauskoodit ja data-analyysi nimittäin toimivat korkeaulotteisissa avaruuksissa. Lisäksi Vjazovskan kehittämät työkalut voivat olla hyödyllisiä muuallakin – todistus nojaa vahvasti uusiin tuloksiin Fourier-analyysissa, joka ulottuu <a href="https://www.nollakohta.fi/2019/09/teekkarin-ja-teoreetikon-ylin-ystava.html">käytännössä jokaiseen matematiikan alaan</a>.
</p>
<p>
Vjazovska on syntynyt Kiovassa, joten sota varjostaa hänen voittotunnelmiaan. (Palkitut saivat tiedon voitostaan joitakin viikkoja ennen Venäjän hyökkäystä.) Hän on toinen Ukrainassa syntynyt sekä toinen koskaan Fieldin mitalin voittanut nainen.
</p>
<h3>Muita palkittuja</h3>
<p>
Seremoniassa jaettiin myös joitakin muita Kansainvälisen matemaattisen liiton palkintoja, jotka ovat vähemmän tunnettuja, mutta arvokkaita silti.
</p>
<p>
<b>Abacus-palkinto</b> on säännöiltään kuin Fields, mutta sen saa tietojenkäsittelyn matematiikan edistäjä. Palkintoa sponsoroi Helsingin yliopisto. (Mitali kantoi aiemmin Rolf Nevanlinnan nimeä, mutta Nevanlinnan sodanaikaiset yhteydet Saksaan ja SS-joukkoihin kävivät painolastiksi.)
</p>
<p>
Mark Braverman sai palkinnon työstään erilaisten viestiprotokollien parissa. Kysymys kuuluu, kuinka vähällä tiedonsiirrolla kaksi tai useampi toimijaa voi päästä yhteisymmärrykseen. Esimerkiksi salakirjoituksessa halutaan välittää viesti niin, että viestiä itsessään <a href="https://www.nollakohta.fi/2017/02/julkisia-salaisuuksia.html">ei siirretä missään vaiheessa</a>. Toinen esimerkki: miten kaksi miljardööriä voi päätellä, kumpi on rikkaampi, paljastamatta omaa varallisuuttaan? Alan teoria menee syvälle.
</p>
<p>
<b>Chern-mitali</b> myönnetään elämäntyöstä matematiikan parissa. Se myönnettiin Barry Mazurille, joka on tehnyt pitkän uran topologian ja lukuteorian parissa (yksi hänen tuloksistaan oli avainroolissa Fermat'n suuren lauseen todistuksessa). Lisäksi hän on ohjannut melkoisen joukon väitöskirjoja ja siten kasvattanut uusia sukupolvia matemaatikoita. Palkintovideolla (<a href="https://www.youtube.com/watch?v=QtmJij-imzs" rel="noopener">YouTube</a>) yleisön sympatiat keräsi myös Mazurin vaimo, joka kutsui 62 vuoden kokemuksella matemaatikoita ihanimmaksi ammattiryhmäksi ❤
</p>
<p>
<b>Gauss-palkinto</b> juhlistaa matematiikan sovelluksia muilla tieteenaloilla. Tänä vuonna sen sai Elliott H. Lieb, joka on vuosikymmenten varrella ollut matemaattisen fysiikan ja kemian moniottelija sekä laaja-alainen matemaatikko.
</p>
<p>
Uusimpana muttei vähäisimpänä on <b>Leelavati-palkinto</b>, joka juhlistaa matematiikan popularisointia. Tämänvuotinen voittaja Nikolai Andrejev on tuottanut tiiminsä kanssa lukuisia videoita, malliesineitä ja kirjan, sekä kiertänyt esiintymässä pitkin Venäjää.
</p>
<h3>Mitä tästä ajatella?</h3>
<p>
Olen pikkaisen Nobeleiden ja Fieldsin mitaleiden ajatusta vastaan. Onko todella vain yksi tulos per vuosi palkinnon arvoinen? Nobeleiden rajoitusta enintään kolmen hengen ryhmään on kritisoitu vuosikymmeniä – Fields on yksilöpalkintona vielä pahempi. Kun mukana on vielä neljänkympin ikäraja, ei voi välttyä mielikuvalta, että matematiikka olisi nuorten superlahjakkuuksien laji.
</p>
<p>
Todellisuudessa jokainen voittajista on tehnyt paljon yhteistyötä muiden kanssa, ja jokaisen voittajan tulokset rakentuvat lukemattomien aiempien tulosten päälle. Tämän vuoden Fields-mitalisteista ahkerin artikkelien kirjoittaja on ollut Hugo Duminil-Copin. Hän on julkaissut 70 "paperia", joista 62 kappaletta kaikkiaan 57 muun tutkijan kanssa. Hänen siteeratuin artikkelinsa viittaa itse 41 aiempaan julkaisuun. (Nämä tiedot löytyvät vapaasta <a href="https://zbmath.org/authors/duminil-copin.hugo" rel="noopener">zbMath-tietokannasta</a>.)
</p>
<p>
Tilannetta ehkä vähän helpottaa se, että useimmilla Fieldsin mitalisteilla on plakkarissaan useampikin merkittävä tulos, taikka heidän työnsä yhdistää useita matikan aloja. Enkä voi kiistää, etteikö Fieldsin kaltainen tunnettu palkinto olisi hyvää markkinointia matematiikalle – harvemmin näkee Yleä, Hesaria ja useampaa kansainvälistä uutistoimistoa matemaatikoiden kokoontumisissa.
</p>
<p>
Joka tapauksessa jokainen palkinto on ansaittu. Vaikka kunnian perässä juokseminen ei ole millään tähtäimellä järkevä urasuunnitelma, on niistä varmasti motivaatiota joillekin – vähintäänkin alaa kiinnostuneena seuraaville. Siispä jännittämään, keitä neljän vuoden päästä palkitaan!
</p>
Petri Laarnehttp://www.blogger.com/profile/02918099887181866034noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-6928022722273734349.post-2110906590136634662021-03-14T18:07:00.000+02:002021-03-14T18:07:04.736+02:00Paljon iloa osittaisintegroinnista<p>
Pitkän matematiikan oppimäärä yllättää.
Mikä aikanaan oli vain näppärä temppu vaikeiden laskujen laskemiseen, onkin avain todella nerokkaaseen ja kauniiseen teoriaan.
</p>
<p>
Tai ainakin yllätti.
Niin pitkälti kuin minä tiedän, oppikirjoissa ei enää puhuta tästä kaverista.
Pitkää matikkaa, kuten montaa muutakin ainetta, on viime vuosina kevennetty.
Käsinlaskemista on korvattu ohjelmistojen käyttämisellä, joten tätäkään työkalua ei enää tarvita.
</p>
<p>
Kyse on siis osittaisintegroinnin kaavasta
</p>
\[
\int_a^b f(x)g'(x) \,\mathrm dx
= \bigg/_{\hspace{-0.6em}a}^{\,b} f(x)g(x) - \int_a^b f'(x)g(x) \,\mathrm dx.
\]
<p>
Siis mikä, ja miksi tästä on valtavasti iloa?
</p>
<p>
(Varoituksen sanana: tässä tekstissä pyöritellään integraaleja. Ensi kerralla taas helpompaa kamaa!)
</p>
<a name='more'></a>
<h3>Vaikeiden laskujen helpottaja</h3>
<p>
Kaava itsessään näyttää hirveän abstraktilta, joten otetaan alkuun esimerkki.
(Jos integrointi ei ole tuttua, tämä esimerkkikään ei välttämättä valaise liikaa.
Integroinnissa on siis kyse funktion kuvaajan alle jäävän pinta-alan laskemisesta.)
</p>
<p>
Otetaan funktioksi vaikka $x e^x$.
Tämän integroiminen on pelkän määritelmän avulla aika toivotonta.
Osittaisintegroinnin idea on, että funktio jaetaan kahden funktion – tässä $x$ ja $e^x$ – tuloksi.
Jos toinen näistä on tutun funktion derivaatta, niin derivoinnit voidaan vaihtaa päikseen.
</p>
<p>
Tässä esimerkissä $e^x$ on derivaatta funktiosta nimeltä $e^x$.
Aika helppoa.
Derivaatan vaihto antaa meidän derivoida funktiota $x$, ja sen derivaatta on tutusti $1$.
Tällöin integraali saadaan muotoon
</p>
\[
\int_a^b x e^x \,\mathrm dx
= \bigg/_{\hspace{-0.6em}a}^{\,b} x e^x - \int_a^b e^x \,\mathrm dx.
\]
<p>
Oikealla puolella on sijoitus (tämä merkintätapa on muuten käytössä lähinnä Suomessa) sekä integraali, jonka jokainen integraalilaskennan kurssin käynyt osaa laskea.
Lopputulokseksi saadaan
</p>
\[ b e^b - a e^a - e^b + e^a. \]
<p>
Mitä iloa tästä sitten on?
No, valtaosa elämässä eteen tulevista integraaleista – ja niitähän tulee vastaan lähinnä jos olet luonnontieteilijä tai insinööri – vaatii järeämpiä aseita kuin lukiokurssilta tutut määritelmät.
Näiden aseiden nimet ovat sijoitus, osamurtohajotelma ja osittaisintegrointi.
</p>
<p>
Niin, ja nykyaikana tietenkin Wolfram|Alpha, mikä lienee syy perinteisten tekniikoiden katoamiseen opetussuunnitelmasta.
</p>
<div style="clear: both; text-align: center;">
<img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj7ZirTeMmq-0Sy9OKDRMD2WXMlSNlujIrmM6P4TIS93q6g4ibs4ean6Hqw1oEZJ6oWOpiNKpFml6wGhrDzG8pQyeG6UaGbXFwLpQVoX1NtDitd1HVRpRpWBYbafqJFL-7zisnQubpfOdMw/s0/MatikkaWA.png" style="max-width:30%;box-shadow:none;border:0;" alt="Kuvitteellinen matikankirja, jonka kannessa Wolfram Alphan logo." title="Ei sillä, että itsekään olisin arvostanut numeerisia menetelmiä. Silloin." />
</div>
<h3>Miksi matemaatikko välittää?</h3>
<p>
Nämä laskukaavat ovat edelleen olennainen osa matemaatikon peruskoulutusta.
Keksin äkkiseltään siihen ainakin kolme syytä.
</p>
<p>
<b>Syy numero yksi</b>: jonkun täytyy ohjelmoida se Wolfram|Alphakin.
Yliopiston kirjastosta löytyy paksuja hakuteoksia, joissa on esitetty valtavasti erilaisia integroimis- ja summasääntöjä.
Nämä olivat olennaisia käsinlaskemisen avuksi aikana ennen tietokoneita.
Nyt on olemassa algoritmeja, jotka huolehtivat tästä työstä (jota kovin moni tuskin kaipaisi), mutta kuuluu ihan yleissivistykseen tietää kaavoista tärkeimmät.
</p>
<p>
Asia nimittäin on niin, että suuri osa matemaatikon koulutuksesta on intuition muodostamista.
Toki opinnoissa on paljon substanssia, mutta harva muistaa yksityiskohtia kuin juuri omalta erityisalaltaan.
Pointti onkin tietää, mistä etsiä.
Todistuksista jää käteen nippu erilaisia lähestymistapoja ja tekniikoita.
</p>
<p>
Yllättävän moni näistä tekniikoista perustuu tutunnäköisen integraalin tunnistamiseen.
Tätä voi olla vähän vaikea selittää, mutta näin se on ainakin minun erikoisalallani (matemaattinen analyysi eli nimenomaan derivaattojen ja integraalien kanssa nuhjaaminen).
</p>
<p>
<b>Syy numero kaksi</b>: totta kai insinöörihommat kannattaa tehdä laskimella, mutta matematiikassa on kyse suuremmasta.
Tämä kaava toimii, vaikka $f$ ja $g$ olisivat täysin tuntemattomia.
Sitä kautta voi lähteä ratkomaan, kuinka suuren arviointivirheen insinöörin laskuohjelma tuottaa, tai ratkaista vaikean kaavan nopeammin laskettavaan muotoon.
</p>
<p>
Vaikka tietokoneet ovat nopeita, kaavat kannattaa yhä pyöritellä helpommin laskettaviksi – muuten se koirankorvat lisäävä Snapchat-filtteri tarvitsisi pari minuuttia pähkäilyyn.
</p>
<p>
<b>Syy numero kolme</b>: osittaisintegroinnin kaavalla on syvä matemaattinen merkitys.
Niin on yllättävän monella lukiomatikan asialla, vaikka sen tajuaakin vasta viisi vuotta myöhemmin.
</p>
<h3>Miten itseisarvoa derivoidaan</h3>
<p>
Tätä ihmettä varten meidän pitää loikata integroinnista derivointiin.
Kuten kaikki varmasti muistavat, derivointi tarkoittaa hetkellisen kulmakertoimen määrittämistä,
suomeksi sanottuna siis tangentin piirtämistä funktion kuvaajalle:
</p>
<div style="clear: both; text-align: center;">
<img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi3R6vFxSI-t_6M2C1QINqL9Q_FDEbY0CU12mLyMkqqABhYMMN0sZWrGRVwgb_DwtQcFBmkwP8Aa6ELLLagjh87CvKVJi4HACmuny6xz_YAZyh1r1ecOQkOviM4UV0IW9SeU-CJ4JMEdnNb/s0/Tangentti.png" style="max-width:50%;box-shadow:none;border:0;" alt="" title="Kaikki esimerkit näyttävät aina tältä." />
</div>
<p>
Mutta sitten on sellaisia pirskutin funktioita, joita ei voi derivoida.
Vaikkapa itseisarvofunktio, jonka kärkeen voisi piirtää tangentin keikkumaan kuin lähimmän leikkipuiston keinulaudalla.
(Jos lähimmässä leikkipuistossa keinulauta sattuu olemaan ylösalaisin.)
</p>
<div style="clear: both; text-align: center;">
<img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhgBWHMKM0PXJKNpjfPPinKoaszwiW2EcL76qyaEhAFqYPajeZozO_Dm9qcucUY88QLvAhuRHzF0WgdbguFaxgXFXLtNnQHYKUwIDxrI6Z893TQjWI6x7RRkdANJuR-_wUwaTncVtBJDcH6/s0/Keinu.gif" style="max-width:50%;box-shadow:none;border:0;" alt="" title="Semisti siistimpi keinulauta." />
</div>
<p>
Itseisarvofunktiota ei voi derivoida origossa.
</p>
<p>
Tätä asiaa korosti muinoinen matikanopettajani.
</p>
<p>
Tämän asian sisäistimme niin, että jopa abivideossamme vitsailimme itseisarvofunktion derivoinnista.
</p>
<p>
Tälle väitteelle haistatan nykyään pitkät.
</p>
<p>
Kyllähän itseisarvofunktion derivointi on mielekästä.
Nollan vasemmalla puolella derivaatta on $-1$.
Nollan oikealla puolella derivaatta on $1$.
Ja nollassa derivaatta on "mitä väliä".
</p>
<div style="clear: both; text-align: center;">
<img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEim0r8YttXh7cbVCHu5S3yWW4iTrMpywU2na78LBWBXPal_kq3au1QZsDuSLEHYe-7lOaWKQ_NbOafSlGrAtyIpjgYd6TyHVDdoUN5ILTTG08zm-sueo-kv50o6GCX7tNQs26vq2g6TgKh-/s0/SamaSe.png" style="max-width:50%;box-shadow:none;border:0;" alt="" title="F--- the system!" />
</div>
<p>
Nyt abit tarkkana, tätä ei kirjoiteta yo-kokeeseen.
Mainittu "mitä väliä" nimittäin on erittäin tarkasti spesifioitu "mitä väliä", jonka määrittelyyn tarvitaan pari kolme vuotta matematiikan yliopisto-opintoja.
Jos väität yo-kokeessa mitään tässä mainittua, niin sinun on parempi vetää esiin perustelut Lebesguen mitasta ja $L^p$-funktioiden ekvivalenssiluokista.
</p>
<p>
Miksi "mitä väliä" on hyvin perusteltu?
No, derivointi ja integrointi ovat toistensa vastakohtia.
Ja jos integroimme funktiota
</p>
\[
f(x) =
\begin{cases}
-1,& x < 0,\\
1,& x > 0,\\
\text{ihan sama},& x=0,
\end{cases}
\]
<p>
niin tulokseksi tulee $|x|$ (plus vakio).
Koska integroinnissa on kyse pinta-alan määrittämisestä, ja $x=0$ on vain yksi piste, niin siinä kohdassa pinta-ala on $0 \cdot \text{ihan sama} = 0$.
</p>
<p>
Kuten sanottua, tämän määrittely matemaattisesti on vähän hienovaraisempaa.
Ei mennä siihen.
</p>
<p>
Sen sijaan derivoidaan jotain vielä karmivampaa.
</p>
<h3>Miten jotain kamalaa derivoidaan</h3>
<p>
Otetaan uusiksi tuo edellinen kuva.
</p>
<div style="clear: both; text-align: center;">
<img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEim0r8YttXh7cbVCHu5S3yWW4iTrMpywU2na78LBWBXPal_kq3au1QZsDuSLEHYe-7lOaWKQ_NbOafSlGrAtyIpjgYd6TyHVDdoUN5ILTTG08zm-sueo-kv50o6GCX7tNQs26vq2g6TgKh-/s0/SamaSe.png" style="max-width:50%;box-shadow:none;border:0;" alt="" title="Edelleen matikka on bädärin uravalinta." />
</div>
<p>
Minä väitän, että tätäkin funktiota voi derivoida.
</p>
<p>
Ja nyt siis tarkkana: derivaatta on kuvaajalle piirretty tangentti.
Mutta origossa tuo kuvaaja tekee hypyn.
Ei ole mitään kohtaa, mihin piirtää tangenttia!
Olenko lopullisesti seonnut?
</p>
<p>
Vastaus: varmaankin, mutta fyysikot olivat jo sata vuotta sitten.
</p>
<p>
Tuon kuvaajan derivaatan pitää olla jotain, jossa on yhteen pisteeseen ängetty niin paljon "massaa", että pinta-ala kasvaa kahdella yksiköllä.
Siis $0 \cdot \text{jotain} = 2$, jos sallit merkintöjen väärinkäytön.
</p>
<p>
Fysiikassa on yllättävän paljon tällaisia tilanteita.
Otetaan esimerkiksi yksittäinen elektroni.
Elektronilla on yhden yksikön suuruinen sähkövaraus, jonka vaikutusta ympäristöön on kiva laskea.
Samaan aikaan elektronit ovat aivan hillittömän pieniä.
Ne ovat paljon atomeita pienempiä, ja atomit vuorostaan ovat todella pieniä.
</p>
<p>
Miksi siis väittää elektronia aivan himputin pieneksi palloksi, kun kukaan ei voi edes nähdä sen muotoa?
(Eikä edes mennä siihen, että nykytiedolla asia on <i>vähän</i> monimutkaisempi.)
On kaikille helpompaa, jos se vain oletetaan pistemäiseksi.
</p>
<p>
Mutta sitten tulee ongelma.
Jos elektronilla on sähkövaraus ja massa, mutta tilavuus nolla, niin tiheydeksi tulee ääretön.
Ääretöntä ei voi käyttää laskuissa, <a href="https://www.nollakohta.fi/2018/02/miksei-nollalla-saa-jakaa.html">kuten nollalla jakaessa huomasimme oikein hyvin</a>.
</p>
<p>
Ja nyt, erittäin pitkällisen johdattelun jälkeen, osittaisintegroinnin kaava astuu takaisin näyttämölle.
(Tšehovin sanoin: jos lavastukseen kuuluu osittaisintegraali, sillä pitää ampua jossain vaiheessa.)
</p>
<p>
Olkoon $f$ kiltein kuviteltavissa oleva funktio, sellainen lukiosta tuttu kaveri jota voi derivoida äärettömän monta kertaa.
Ja olkoon $g$ tämä meidän problemaattinen kuvaajamme.
Kaava meni siis näin:
</p>
\[
\int_a^b f(x)g'(x) \,\mathrm dx
= \bigg/_{\hspace{-0.6em}a}^{\,b} f(x)g(x) - \int_a^b f'(x)g(x) \,\mathrm dx.
\]
<p>
Katsotaan ihan ensiksi tuota sijoitusta.
Sovitaan, että $a$ on nollaa pienempi ja $b$ nollaa suurempi.
Nollan oikealla puolella kuvaaja on ykköstä, vasemmalla puolella miinus ykköstä.
Siispä
</p>
\[
\bigg/_{\hspace{-0.6em}a}^{\,b} f(x)g(x)
= f(b) \cdot 1 - f(a) \cdot (-1) = f(a) + f(b).
\]
<p>
Entäs sitten tuo oikealla puolella oleva integraali?
Siinä ei ole mitään pahaa.
Koska $f$ on kiltein kuviteltava funktio, sitä voi derivoida, eikä kuvaaja ole hypystä huolimatta kovin hankala tapaus sekään.
Äärettömyyksiä ei ole lähimaillakaan.
</p>
<p>
Mutta mitenkäs käy, kun $a$ ja $b$ menevät lähemmäs nollaa?
Alue, jonka pinta-alaa lasketaan, käy aina pienemmäksi.
Siksi oikeanpuoleinen integraali voidaan unohtaa.
Sijoituksesta sen sijaan tulee
</p>
\[
f(a) + f(b) \to 2 \cdot f(0).
\]
<p>
Nyt siis kaava väittää, että
</p>
\[
\int_a^b f(x)g'(x) \,\mathrm dx
\to 2 \cdot f(0).
\]
<p>
Sitten vielä viimeinen isku.
Jos $f$ on kiltti vakiofunktio $1$, niin tällöin saadaan
</p>
\[
\int_a^b g'(x) \,\mathrm dx
\to 2.
\]
<p>
Löysimme siis tavan sanoa, että $g'$ on juuri se "jotain" kaavassa $0 \cdot \text{jotain} = 2$.
</p>
<p>
Tämä "jotain" on kaksi kertaa Diracin massa ($\delta_0$), joka on saanut nimensä kuuluisan fyysikko <b>Paul Diracin</b> (1902–1984) mukaan.
Se on määritelty sellaiseksi joksikin, joka on yhden yksikön kokoisen hypyn derivaatta.
Kuvaajalla siis
</p>
<div style="clear: both; text-align: center;">
<img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhYbMkQoI1AHC-vCtjNW9qdb-li9ZoGBr_UHl2B3zndw17wEhxuKk4n4mmbieNhhGi1G_XMpFxMvor2Za29KlknV84w7ilhGxoB5jUQxMNe-LiLPBXgn6uK75mSt2z_ZsbVQ3CrhUc1QYdZ/s0/Dirac.png" style="max-width:50%;box-shadow:none;border:0;" alt="Nollassa nuoli jonnekin äärettömyyksiin." title="Ei mittakaavassa." />
</div>
<p>
Mutta nyt ne varoitukset.
Kuten useampaan kertaan sanoin, $0 \cdot \text{jotain} = 2$ ei ole mahdollista.
Diracin massa kuulostaa kaverilta nimeltä $\infty$, mutta ääretön ei ole luku vaan käsite ja vieläpä erittäin epämääräinen sellainen.
</p>
<h3>Abstraktia humpuukia taas kerran</h3>
<p>
Tämä derivaatta $g'$ ei nimittäin ole funktio.
Ei ole mahdollista kirjoittaa $g'(0)$ ja odottaa saavansa jotakin lukua ulos.
Pikemminkin $g'(f) = 2f(0)$, kuten kaavasta saatiin.
Kyse on niin sanotusta yleistetystä funktiosta eli distribuutiosta: funktiosta joka ottaa sisäänsä funktion ja antaa ulos luvun (tietyin lisäehdoin).
</p>
<p>
Yksityiskohdat ovat toisen vuoden maisteritason matematiikkaa, ja siksi en niitä tässä esitä.
Asia liittyy kuitenkin funktionaalianalyysiin, josta kirjoittelin syksymmällä (<a href="https://www.nollakohta.fi/2020/09/vahan-kaikki-on-vektoria.html">Vähän kaikki on vektoria</a>).
</p>
<p>
Tätä teoriaa sovellettiin jo 1900-luvun alkupuolella, mutta lopullisen siistimisen hoiti ranskalainen <b>Laurent Schwartz</b> (1915–2002) 1950-luvulla.
Hän sai piakkoin työstään Fieldsin mitalin, matematiikan ehkä arvostetuimman palkinnon.
</p>
<p>
Minun täytyy todeta, että palkinto taisi olla ansaittu.
Vaikka teorian yksityiskohdat ovatkin hankalia, tulokset ovat erittäin kauniita.
Kävin viime syksynä kurssin aiheesta, ja tämä teoria on ehdottomasti kauneinta näkemääni matematiikkaa (tähän mennessä).
</p>
<p>
Osittaisintegroinnin kaavan avulla kaikki kiltin funktion ominaisuudet siirtyvät vähemmän mukavalle funktiolle.
Jos kilttiä funktiota voi derivoida äärettömän monta kertaa, niin voi derivoida mitä tahansa muutakin funktiota.
Kääntöpuoli on, että tulos ei ole enää "oikea funktio" vaan jotain mutkikkaampaa.
</p>
<p>
Tätä teoriaa tarvitaan, koska matematiikka yksinkertaistaa maailmaa.
Elektroni ei ehkä ole pistemäinen, mutta sitä voi arvioida sellaisena.
Suuri osa fysiikassa ja insinööritieteissä tarvittavista yhtälöistä perustuu tällaisiin helpotuksiin.
Schwartzin teoria sanoo, että yhtälöt todella toimivat silloinkin.
</p>
<p>
Joku voisi kysyä, että eikö riitä, että yhtälöt näyttävät toimivan käytännössä.
Sellainen on joskus matemaatikon osa.
</p>Petri Laarnehttp://www.blogger.com/profile/02918099887181866034noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-6928022722273734349.post-33961198540826982842020-10-10T13:44:00.002+03:002020-10-15T09:51:50.805+03:00Tuomiopäivän algoritmi<div style="clear: both; text-align: center;">
<img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj1kzjzaHmqPdArsAn33Io3r-k2dGF6sfsAebAb0TvMYYixVGb0MpuHTZ9goXzLeciNH9iU7DPt2TPKHWc_2sSW0kg-crlo9T6pzAp7FtVYBEtdsspEP1AKItIZszJZDwvcte_7xFj02Ttz/s0/Tuomio.png" style="max-width:90%;box-shadow:none;border:0;" alt="" />
</div>
<p>
Viime kuukaudet ovat paikoin tuntuneet lopun ajoilta.
Ilokseni voin kertoa, että tuomiopäiväkin on tiedossa: se on lauantai.
<p>
En kuitenkaan tarkoita mitään maallisen tai korkeamman oikeusasteen päätöspäivää,
vaan <b>John Conwayn</b> näppärää algoritmia viikonpäivien laskemiseen.
Sen avulla pystyy pienellä harjoittelulla sanomaan ihan tuosta vain, mikä päivä 30.11. sattuu olemaankaan (maanantai).
<p>
Jostain syystä en ollut opetellut temppua aiemmin, ja eiköhän tältä kielialueelta löydy vielä joku muukin toistaiseksi valistumaton.
Eiköhän siis selvitetä, mistä on kyse.
<a name='more'></a>
<h3>Seitsenpäiväinen kellotaulu</h3>
<p>
Tempun ydin on kellotaululaskennassa eli jakojäännöksissä.
Kellossahan 13 on sama kuin 1, joka on jakojäännös 12:lla jaettaessa.
Tällä kertaa kellotaulussa onkin vain seitsemän numeroa.
Maanantai on 1, tiistai 2, ja sunnuntai 7 eli 0.
Sama toimii isommillakin luvuilla: 17 on sama kuin 3.
<p>
Mikä sitten on tuomiopäivä?
Jotkin helposti muistettavat päivämäärät osuvat keskenään samalle viikonpäivälle.
Helpoimmat ovat 4.4., 6.6., 8.8., 10.10. ja 12.12. (voit tarkistaa, että jokainen on sama viikonpäivä).
Samaan kategoriaan kuuluvat myös helmikuun viimeinen päivä, tammikuun 3. (tavallinen vuosi) tai 4. (karkausvuosi) sekä kumminkin päin toimivat parit 9-5 ja 7-11.
<p>
Viimeisten muistisäännöksi Wikipedia antaa "I work 9 to 5 at 7-11".
Suomessa ei ole 7-Eleven-myymälöitä, mutta muistisääntöä ei oikein voi suomentaa R-Kioskiksi.
<p>
Taulukon muodossa tuomiopäiviä ovat siis
<ul>
<li>3.1. (tavallinen -), 4.1. (karkausvuosi)
<li>28.2. (tavallinen -), 29.2. (karkausvuosi)
<li>Edellinen sääntö on kätevä tulkita muodossa 0.3.
<li>4.4.
<li>9.5.
<li>6.6.
<li>11.7.
<li>8.8.
<li>5.9.
<li>10.10.
<li>7.11.
<li>12.12.
</ul>
<p>
Nyt siis temppu ei ole sen vaikeampi kuin hakea lähin tuomiopäivä, laskea erotus päivissä, ottaa jakojäännös ja päätellä siitä viikonpäivä.
<p>
<b>Esimerkki: 30.11. on maanantai</b>, koska
<ol>
<li>Lähin tuomiopäivä: fiiliksestä riippuen 7.11. tai 12.12.
<li>Erotus ensimmäiseen on 23 päivää, jälkimmäiseen -12 päivää (marraskuun viimeinen on sama kuin "joulukuun nollas")
<li>Jakojäännös on kummassakin tapauksessa 2: kaksi enemmän kuin 21 tai -14.
<li>Tuomiopäivä on lauantai, siihen kaksi lisää: maanantai.
</ol>
<p>
John Conway oli niin harjaantunut tempussa, että hän pystyi parissa sekunnissa laskemaan minkä tahansa viikonpäivän vuosisadan sisällä.
Hän ilmeisesti pisti tietokoneensa kyselemään päiviä kirjautumisen yhteydessä: sisään ei päässyt, ellei selvinnyt tehtävistä tiukan aikarajan sisällä.
<h3>Menneet ja tulevat tuomiopäivät</h3>
<p>
Conwayn ei tarvinnut osata ulkoa koko vuosisadan tuomiopäiviä, koska nekin on helppo päätellä.
365 on yksi enemmän kuin seitsemän monikerta, joten tuomiopäivä siirtyy joka vuosi yhdellä ja karkausvuonna toisellakin.
<p>
Siis:
<ul>
<li>2019: torstai, koska 2020 on karkausvuosi
<li>2020: lauantai
<li>2021: sunnuntai, koska 2021 ei ole karkausvuosi
</ul>
<p>
Riittää siis tietää yhden vuoden tuomiopäivä, ja loput voi selvittää laskemalla välissä olevien vuosien ja karkausvuosien lukumäärän.
<p>
Tähänkin voi opetella nokkelan algoritmin, mikäli siltä tuntuu (<a href="https://arxiv.org/abs/1010.0765" rel="noopener">lähde</a>):
<ol>
<li>Joka vuosisadalla on oma kiintopisteensä. 2000-luvulla se on tiistai, 1900-luvulla keskiviikko.
<li>Otetaan vuoden kaksi viimeistä numeroa. (Esimerkiksi 2017 menee muotoon 17.)
<li>Jos luku on pariton, lisätään 11. (17+11 = 28.)
<li>Jaetaan kahdella. (28/2 = 14.)
<li>Jos tämä luku on pariton, lisätään taas 11. (14 on parillinen.)
<li>Vähennetään tämä määrä päiviä vuosisadan kiintopisteestä. (14 on seitsemän monikerta, joten vuoden 2017 tuomiopäivä on tiistai miinus 0 eli tiistai.)
</ol>
<p>
Jotta nämä temput sujuvat, täytyy siis harjoitella pikkaisen seitsemän monikertojen kanssa pelaamista.
Se ei ole mikään mahdoton tehtävä, ja sitten osaakin melkoisen <i>party trickin</i>!
(Tai no, ehkä vaikutuksen tekee jossain muussa tilanteessa.)
<p>
Itse olen havainnut algoritmin hyödylliseksi leipähyllyllä, kun pitäisi selvittää leivän jäljellä oleva elinaika (tai siis elottomuus-aika).
Liekö se noloa, etten aina tiedä, monesko päivä on...
<h3>Kuka Conway oli?</h3>
<p>
John Conway (1937–2020) oli maailman tunnetuimpia matematiikan popularisoijia.
Hänen kantava ajatuksensa oli, että matikalla tulee leikkiä.
Elämänsä aikana hän kehitti monenlaisia pelejä ja härveleitä:
vaikkapa <a href="https://www.nollakohta.fi/2017/04/ristinollan-matemaattinen-sisarus.html">ristinollaa muistuttavan Versot-pelin</a> ja <a href="https://www.nollakohta.fi/2017/04/elaman-peli.html">legendaarisen Game of Lifen</a>.
Samaan aikaan hän teki pitkän ja laajan akateemisen uran algebran ja lukuteorian tutkijana.
<p>
Conway kuoli 11.4.2020 (eli vuoden 15. tuomiopäivänä) koronaviruksen aiheuttamaan tautiin.
Aperiodical-matikkablogissa on <a href="https://aperiodical.com/2020/04/john-conway-has-died/" rel="noopener">hyvä kokoelma muisteluita hyvistä – ja vähemmän hyvistä – kohtaamisista Conwayn kanssa</a>.
Petri Laarnehttp://www.blogger.com/profile/02918099887181866034noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-6928022722273734349.post-69210013737677766882020-09-04T09:00:00.010+03:002020-10-15T10:05:23.036+03:00Vähän kaikki on vektoria<div style="clear: both; text-align: center;">
<img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEibayj8FwOSG5zAVRlgwPQMf0GldinLx2-xmwsFyYMQDv6V-9PZeC_4H94rwS_CPRgFbDkGFxpJKKLmrL4wBPxWYr5JEIMpVqaaffdLZzjmCW3qbs4tOPTJPinX0GMThkQYj8xOry7VsHX8/s1000/Vektorimaailma.jpg" style="max-width:80%;box-shadow:none;border:0;" alt="" />
</div>
<p>
<a href="https://www.nollakohta.fi/2020/08/vektori-ja-sen-pituus.html">Toissa kerralla löysimme kolme tapaa mitata vektorin pituus</a>.
Kaikille kolmelle löytyi käyttötarkoitus, mutta arkielämässä vain yhdestä on hyötyä.
<a href="https://www.nollakohta.fi/2020/09/kahden-vektorin-kulma.html">Viime kerralla taas huomasimme</a>, että arkinen mitta on kolmikon ainoa, jonka kanssa voi puhua kulmista.
Mutta miksi asialla on merkitystä?
Minkä vuoksi olen esittänyt pituusmittoja tasavertaisina, ja minkä takia ollut niin innoissani kulmien määrittelystä?
<p>
Syy on siinä, että kaikki, jonka parissa työskentelen matemaatikkona, on vektoria.
<p>
Jos tulet mukaan vasta tässä kohtaa, suosittelen aloittamaan yllä mainituista osista.
Mutta varoituksen sana: <b>en kertonut totuutta ensimmäisessä osassa</b>.
<a name='more'></a>
<p>
...Tarkkaan ottaen, en sentään valehdellut.
Tein vain niin kuin suurimmassa osassa lukio-opintoja, eli kerroin pikkaisen yksinkertaistetun version koko totuudesta.
Määrittelin vektorin seuraavasti:
<blockquote><i>
Vektori on suure, jolla on suunta.
Se vastaa pistettä koordinaatistossa.
</i></blockquote>
<div style="clear: both; text-align: center;">
<img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhK6cSb-h4VxvbVEKAsYhfwpqD7-_PPJgzgdfxEQk8WzkT7YVeXv18ox_vCIRjX1wlnnj6g_FIzFXf4EOgv5dA7SplteseaiKJ6ispqj19nNVF4M3n98EYMmxQRHNmOzTjxOklkDFBlTgrg/s600/Perusvektori.png" style="max-width:80%;box-shadow:none;border:0;" alt="Vektorin voi piirtää nuolena koordinaatistossa." title="Tämä kuva kertoneekin kaiken olennaisen." />
</div>
<p>
Sitten annoin kasan esimerkkejä vektorien ominaisuuksista.
Tavallinen lukiomatikan tunti siis: ei olla ihan täsmällisiä, mutta yritetään tehdä kaikille selväksi, mistä on kyse.
Ihan tervetullutta vaihtelua yliopistomatikkaan, jossa välillä ollaan niin ylpeän eksakteja, mutta kukaan ei tajua mistä varsinaisesti on kyse.
<div style="clear: both; text-align: center;">
<img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj-GrOUjIntacudR3GD1xvufQEr_7T_RFCFfIExYIu3vYjaoapzJKJwu9eQLC5LSMiZLEE33gVp5BrkeIgyVEsi3ev1YSdGDA8JtkWwqyVo4WN5ZLr8UtXv28Dn_kk5CsyADpVH1E8XBw6J/s600/Summavektori.png" style="max-width:80%;box-shadow:none;border:0;" alt="Vektoreita voi summata piirtämällä nuolet peräkkäin." title="Viimeistään nyt vektoreiden hyödyllisyys on täysin selvillä." />
</div>
<p>
Nykyään minä määrittelen vektorin näin:
<blockquote><i>
Vektori on vektoriavaruuden alkio.
</i></blockquote>
<p>
Aika kiva kehäpäätelmä, eikö?
Melkein kelpaisi vitsikirjaan, elleivät vitsikirjojen valmistajat harvemmin pitäisi matematiikkaa hauskana.
<p>
Pointti onkin siinä, että en määrittele vektoriavaruutta "vektoreista koostuvaksi avaruudeksi".
Sen sijaan sanon:
<blockquote><i>
Vektoriavaruus on joukko, jossa:
<ul>
<li>Alkioita voi laskea yhteen niin, että tulos kuuluu joukkoon.
<li>Alkioita voi kertoa reaaliluvulla niin, että tulos kuuluu joukkoon.
<li>Yhteen- ja kertolaskuja voi yhdistää ja hajottaa tavallisin säännöin.
<li>On jokin alkio (nollavektori), jolla ei ole vaikutusta yhteenlaskussa.
</ul>
</i></blockquote>
<p>
Nämä ovat täsmälleen ne ominaisuudet, jotka tulivat esille esimerkeissä!
Vitsin sijaan kyseessä onkin siisti temppu.
Joku matemaatikko meni taannoin keksimään, että vektorit voikin määritellä tällä tavoin nurinpäin, ihan kuten joku oivalsi, että pituudelle voi antaa monta erilaista tulkintaa.
Kuten pituudenkin kanssa, tämä avaa ihan uusia tulkintoja.
<p>
(Sivuhuomautus pedanteille: Reaalilukujen tilalle voitaisiin laittaa myös kompleksiluvut.
Sillä vain ei ole tällä kertaa mitään väliä.
En sanonut, että kertoisin nytkään ihan koko totuutta!)
<h3>Otetaan kaksi polynomia...</h3>
Vedetään hatusta kaksi täysin tavallista polynomia:
\[
f(x) = 1 + 2x + 3x^2,\\
g(x) = 4 + 5x + 6x^2.
\]
<ul>
<li>Voiko niitä laskea yhteen? Toki voi, $f(x) + g(x) = 5 + 7x + 9x^2$.
<li>Voiko niitä kertoa reaaliluvulla? Toki voi, $\alpha f(x) = \alpha + 2\alpha x + 3\alpha x^2$.
<li>Toimivatko osittelu- ja liitäntälait? Toki, tarkistakoon kuka jaksaa.
<li>Onko olemassa nolla-alkio? Toki on, $h(x) = 0$.
</ul>
<p>
Toisin sanoen: myös polynomit ovat vektoreita.
<p>
Jos tämä olisi podcast, soittaisin tässä kohtaa dramaattista musiikkia, mutta onneksi tämä ei ole.
<div style="clear: both; text-align: center;">
<img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhjEsx8zIWl6KHY6BhpWyRlKutVVJ0Z4OsO8eyD7keCLI1gvKR3C15w49JwThFP28z6JfG-ewbFZlz87qbU5Y0aqkKU-u-51OOdftPP6Fa4kk7HWmoOLF1ks0C3yiqRfPhgwKOxcotjkmW7/s800/Dundundunn.png" style="max-width:70%;box-shadow:none;border:0;" alt="" title="Dundundunn." />
</div>
<p>
Tavallaan tulos ei yllätä yhtään.
Voidaanhan $1 + 2x + 3x^2$ kirjoittaa myös muodossa $(1, 2, 3)$ ja sopia, että se tulkitaan oikealla tavalla.
Siispä toisen asteen polynomit ovat jokseenkin sama asia kuin kolmiulotteiset pisteet.
Yhtäsuuruus ei ole muuten ilmeinen, mutta vektorimuodossa kirjoitettuna asia ei voisi toisin ollakaan.
<p>
Toisaalta kaikki toisen asteen polynomit ovat kuin kolmannen asteen polynomeja:
edellinen voidaan kirjoittaa myös $1 + 2x + 3x^2 + 0x^3$ tai $(1, 2, 3, 0)$.
Sama pätee toki neljännen asteen polynomeille, eli yhtä lailla sen voisi kirjoittaa $(1, 2, 3, 0, 0)$.
Voisiko olla järkevää puhua "minkä tahansa asteen" polynomeista ja sanoa $(1, 2, 3, 0, 0, \ldots)$?
<p>
Toki olisi.
Taas dramaattista musiikkia.
<p>
Uusi määritelmämme vektorille ei mitenkään kiellä ääretönulotteisten vektoreiden olemassaoloa, joten sellaisten keksiminen on paitsi sallittua myös kannustettavaa.
Näitä ei yleensä enää kutsuta polynomeiksi, mutta ei anneta sen haitata.
<p>
(Taas huomautus pedanteille:
Ei ole mielekästä sanoa, että $(1,2,3) = (1,2,3,0)$.
Kyse on kahdesta eri avaruudesta.
Niiden välillä on kuitenkin erittäin luonnollinen yhteys, joka löytyy hakusanalla <i>aliavaruus</i>.)
<h3>Miten pitkä on polynomi?</h3>
<p>
Kun nyt olemme puhuneet monta jaksoa vektoreiden pituudesta, niin looginen askel olisi mitata polynomi.
Mikä olisi järkevä tapa määritellä polynomin pituus?
<p>
Yksi tapa voisi olla käyttää polynomin kertoimia kuten pisteen koordinaatteja.
Esimerkiksi polynomin $1 + 2x + 3x^2$ "pituus" olisi siis tavallisessa normissa $\sqrt{1^2 + 2^2 + 3^2} = \sqrt{14}$.
Vielä kätevämmin taksinormissa se olisi $|1| + |2| + |3| = 6$,
ja ihan ylivoimaisen helposti maksiminormissa $3$.
<p>
Ongelmia seuraa, kun tätä ideaa yrittää soveltaa yleisemmällä tasolla.
Miten pitäisi määritellä "äärettömän polynomin" $1 + x + x^2 + x^3 + \ldots$ pituus?
Maksiminormissa vastaus on totta kai $1$, mutta muissa normeissa tulos onkin $1 + 1 + 1 + \ldots = \infty$.
Tämä ei ole kiva juttu, sillä pituuden soisi olevan äärellinen luku.
<p>
Yksi normin ominaisuuksista oli, että vektorin kertominen luvulla $\alpha$ kertoo vektorin pituuden luvulla $|\alpha|$.
Äärettömän ottamista mukaan laskuihin tuli kokeiltua jonkun aikaa sitten, <a href="https://www.nollakohta.fi/2018/02/miksei-nollalla-saa-jakaa.html">eikä jälki ollut kaunista</a>.
<p>
Pitkää matikkaa pitkälle lukeneet saattoivat tunnistaa, että valitsemani "ääretön polynomi" on toiselta nimeltään <i>geometrinen sarja</i>.
Se sattuu olemaan hyvin määritelty vain, kun $-1 < x < 1$, ja siinä tapauksessa
\[
1 + x + x^2 + \ldots = \frac{1}{1-x}.
\]
<div style="clear: both; text-align: center;">
<img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjE2bdODLLNtL4B7cPwjhRZUsJsEZQL23sS-I1Y_27Cmw_Hcewbl98WcuorOeZusl0varaErFbUdYsdkAVRhkM51uMu7beI-vW6t3470I7dXYwwguoKwX2EEE1teuXlPJCIEglx8krw2w7e/s600/Geom_summa.png" style="max-width:80%;box-shadow:none;border:0;" alt="Funktio, joka kasvaa nopeasti äärettömyyksiin ykköstä lähestyttäessä." title="Tarkka kuva laskentaohjelmasta." />
</div>
<p>
Siinä missä tavalliset polynomit ovat järkeviä kaikilla luvuilla, tämä funktio toimii siis vain pienessä osassa lukusuoraa.
Toinen ongelma: on olemassa muitakin funktioita kuin polynomeja.
Miten esimerkiksi kuvan porrasfunktion pituus pitäisi määritellä?
Tämä kaveri ei ole lähelläkään polynomia, joten kertoimista on turha puhua.
<div style="clear: both; text-align: center;">
<img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhYCQNzA6y33_JORkWb7thDnK3rRf1EYgJGHM2VjoHGpCzyFNeTRCXJXW2UEgChoiRXAfxSdNLw7LuH7D1rL9nea9Dy3JR_MF-xox3sj_U1ID8NX4J9tet8ZiyMCVTe0MjT48W4CYayWOCH/s600/Porras.png" style="max-width:80%;box-shadow:none;border:0;" alt="Funktio saa nollan vasemmalla puolella yhtä arvoa ja nollasta eteenpäin toista." title="Älä kompastu." />
</div>
<p>
Äärellisen polynomin pituuden voi oikein hyvin määritellä edellä mainitulla tavalla, mutta yleisesti ottaen tarvitaan parempi keino.
Sen pitäisi toimia muillakin kuin polynomeilla ja tarvittaessa vain osaan lukusuorasta rajoittuen.
<p>
Kelpaisiko integrointi?
No kyllä!
Sattuu olemaan niin, että funktion ja x-akselin välinen pinta-ala täyttää kaikki ehdot.
Voimme siis vain laskea vaikkapa
\[
\int_{-1}^{1} |1 + 2x + 3x^2| \,dx = 4.
\]
<p>
Pieni miinus on, että polynomien tapauksessa täytyy rajoittua jollekin lukusuoran pätkälle; muuten nimittäin paukahdettaisiin taas äärettömyyksiin.
Aika usein kuitenkin tämä riittää, ja vaihtoehtoisia tapoja on <i>paljon</i>.
Itse asiassa polynomeista ei usein ole mitään väliä, ja niiden sijaan tutkitaan funktioita joiden integraalin voi laskea koko lukusuoran yli.
<p>
Samat kummalliset normit, joihin tutustuimme koordinaatistossa, toimivat tässäkin tapauksessa.
Maksiminormin voi korvata funktion suurimmalla etäisyydellä x-akselista.
Pythagoraan lauseen vastineen taas pystyy luomaan muokkaamalla integraalia pikkaisen:
\[
\sqrt{\int_{-1}^{1} \left(1 + 2x + 3x^2\right)^2 \,dx} \approx 3.5.
\]
<h3>Kohtisuorat funktiot</h3>
<p>
Mikä tekikään Pythagoraan normista niin yleispätevän?
Se liittyi kulmien laskemiseen:
Kahden vektorin kulma saatiin niiden välisestä pistetulosta.
Vaikkapa vektorien $(1, 2)$ ja $(3, 2)$ välinen pistetulo on $1 \cdot 3 + 2 \cdot 2 = 7$,
ja tämä jakamalla vektorien pituuksilla saadaan niiden välisen kulman kosini.
<div style="clear: both; text-align: center;">
<img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjrkSRZHflQ9Zj5t2yQpziVEM3s58LMoVBzWk0KWnyQTV4Q4fmml4TKfM7tOO4KckjrqCIjwwTnzE2gym6K2_-7MR7aIp0YYzCsiF4yz1DEOlJ1H38b6XeKwp9G0V_LDhXfo1i1iR_ZuEHp/s600/Kulmavektori.png" style="max-width:80%;box-shadow:none;border:0;" alt="Mainittujen vektoreiden välillä on noin kolmenkymmenen asteen kulma." title="Kukapa ei rakastaisi näitä tehtäviä." />
</div>
<p>
Tavallisessa normissa oli se erikoisuus, että sen saattoi ilmaista vektorin pistetulolla itsensä kanssa: $|v| = \sqrt{\langle v, v \rangle}$.
(Tällä kertaa merkitsen pistetuloa kulmasulkeilla, jottei se sekaannu kertolaskuun.)
<p>
Tuossa edellisessä integraalissahan funktio kerrotaan itsensä kanssa.
<p>
Kahden funktion väliseen pistetuloon on siis kaava
\[
\langle f, g \rangle = \int_a^b f(x) g(x) \,dx,
\]
ja funktioiden pituus on hyvin tunnettu.
Tästä seuraa, että osaamme laskea kahden funktion välisen kulman!
<p>
Tämä kulma ei liity mitenkään funktioiden graafiseen esitykseen – sitä ei voi piirtää kuvaajalle.
Tässä on kaksi polynomia ($1+x^2$ ja $(1+x)/2$), jotka eivät edes kosketa toisiaan.
Silti ne ovat kohtisuorassa toisiinsa nähden välillä ${[{-1},{1}]}$!
<div style="clear: both; text-align: center;">
<img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjkUzdZ6hNmV82SHMAdOF-gbMBUXlSoXOQigkg0deKlaHyax8CVoFDxfWB1h4rsBhkdWOAB6b7mwqcMQ6ZM3ysuo_UQWRt3PEpg6Dy3rR3YzWYBOxRDyD_NXSlGDKP6v_Gy8hqfP7vVGKsT/s600/Kohtisuorat.png" style="max-width:80%;box-shadow:none;border:0;" alt="Suora ja paraabeli, jotka eivät kohtaa." title="Mutta vähän erilaiset suora ja paraabeli eivät olekaan." />
</div>
<p>
Tämä touhu alkaa kuulostaa enenevässä määrin abstraktilta humpuukilta, mutta kaikkeen on syynsä.
Viime kerralla puhuimme siitä, kuinka vektorin voi esittää toisten vektoreiden summana:
<div style="clear: both; text-align: center;">
<img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg-t6-LCgMUh1lHsmpUHvyOHCU03fHYWQtSjcQ_MnjcgAKFNIQpuBPZdS4zzEmmWJLl86IW3tEdNRXU0s3ANP7kyylOpKQxvmGIbdJNUK0Z8DPbeP5gIvSaeHn93yht2IQbIVBxOj3hVKdg/s0/Venykoordinaatisto.png" style="max-width:80%;box-shadow:none;border:0;" alt="Kaksi erisuuntaista vektoria määrittää venytetyn koordinaatiston." title="Koska kukapa ei haluaisi tällaista koordinaatistoa." />
</div>
<p>
Jos funktiot ovat vektoreita, niin silloin funktioita voi esittää toisten funktioiden summina.
Edellä nähtiin jo, kuinka ääretön polynomi olikin sama kuin tietty osamäärä.
Toinen klassinen esimerkki on sinifunktio, joka on sama kuin ääretön polynomi
\[
\sin x = x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} - \frac{x^7}{5040} + \ldots.
\]
<p>
Funktioiden esittäminen äärettöminä summina on laaja tutkimusala, josta kirjoitin aiemmin otsikolla <a href="https://www.nollakohta.fi/2019/09/teekkarin-ja-teoreetikon-ylin-ystava.html">Teekkarin ja teoreetikon ylin ystävä</a>.
Se on äärimmäisen käytännöllinen ala: vaikkapa joka kerta, kun räpsäiset selfien itsestäsi lukemassa matikkablogeja, kameran ohjelmisto muuntaa kuvapisteet funktioksi, siirtää sen summamuotoon, terävöittää sieltä ja silottaa täältä, ja lopuksi tallentaa tuloksen pieneksi pakattuun tiedostomuotoon.
<p>
1900-luvun alkupuolella syntynyt <i>funktionaalianalyysi</i> on matematiikan lohko, joka tutkii funktioita ääretönulotteisina vektoreina.
Siinä tutut operaatiot saavat uudet muodot: esimerkiksi derivointi tarkoittaakin pisteen kuvaamista toiseksi pisteeksi.
Ongelmat muuttuvat paljon helpommiksi, kunhan vain keksii sopivan avaruuden ja kätevän pistetulon (joita on enemmänkin).
<p>
Tästä ajattelutavasta on hyötyä, koska kaikki vektoreille pätevät ominaisuudet pätevät saman tien funktioille.
Lukiossa opitaan esimerkiksi laskemaan pisteen etäisyys suorasta.
Suora voidaan kirjoittaa summaamalla vektori ja toisen vektorin monikerta.
Lähin suoralla (kuten myös tasolla) sijaitseva piste muodostaa suoran kulman:
<div style="clear: both; text-align: center;">
<img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgMkXr6nsfS6q7_C26zI6WHUaZrtQNCfBy1Ypn5bDgVp2028zqieywg842Sbq6_bzNPxWl-Z0Fxfc9bqtnH_nDZ4Ou7wxauyv_UMTN5K-uiM4xT2VRCgh5rZI9aRVN1DFZKTWSZpNKophtm/s0/Pistesuora.png" style="max-width:80%;box-shadow:none;border:0;" alt="" title="Viime kerran teaser toteutuu nyt!" />
</div>
<p>
Ihan samalla tavoin voidaan summata funktioiden monikertoja "suorien" muodostamiseksi.
Sama suoran kulman sääntö pätee yhä, joten meillä on saman tien tapa löytää jotakin hankalaa funktiota <i>parhaiten arvioiva</i> funktio helpompien funktioiden joukosta.
<p>
Viime kerralla mainitsin myös lineaariset kuvaukset, jotka säilyttävät vektorin esityksen kantavektoreiden summana:
\[
f(a\bar v + b\bar w) = a f(\bar v) + b f(\bar w).
\]
<p>
Nyt annan esimerkin lineaarisesta funktiosta.
Sitä voidaan merkitä kirjaimella $D$, ja sen nimi on derivaatta.
Tässä on nyt vähän <i>Inception</i>-meininkiä, mutta derivaatta on funktio, joka ottaa funktion ja antaa tulokseksi funktion.
Lisäksi jokainen muistaa summan ja vakiokertoimen derivointisäännöt:
\[
D(af(x) + bg(x)) = a f'(x) + b g'(x).
\]
<p>
Lineaarisiin funktioihin liittyy paljon mukavaa teoriaa esimerkiksi ratkaisujen lukumäärään liittyen.
Siksi derivaattaa on helppo käsitellä esimerkiksi differentiaaliyhtälöissä, joissa yritetään ratkaista tuntematon funktio.
(Esimerkiksi $f''(x) = -f(x)$. Kokeile jotain trigonometrista ratkaisuksi!
Kuinka monta ratkaisua keksit?)
<p>
Funktionaalianalyysi on yliopiston maisteritason matikkaa, mutta sen perusteet eivät ole kovinkaan kaukana lukiosta.
Ääretönulotteisuus tekee teoriasta syvän ja välillä yllättävän, ja tuloksilla on arvoa hyvin monella alalla.
Differentiaaliyhtälöitä käytetään kaikissa luonnon- ja insinööritieteissä, mutta lisäksi vaikkapa kvanttifysiikka puhuu funktionaalianalyysin kieltä.
Petri Laarnehttp://www.blogger.com/profile/02918099887181866034noreply@blogger.com2tag:blogger.com,1999:blog-6928022722273734349.post-62078068477143467052020-09-01T09:00:00.010+03:002020-10-15T10:05:39.616+03:00Kahden vektorin kulma<div style="clear: both; text-align: center;">
<img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgSaKvWR0lqphoSHBwZ2eKe3Q3rKdPsi0IbAR7Gs3k03HDlADxugF-SDtuQbZqfqc_BrCLybyEeKXmRD35_BTNs_hGgIcT8SgBrPb88JxkTvHD6bE036ivYN7FV9lPR1PXyh1tiPAAZSp75/s1400/Lintutaksi.png" style="max-width:90%;box-shadow:none;border:0;" alt="Linnulle ja taksille kahden korttelin matka on hyvin erilainen." title="Mittakaavassa. Reviirien kohtauspisteessä ei kannata olla." />
</div>
<p>
<a href="https://www.nollakohta.fi/2020/08/vektori-ja-sen-pituus.html">Viime kerralla havaitsimme, että pituuden voi laskea monella tapaa.</a>
Pisteestä pisteeseen voi kulkea linnuntietä tai taksilla, ja New Yorkin ruutukaavassa tulokset ovat erittäin erilaiset.
Kahdesta erilaisesta pituusmitasta seuraa myös kaksi erilaista ympyrää, ja niistä vain toinen on pyöreä.
<p>
Kuitenkin arkielämässä on vain yksi tapa laskea pituus.
Remonttihommissa ei hirveästi auta selitellä Manhattan-normia,
kun huoneen kulmasta kulmaan pitäisi mitata palkki:
ainoa tapa on sivu toiseen plus sivu toiseen ja neliöjuuri.
<p>
Jos kaikki pituuden määritelmät olivat muka yhtä päteviä, niin mikä sitten tekee Pythagoraan kaavasta niin ylivoimaisen?
<a name='more'></a>
<h3>Pistetulos tai ulos</h3>
<p>
Niin kuin matematiikassa yleensä, puhutaan hetki jostain ihan muusta ja päädytään alkuperäiseen kysymykseen muutaman kiertotien sekä keittiön ikkunan kautta.
<p>
Otetaan kaksi vektoria, sanotaan vaikka $(1,2)$ ja $(3,2)$.
Ne näyttävät kuvassa tältä:
<div style="clear: both; text-align: center;">
<img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjrkSRZHflQ9Zj5t2yQpziVEM3s58LMoVBzWk0KWnyQTV4Q4fmml4TKfM7tOO4KckjrqCIjwwTnzE2gym6K2_-7MR7aIp0YYzCsiF4yz1DEOlJ1H38b6XeKwp9G0V_LDhXfo1i1iR_ZuEHp/s600/Kulmavektori.png" style="max-width:80%;box-shadow:none;border:0;" alt="Kahden vektorin välillä on kulma, joka on jotain nollan ja yhdeksänkymmenen asteen välillä." title="Pii per jotain." />
</div>
<p>
Mikä on näiden vektoreiden välinen kulma, jota kuvassa merkkaan kreikan kirjaimella $\theta$ eli theeta?
(Miksi juuri theeta? Se nyt vain näyttää kivalta, ja sitä käytetään aika usein kulmien merkkaamiseen. On se ainakin helpompi piirtää kuin $\xi$.)
<p>
Kyllähän ihan jokainen osaa tuon kulman laskea.
Täydennetään vain kuva kolmioksi, lasketaan sivujen pituuksia, selataan inspiraatiota MAOL-taulukoista, piirretään varmuuden vuoksi muutama kolmio lisää, kokeillaan kosinilausetta ja lopuksi mietitään, miksi oikein valitsi pitkän matematiikan.
<p>
Tai ainakin siltä se minusta tuntuu.
Minulla taitaa olla joku trauma geometriasta.
<p>
Ei se kosinilause oikeasti niin vaikea ole.
<div style="clear: both; text-align: center;">
<img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjXAUHonhFznjREWtX9fxA2kjv4OyoySTa_RwX6fsWy13BTHO8Du9eWeDtY0kWzWu9CLZ-slqMwIBqgbmBLlLhSbDIEB3jwSWMwU-6HuACUlD5Rc0gj-bc3v7J6o871cF5POLhne4cnOero/s800/Geometriaargh.png" style="max-width:90%;box-shadow:none;border:0;" alt="Sotkuinen kaavakuva, jossa tikku-ukko huutaa tuskaansa." title="Yo-kokeen tarkastajista tuntuu usein samalta." />
</div>
<p>
Onneksi on olemassa helpompikin tapa.
Se menee muutamassa vaiheessa.
Ensiksi lasketaan vektorien <i>pistetulo</i>, joka saadaan kertomalla komponentit keskenään ja summaamalla tulokset:
\[
(1,2) \cdot (3,2) = 1 \cdot 3 + 2 \cdot 2 = 7.
\]
<p>
(On vähän epäonnista, että samaa pistettä käytetään myös tavallisena kertomerkkinä.)
<p>
Sitten jaetaan saatu luku vektorien pituuksilla.
Tässä kohtaa pitää käyttää sitä perinteistä Pythagoraan lausetta:
$\sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5}$ ja $\sqrt{3^2 + 2^2} = \sqrt{13}$.
Nyt on lupa vetää laskin esiin ja naputtaa jakolasku sisään.
Tulokseksi saadaan
\[
\frac{7}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{13}} \approx 0{,}87.
\]
<p>
Entä sitten?
No, paina vielä sitä nappia jossa lukee $\cos^{-1}$ tai ehkä $\arccos$.
Näytölle ilmestyy
\[
0{,}87 \approx \cos 30^\circ.
\]
<p>
Jos haluat tarkistaa, menikö oikein, voit joko luottaa minuun tai sommitella kulmaviivainta lukulaitteesi näytölle.
Suosittelen tietenkin jälkimmäistä.
<p>
En tiedä, oliko tämä loppujen lopuksi juurikaan vaivattomampaa, mutta minusta tämä on helpompi tapa muistaa.
(Kosinilause on sama kaava toisessa muodossa, joten ei ole väliä kumpaa käyttää.)
Täsmälleen sama kaava pätee myös kolmessa – tai vaikka kymmenessäkin – ulottuvuudessa.
<h3>Pythagoraan erityisasema</h3>
<p>
Kaiken lisäksi tämä tapa selittää, mitä matemaattisesti erikoista on siinä tavallisessa pituusmitassa.
Edellä nähty kaava kahden vektorin $\bar v$ ja $\bar w$ kulmalle löytyy MAOL-taulukoista:
\[
\cos (\bar v, \bar w) = \frac{\bar v \cdot \bar w}{|\bar v| |\bar w|},
\]
missä $|\bar v|$ on vektorin $\bar v$ tavallinen pituus.
Voit kokeilla, että tämä kaava ei toimi muilla viime kerralla esitetyillä pituusmitoilla, jotka vektorille $(2,1)$ olivat siis $|2|+|1|$ ja $\max\,(2,1)$.
Miksei?
<p>
Entä jos $\bar v$ ja $\bar w$ ovat sama vektori?
Tällöin kulma on nolla astetta ja nollan kosini on yksi:
\[
1 = \frac{\bar v \cdot \bar v}{|\bar v| |\bar v|}.
\]
<p>
Kerrotaan pituudet pois nimittäjästä ja otetaan neliöjuuri:
\[
|\bar v| = \sqrt{\bar v \cdot \bar v}.
\]
<p>
Mutta tämähän on vain vähän mutkikkaampi tapa sanoa, että jos $\bar v = (x, y)$, niin sen pituus on
\[
|\bar v| = \sqrt{x^2 + y^2}.
\]
<p>
Toisin sanoen kyse ei olekaan siitä, että kulman kaavassa pitää käyttää tavallista pituusmittaa, <i>jotta</i> tulos olisi järkevä.
Pikemminkin Pythagoraan pituusmitta on <i>seurausta</i> pistetulosta.
<p>
Tietenkin historiallisesti Pythagoras tuli ensin ja pistetulo seurasi perässä muutaman vuosituhatta myöhemmin.
Matematiikan kannalta on kuitenkin kätevämpää määritellä ensin pistetulo ja johtaa siitä pituusmitta kaavalla $\sqrt{\bar v \cdot \bar v}$.
Syy on nimittäin siinä, että toisenlaisissa vektoriavaruuksissa voi olla vaikeaa keksiä kätevää pituusmittaa, mutta helppoa keksiä pistetulo.
<p>
Samalla selvisi, miksi Pythagoraan lause on ainoa oikea.
Koska se nivoutuu pistetuloon ja sitä kautta kulmakaavaan, se on ainoa pituusmitta, jonka kohdalla on "luonnollista" puhua kulmista.
<p>
(Tarkkaan ottaen pistetuloja on äärettömän monta, koska komponenteille voi antaa painokertoimia.
Kertoimet venyttävät koordinaatistoa akseleiden suuntaisesti.)
<h3>Monta tapaa sanoa sama piste</h3>
<p>
Yksi näppärä, joskin lukiossa ehkä vielä vähän selittämätön, sovellus vektorien kulmille löytyy <i>kantavektoreista</i>.
Idea on, että mikä tahansa kaksiulotteinen vektori voidaan esittää yhdistelmänä kahdesta vektorista, jotka eivät ole samansuuntaisia.
(Ja sama korvaamalla "kaksi" jollakin muulla luvulla.)
<p>
Esimerkiksi yllämainitut vektorit $(1,2)$ ja $(3,2)$ muodostavat <i>kannan</i>, koska ne ovat erisuuntaisia.
Jokainen vektori $(x,y)$ on muotoa
\[
(x,y) = a(1,2) + b(3,2) = (a + 3b, 2a+2b)
\]
joillekin luvuille $a$ ja $b$.
Nämä luvut ovat vieläpä uniikit.
<p>
Visuaalisesti tulos näyttää koordinaatistolta, jota on venytetty:
<div style="clear: both; text-align: center;">
<img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg-t6-LCgMUh1lHsmpUHvyOHCU03fHYWQtSjcQ_MnjcgAKFNIQpuBPZdS4zzEmmWJLl86IW3tEdNRXU0s3ANP7kyylOpKQxvmGIbdJNUK0Z8DPbeP5gIvSaeHn93yht2IQbIVBxOj3hVKdg/s0/Venykoordinaatisto.png" style="max-width:80%;box-shadow:none;border:0;" alt="Koordinaattiakselit menevät kahden annetun vektorin suuntaisesti. Erityisesti ne eivät ole kohtisuorassa." title="Paino sanalla venytetty, ihan kuten topologi venyttää kahvimukinsa donitsiksi." />
</div>
<p>
Mitä hyötyä tällaisesta esityksestä on?
<p>
Yksi etu on siinä, että se helpottaa laskuja.
Aika usein vektoreita käsitellään niin sanotuilla <i>lineaarisilla</i> kuvauksilla.
Sellaisille pätee
\[
f(a\bar v + b\bar w) = a f(\bar v) + b f(\bar w).
\]
<p>
Tämä näyttää vähän hankalalta mutta ei ole oikeasti paha.
Jokainen vektori voidaan esittää kahden kantavektorin yhdistelmänä.
Funktion tulos taas voidaan esittää kahden tulosvektorin yhdistelmänä.
Tulosvektorit saadaan kantavektoreista ja kertoimet pysyvät samoina.
<p>
Toisin sanoen funktio $f$ voi olla ihan hirvittävän vaikea laskea.
Jos kuitenkin tiedämme sen arvot kahdessa pisteessä (jotka eivät ole samalla suoralla), osaamme saman tien sanoa sen arvon ihan missä tahansa päin xy-tasoa!
<p>
Tietenkään useimmat funktiot eivät ole lineaarisia.
Yllättävän moni kuitenkin on.
<p>
Toinen etu saadaan, jos kantavektorit ovat vieläpä kohtisuorassa toisiinsa nähden.
Kohtisuoruus on loistava juttu.
Sitä kautta voidaan johtaa kaava pisteen etäisyydelle suorasta (MAOL on ystävä tässäkin).
Lähin suoralta löytyvä piste muodostaa nimittäin suoran kulman:
<div style="clear: both; text-align: center;">
<img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgMkXr6nsfS6q7_C26zI6WHUaZrtQNCfBy1Ypn5bDgVp2028zqieywg842Sbq6_bzNPxWl-Z0Fxfc9bqtnH_nDZ4Ou7wxauyv_UMTN5K-uiM4xT2VRCgh5rZI9aRVN1DFZKTWSZpNKophtm/s0/Pistesuora.png" style="max-width:80%;box-shadow:none;border:0;" alt="" title="Saatat kysyä, mitä hyötyä tästä tiedosta on. Odota ensi kertaan!" />
</div>
<h3>Hienot nimet asioille</h3>
<p>
Otetaan vielä lopuksi pikkaisen historiaa.
Vektorien nykyinen tulkinta on syntynyt 1900-luvun taitteessa.
(Jos yksityiskohdat kiinnostavat, vilkaise <a href="https://doi.org/10.1006/hmat.1995.1025" rel="noopener">Historia Mathematica -lehden artikkelia</a>.
Lehti on tieteellinen ammattilehti, mutta teksti on vapaasti luettavissa.)
<p>
Vektoriavaruutta, jossa on määritelty jokin pituusmitta sekä yksi tekninen lisäehto (joka lukiossa toteutuu), kutsutaan myös Banachin avaruudeksi.
<b>Stefan Banach</b> (1892–1945) oli puolalainen matemaatikko, joka muutaman maanmiehensä kanssa kehitti topologiaa (jatkuvien muunnosten tutkimusta) sekä funktionaalianalyysia.
Viimeksi mainittu tarjoaa paljon lisää esimerkkejä Banachin avaruuksista.
Mitä taas 30-luvun puolalaiseen matikkaan tulee, se onkin oma kiinnostava tarinansa jollekin toiselle kerralle.
<p>
Avaruutta, jonka pituusmitta perustuu pistetuloon, sanotaan joskus Hilbertin avaruudeksi.
<b>David Hilbert</b> (1862–1943) onkin tutumpi nimi matematiikan harrastajalle.
Hänet muistetaan esimerkiksi <a href="https://www.nollakohta.fi/2016/09/hilbertin-suurehko-hotelli.html">Hilbertin hotellista</a>, keinosta havainnollistaa erilaisia äärettömiä joukkoja.
Hän myöskin loi <a href="https://www.nollakohta.fi/2017/01/matematiikan-perustukset.html">kunnianhimoisen – ja tuhoon tuomitun</a> – ohjelman matematiikan perusteiden selvittämiseksi.
Hilbertin avaruus on siitä harvinainen käsite, että sen nimi todella viittaa yhteen sen kehittäjistä.
<p>
Mutta mitä on tämä funktionaalianalyysi, jota kumpikin herra oli luomassa/löytämässä?
Miksi intoilin lineaarisista kuvauksista ja pisteen etäisyydestä suorasta?
<a href="https://www.nollakohta.fi/2020/09/vahan-kaikki-on-vektoria.html">Se selviää sarjan päätösosassa!</a>
Petri Laarnehttp://www.blogger.com/profile/02918099887181866034noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-6928022722273734349.post-26990695287472914942020-08-27T09:00:00.008+03:002020-10-15T10:04:28.613+03:00Vektori ja sen pituus<div style="clear: both; text-align: center;">
<img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhMFFBTfm0_GVMpetapnKE_VdFVKe8S3Ol51zPkyrvbOsUm3MQuz3xaISWNu9zjyTSMzAJ5UPQsFZA53hla-GRsuUiI5fp1MAn1HTTa93OmJaQqHYv7JxMFbvF5Nl8WxfuP3ou3dfOT7BG4/s1400/Yksikkoympyrat.png" style="max-width:90%;box-shadow:none;border:0;" alt="Ympyrä, 45 astetta käännetty neliö ja neliö." title="Varjostukset 5/5." />
</div>
<p>
Kuvassa on kolme ympyrää.
Kuinka niin?
<p>
Kun minä olin nuori, vektorit jakoivat mielipiteitä.
Tarkoitan siis, että lukiossa osa piti niistä ja osa ei päässyt jyvälle niiden logiikasta.
Fysiikkaa lukeneet muistavat piirrelleensä mallikuviin nuolia ja siten päätelleensä mihin suuntaan laatikko/curlingkivi/veturi/jäätä pitkin liukuvan limupullon nappaava alieni (eikö teidän lukiossa?) liikkuu.
<p>
Yliopistomatikassa vektoreita käytetään ehkä yllättävän paljon ja tavoilla, joita ei heti ajattelisi.
Meillä painopiste ei ole laatikon liikkeissä vaan ihan muissa jutuissa, joissa ei välttämättä näy pisaraakaan geometriaa.
Tässä ja parissa seuraavassa tekstissä
<ul>
<li>käymme läpi, mitä vektorit oikein ovat,
<li>kohtaamme kummallisia juttuja, kuten väitetyt kolme ympyrää, ja
<li>selvitämme, miksi matemaatikko haluaa nähdä vektoreita kaikessa, mikä ei liiku.
</ul>
<a name='more'></a>
<h3>Suunta ja suuruus</h3>
<p>
Aloitetaan ihan peruskysymyksestä: mikä ihme on vektori?
Olen kirjoittanut asiasta aiemminkin <a href="https://www.nollakohta.fi/2017/11/siili-mansikka-ja-vektori.html">pelien koodailun muodossa</a>, kauan sitten ekan vuoden yliopistolaisena.
Kolmen vuoden varrella olen kasvanut, kyynistynyt ja vieraantunut todellisesta maailmasta, mutta yksi asia pysyy: pieni kertaus on aina paikallaan.
<p>
Vektori on suure, jolla on suunta.
Se vastaa pistettä koordinaatistossa.
Esimerkiksi $(2, 1)$ on kaksiulotteinen vektori, joka piirretään nuolena origosta pisteeseen, joka on kaksi yksikköä x-akselin suuntaisesti ja yhden yksikön y-akselin suuntaisesti:
<div style="clear: both; text-align: center;">
<img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhK6cSb-h4VxvbVEKAsYhfwpqD7-_PPJgzgdfxEQk8WzkT7YVeXv18ox_vCIRjX1wlnnj6g_FIzFXf4EOgv5dA7SplteseaiKJ6ispqj19nNVF4M3n98EYMmxQRHNmOzTjxOklkDFBlTgrg/s600/Perusvektori.png" style="max-width:80%;box-shadow:none;border:0;" alt="Yllä kuvattu nuoli koordinaatistossa." title="Esitysgrafiikkavinkki: merkitse kiinnostavaa muuttujaa nuolenkärjen suhteellisella pituudella." />
</div>
<p>
Fysiikassa vektoreita käytetään kuvaamaan esimerkiksi nopeutta tai voimaa: ylipäänsä mitä tahansa, jolla on paitsi suuruus myös suunta.
Tällöin vektorit voivat hyvin olla kolmeulotteisiakin.
Ulottuvuuksien määrällä ei ole periaatteessa mitään rajaa.
<p>
Samanlaisia vektoreita voi laskea yhteen.
Tämä ilmaistaan laskemalla komponentit yhteen ja kuvallisesti piirtämällä nuolet peräkkäin:
\[(2, 1) + (-\tfrac 1 2, 1) = (\tfrac 1 2, 3)\]
<div style="clear: both; text-align: center;">
<img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj-GrOUjIntacudR3GD1xvufQEr_7T_RFCFfIExYIu3vYjaoapzJKJwu9eQLC5LSMiZLEE33gVp5BrkeIgyVEsi3ev1YSdGDA8JtkWwqyVo4WN5ZLr8UtXv28Dn_kk5CsyADpVH1E8XBw6J/s600/Summavektori.png" style="max-width:80%;box-shadow:none;border:0;" alt="Peräkkäin piirretyt nuolet päättyvät samaan pisteeseen kuin mihin summavektori osoittaa." title="Matemaattisesti eksaktein tapa laskea vektoreilla." />
</div>
<p>
Esimerkiksi jos laatikon kahteen vierekkäiseen sivuun asentaa rakettimoottorit, niin boksi liikkuu vektoreiden summan mukaisesti vinosti.
(Ennen kuin ilmanvastus tekee liikeradasta kaoottisen ja luultavasti räjähdykseen päättyvän.
Älä kokeile tätä kotona, ja linkkaa video kun kokeilet kuitenkin.)
<p>
Lisäksi vektoria voi kertoa jollain luvulla, ja tulos on sama kuin komponenttien kertominen: $3 \cdot (1, 2) = (3, 6)$.
Kertolasku muokkaa siis vektorin pituutta.
Nollaa pienemmällä luvulla kertominen kääntää vektorin suunnan vastakkaiseksi, mutta muuten suunta ei muutu kertolaskussa.
<h3>Yksikköympyrä ja sen kaverit</h3>
<p>
Vektorin pituudesta puheen ollen, kuinka pitkä on vektori?
Kuvasta löytyy suorakulmainen kolmio, joten pituus löytyy Pythagoraan lauseen avulla:
(Sivumennen sanoen, Pythagoraan lause on varmaan väärinnimetyin asia matematiikan historiassa.
Pythagoras on yli tuhat vuotta "lausettaan" nuorempi!)
<div style="clear: both; text-align: center;">
<img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgf0XiOVQOGCO38jNg0etOA9fRJDME-at0_s5t-qMdrYg-maCCCJBXY8ltH8QRANsfuuDaiiHeN6JRWJ3I_LxK8_TsqAfMUM_ItCW2dbP2srLvEV2uocJ4JYF-Klm4Qo1Uj8fbzrhPGNZDQ/s600/Vektorinpituus.png" style="max-width:80%;box-shadow:none;border:0;" alt="Siirtymä x-akselilla toiseen plus siirtymä y-akselilla toiseen, neliöjuuri." title="Pythagoras ei hyväksyisi tätä pituutta." />
</div>
<p>
Kaksiulotteisessa tapauksessa tulokset on helppo tarkistaa ruutupaperilla ja viivaimella, mikäli joku sellaisia vielä nykyaikana käyttää.
Sama periaate toimii myös kolmessa ulottuvuudessa, joten esimerkiksi vektorin $(1, 2, 3)$ pituus on $\sqrt{1^2 + 2^2 + 3^2} = \sqrt{14}$.
<p>
Vaihdetaan aihetta ihan hetkeksi.
Puhutaan ihan pikkaisen siitä, mikä on ympyrä.
(Uskoisitko, että minulla on yliopistotutkinto matematiikasta? En aina minäkään.)
<p>
Matemaattisesti määriteltynä ympyrä on se joukko pisteitä, joka on kiinteällä etäisyydellä keskipisteestä.
Ehdottomasti tärkein esimerkki on yksikköympyrä, eli ne pisteet jotka ovat yhden yksikön etäisyydellä origosta:
<div style="clear: both; text-align: center;">
<img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEibvDdGNwwl8G3_EIWH0DdKu3mWsxcHx34l3pmg5J-o8THD6S6hr0bRcXuFtu4gdVx4M31nyQXGZD4eYrXG86eEM5GibyIJUBQrNGfEph1x13NE2x31vxEJfpZj6u9Bh9JFeIqnXo7DTaAR/s600/Ympyra2.png" style="max-width:80%;box-shadow:none;border:0;" alt="Ympyrä, jonka säde on 1." title="Ympyrä!" />
</div>
<p>
Okei, palataan nyt vektoreihin.
Pituuden laskeminen Pythagoraan lauseella on ihan kivaa, mutta eikö olisi yhtään helpompaa tapaa?
Kaikkien noiden neliöjuurien kanssa pitää kaivaa laskin esiin.
Entä jos on allerginen juureksille tai vakaumuksellinen lihansyöjä?
<p>
Kun vektorin nyt voi kirjoittaa muodossa $(1, 2)$, niin eikö vain voitaisi sopia $1+2=3$?
Paljon helpompi laskea!
<p>
Yksi pieni mutka kyllä tulee matkaan; nimittäin jos vektori onkin $(1, -2)$, niin pituus menee miinusmerkkiseksi.
Mutta ollaan pahiksia, unohdetaan vain ne miinukset, otetaan itseisarvo!
<p>
Niin, ja on toinenkin pieni mutka.
Jos vektorin $(x, y)$ pituus on $|x| + |y|$, niin yksikköympyrä näyttää tältä:
<div style="clear: both; text-align: center;">
<img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgylLr0FmA_GGHXIEFrFz9hLDIOr5jiiWtE_CvRbTsnzub_diCy4wDOkT4clR_i4JrOTdAx6f2OK4Zp9NI16GsDox6KCUoVRL8BNLfAuKpAh5LMpvLehHgCNawCMBRHMxBii1U2OeIAjjW4/s600/Ympyra1.png" style="max-width:80%;box-shadow:none;border:0;" alt="Neliö, jota on käännetty 45 astetta niin, että kärjet ovat yksikön etäisyydellä origosta." title="Vinoneliö! Eiku ympyrä!" />
</div>
<p>
...Se ei ole ympyrä.
Paitsi että itse asiassa se on.
<p>
Niin oudolta kuin se kuulostaakin, kyseessä ei ole pieleenmennyt yritelmä vaan ihan oikea ympyrä.
Vektorin pituuden voi määritellä ihan hyvin myös tällä tavoin, jos ummistaa silmänsä siltä pikkujutulta, että viivoitin saattaa antaa eri lukuja.
Matemaattisesta näkökulmasta pituuden riittää toteuttaa kolme ehtoa:
<ul>
<li>$(0, 0)$ on ainoa vektori, jonka pituus on nolla.
<li>Jos vektoria kertoo luvulla $\alpha$, niin myös vektorin pituus kerrotaan luvulla $\alpha$ (etumerkkiä lukuunottamatta).
<li>Kolmion minkä tahansa kahden sivun yhteispituus on suurempi kuin kolmannen sivun pituus.
</ul>
<p>
Mitä hyötyä sitten on näin laveasta määritelmästä?
No, tätä vaihtoehtoista pituutta kutsutaan myös taksi- tai Manhattan-normiksi.
Nimi tulee New Yorkin ruutukaavasta, jossa kadut menevät tiukasti pääilmansuuntien mukaan.
Jos haluaa kulkea kaksi korttelia koilliseen, täytyy kulkea kaksi ruutua itään ja kaksi pohjoiseen.
Matkaa on siis neljä korttelinmittaa.
<div style="clear: both; text-align: center;">
<img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhikt8E8K5ezN0_Yp8DPIZqDsbPl1nyZfFnMyhyphenhyphenEm5Qs66o7FTBpaLF7hVMiCrKJ2d9V7l-7gRkcNabUnemwpYRYD4jDwgW4SEZ49xF7d_f2TgGjQCohNhyu2FDziyRXp70uFMs_S6ysQeX/s773/Kartta.png" style="max-width:80%;box-shadow:none;border:0;" alt="Pala Manhattanin karttaa, jossa näkyy ruutukaava." title="Osoitteessa 11 East 26th Street pitää vielä joskus käydä." />
</div>
<p>
Hauska juttu on, että määritelmä sallii vieläkin yksinkertaisemman pituusmitan: otetaan vektorin isoin komponentti (taas miinukset unohtaen).
Toisin sanoen $(1, 2)$:n pituus onkin tämän "maksiminormin" mukaan kaksi yksikköä.
<p>
Jos jostain tieteelle tuntemattomasta syystä haluat lähettää postipaketin, niin maksu määräytyy yleensä paketin pisimmän sivun mukaan.
Tämä pituusmitta on siis se, jota postilaitokset käyttävät.
Sen tuottama yksikköympyrä näyttää tältä:
<div style="clear: both; text-align: center;">
<img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi37xBj7v-htk63ExUfs2E3QYPdQXX7ULU0VzH77slGlWAcrEKUxmuS2VcHBGh_b7ARNSUetk5ZhV_Ev0p27V-Zx3psNCVh3io3Pcu9lZQg_xF7jSEjncIuCah2dU_azqMhKZjhXayQ58IZ/s600/YmpyraInf.png" style="max-width:80%;box-shadow:none;border:0;" alt="Neliö, jonka sivut ovat yksikön etäisyydellä x- ja y-akseleista." title="Postin näkemys ympyrästä, palautettu Kauhavan sekä Ivalon kautta lähettäjälle kahdeksan kuukautta myöhemmin." />
</div>
<p>
Siinä on ympyrän neliöintiä parhaimmillaan!
Toisin sanoen jos paketin yksi sivu on metrin mittainen, niin postimaksu ei muutu oli toinen sivu sitten kymmensenttinen tai puolimetrinen.
<p>
Silti... mikä saa matemaatikon pitämään kaikkia kolmea tapaa yhdenvertaisina tapoina mitata pituus?
Ovatko yliopistolaiset taksien ja pakettien suurkuluttajia, pitääkö verovarojen käytöstä olla kenties huolissaan?
<p>
Yksi syy on tietenkin se, että jos yhdellä ja samalla teorialla saa selitettyä arkiset mitat, taksimatkat ja postinjakelun, niin se on parempi kuin kolme erillistä teoriaa.
Toisekseen, joissakin tilanteissa ei ole mitään väliä, mitä näistä kolmesta käyttää.
Syy on siinä, että kaikki kolme menevät sisäkkäin:
<div style="clear: both; text-align: center;">
<img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhU85FrTPE2ic04JqDBvFjd1mKcuZyYsnYIkPDf6bUMHGvfz_H13CsuhW9haPg4OEWH_-HHz7GWDpOY6R-U9e4APy42LO4qPi9qHVsOX-psqrT1CZzUru7P-vSyqVNmXiXxLPBRqwAdYovm/s600/YmpyraMonta.png" style="max-width:80%;box-shadow:none;border:0;" alt="Neliön sisälle menee ympyrä ja sen sisälle vinoneliö. Vinoneliön sisälle mahtuu puoleen kokoon kutistettu neliö." title="Ympyräception." />
</div>
<p>
Nämä pituusmitat ovat vakiokertoimen sisällä toisistaan.
Yhdellä tavoin mitattu pituus on vähintään puolet ja enintään tuplasti toisen pituusmitan verran.
Tämä riittää takaamaan, että mitoilla on samat ominaisuudet.
Ja sehän on kätevää – Pythagoraan lauseen neliöjuurta on pikkaisen hankala muokkailla, joten miksipä ei todistettaisi väitteitä helpommilla kaavoilla!
<p>
Esimerkiksi <a href="https://www.nollakohta.fi/2020/03/matemaatikkona-tyoelamassa.html">työprojektissani</a> käytän laskukaavaa, johon syötetään pisteiden välisiä etäisyyksiä.
Tämä kaava ei välitä siitä, mitä pituutta käytetään (kunhan yhtä vakiotermiä säätää), joten totta kai lasken etäisyydet helpoimmalla tavalla.
Se on tietokoneenkin näkökulmasta näppärämpää.
<p>
Jotain eroa näiden pituusmittojen välillä kuitenkin täytyy olla.
Mitä Pythagoraan kaavalla on takataskussaan, jotta se toimii arkielämässä?
Mikseivät taksi- ja postipakettinormit ole luonnollisia?
<a href="https://www.nollakohta.fi/2020/09/kahden-vektorin-kulma.html">Se selviää ensi kerralla</a>.
<hr style="margin-top:4em;">
<p>
<b>Bonus:</b>
Ei tässä ollut läheskään kaikkia tapoja määrittää pituutta!
Saatat muistaa (ja jos et muista, niin se ei haittaa), että $\sqrt x$ on sama asia kuin $x^{1/2}$.
Sama pätee muillekin juurille.
Siispä Pythagoraan lause on itse asiassa sama kuin
\[
\left(|x|^2 + |y|^2 \right)^{1/2}.
\]
<p>
Merkitsin itseisarvomerkit, jotta yhtäläisyys taksinormin kanssa olisi selkeämpi:
\[
\left(|x|^1 + |y|^1 \right)^{1/1}.
\]
<p>
Näissä kahdessa on siis jotain samaa.
Herää kysymys, voisiko kakkosen korvata jollain muulla luvulla.
Vastaus on kyllä vain; millä tahansa luvulla $p \geq 1$ voidaan määritellä pituus
\[
\left(|x|^p + |y|^p \right)^{1/p}.
\]
<p>
Mitä suuremmaksi $p$ kasvaa, sitä enemmän yksikköympyrä muistuttaa maksiminormia.
(Tässä on hyvä GeoGebra-harjoitus lukiolaiselle.)
Tästä syystä jälkimmäistä kutsutaan myös $\infty$-normiksi.
<p>
Jos $0 < p < 1$, niin yksikköympyrän kaaret painuvat sisäänpäin ja tulos muistuttaa tuikkivaa tähteä.
Tällöin kuitenkaan kolmion sivujen pituutta koskeva ehto ei enää toteudu.
Petri Laarnehttp://www.blogger.com/profile/02918099887181866034noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-6928022722273734349.post-48049114201486257692020-08-17T09:00:00.002+03:002020-08-17T09:00:05.527+03:00Lukiomatikan top 3+1<p>
Jatketaanpa vielä uuden lukuvuoden juhlimista toisen top 3 -listan, nimittäin muistelun merkeissä.
Tässä tulevat kolme omaa suosikkiani lukiomatematiikasta sekä yksi bonusvinkki lukion aloittajille.
<p>
Kirjoitan tätä tietenkin yliopistossa matematiikkaa opiskelevan näkökulmasta, mutta kaikki kolme suosikkia löytyvät jossain muodossa lyhyestäkin matikasta.
Yleensäkin tämä on vain oma mielipiteeni, ja ehkä aika on kullannut muistoja ja opetussuunnitelma muutenkin ajanut ohi.
<p>
Mitkä ovat omat suosikkisi?
<a name='more'></a>
<div style="clear: both; text-align: center;">
<img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjEH4r1SkM8MR0WfOzaDRIZZf_2cKrG4cYPUZ6r1Sr2mSlBWQXhur9BdsRxmJcUXdts55U59pcQ1i6g5U00tS6MnF1fXGpmZYbsvLkEBVM_g7LS9Hmv5PxJxFY6ECAv4MoQqPDEA_vcF_Ja/s0/Top3_laskutikku.png" style="max-width:50%;box-shadow:none;border:0;" alt="" />
</div>
<h3>3. Logaritmit</h3>
<p>
Tämä saattaa kuulostaa vähän oudolta valinnalta, mutta olen kirjoittanut logaritmeista aiemminkin (ks. <a href="https://www.nollakohta.fi/search/label/Logaritmit">Logaritmit-kategoria</a>).
Logaritmi ja eksponentti ovat viimeiset opittavat peruslaskutoimitukset, ja erittäin hyödylliset sellaiset.
<p>
Logaritmeilla ei ole enää samaa merkitystä kuin ennen vanhaan.
Aikoinaan 1600-luvulla ne olivat iso juttu laskusäännön
\[
\log(ab) = \log a + \log b
\]
takia.
Toisin sanoen: hankalan kertolaskun pystyi muuttamaan yhteenlaskuksi katsomalla taulukkokirjasta tekijöiden logaritmit, summaamalla ne ja katsomalla, mitä lukua tulos vastaa.
Aikana ennen laskukoneita tämä oli suorastaan vallankumous.
Myöhemmin keksittiin manuaalinen laskukone eli laskutikku (ks. <a href="https://www.nollakohta.fi/2017/05/vaarin-laskutikku.html">Vaarin laskutikku</a>) ennen kuin päästiin sähköiseen taskulaskimeen.
<p>
Teorian puolella logaritmit elävät kuitenkin hyvinvoivina.
Menisin jopa niin pitkälle, että väittäisin luonnollisen logaritmin kantaluvun $e$ olevan paljon kiinnostavampi kuin kansikuvavakio $\pi$.
Eksponenttifunktioon törmää käytännössä kaikessa, mikä liittyy matemaattiseen analyysiin eli jatkuvien ilmiöiden tutkimukseen.
Kun peliin otetaan kompleksiluvut, huomataan esimerkiksi sinin ja kosinin olevan johdannaisia eksponentista.
<p>
Aika usein tulen käyttäneeksi logaritmia myös käytännössä.
Yhtenä esimerkkinä tilastotieteessä täytyy silloin tällöin derivoida useamman funktion tuloa.
Kertolaskun derivointisääntö vain on aika kömpelö.
Ottamalla logaritmi olennainen tulos (derivaatan nollakohta) ei muutu, mutta tulo muuttuukin helposti derivoitavaksi summaksi.
<div style="clear: both; text-align: center;">
<img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhYRMso4omwijgtDjkMkExpo8dEYWlyxDRNRdYqd_B2mMQIyQxZT9nj2ufL57Fg4aGju4I5d6iVPwultbSMc9wsvWZwUO3JMPMPcHxmMfylxmpEVvzHE0OU9iNHHPRWB5DpbxjkzNX0xLuD/s400/Top3_geometria.png" style="max-width:50%;box-shadow:none;border:0;" alt="" />
</div>
<h3>2. Analyyttinen geometria</h3>
<p>
Nyt tulee tunnustus: en oikeastaan pidä geometriasta.
Klassinen harppi ja viivain -geometria (ks. <a href="https://www.nollakohta.fi/2016/11/harppi-ja-viivain.html">Harppi ja viivain</a>) ei vain sytytä minussa sitä intoa, joka joiltakin suorastaan pursuaa yli.
Analyyttisen geometrian ja vektoreiden kurssilla tämä ongelma hälvenee jonkin verran, sillä silloin avuksi otetaan yhtälöt.
<p>
Tämä on toinen 1600-luvun merkittävä keksintö (fun fact: matikassa päästään 1900-luvulle kunnolla vasta yliopiston maisteriopinnoissa).
Ajatella, kaksi täysin erilaista alaa: geometriset muodot ja yhtälönratkaisu!
Tästä on matematiikassa nimenomaan kyse, ja myöhempinä vuosisatoina geometrinen yhteys löydettiin muihinkin aloihin.
<p>
Vektorit tuntuivat olevan monelle hieman vaikeita, enkä yhtään moiti siitä.
Ne ovat aika abstrakti käsite, yksi ensimmäisistä sellaisista lukiossa.
Samaan aikaan niistä on paljon konkreettista hyötyä fysiikassa ja vaikkapa tietokonegrafiikassa.
Yliopistomatikassa vektoreita käytetään paljon ja niitä voidaan käsitellä vielä abstraktimmin.
Eräillä matikan aloilla jopa funktiot tulkitaan <i>ääretönulotteisina</i> vektoreina!
<p>
Ääretönulotteisia vektoreita?
Tästä lisää ensi viikolla!
<div style="clear: both; text-align: center;">
<img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiLANjrlQuxxpU7q1SYtWmnniNpyLBOBByyMWodNR5mkU3YTdnRHSZCMAney48n_Qa2YQn7WCX6xOJS3DDKLEUyo8O5nd_ZNlOY9gdfax2U_OmZJioXqDDikOZ9mGDBgMg70ceQ_c7hwXDt/s400/Top3_derivaatta.png" style="max-width:50%;box-shadow:none;border:0;" alt="" />
</div>
<h3>1. Derivaatta</h3>
<p>
Derivaatta eli muutosnopeuden laskeminen sekä integraali, sen vastaoperaatio.
Mistä edes aloittaisin?
<p>
En ole fyysikko, mutta käsittääkseni valtaosa fysiikasta rakentuu derivoinnin ja integroinnin päälle.
Kai nyt, kun tieteenala tutkii aineen ja energian muutoksia.
Hyvin monella muullakin alalla kiinnostaa tietää, milloin jokin funktio saa suurimman tai pienimmän arvonsa.
Tähän tarvitaan derivaattaa, kuten yllä viitattiinkin.
Itse asiassa "optimointiteoria" on yksi laaja matematiikan ala.
<p>
Derivaatta johtaa myös differentiaaliyhtälöihin, joissa halutaan ratkaista tuntematon funktio: esimerkiksi yhtälöllä $f'(x) = 2 f(x)$ on ratkaisu $f(x) = C e^{2x}$.
Ja nämä taas johtavat vielä laajemmille aloille...
Karkeasti veikkaisin, että ainakin puolet matematiikan tutkijoista työskentelee derivaattojen ja integraalien parissa, ja soveltavista matemaatikoista lähes jokainen.
<p>
Lisäksi derivaatta on toinen loikka kohti abstraktimpaa.
Derivaatta ottaa funktion ja antaa toisen (tietyssä tapauksessa saman) funktion.
Se on siis <i>funktio, joka toimii funktioilla</i>.
Tämä myöskin liittyy niihin ääretönulotteisiin avaruuksiin, mutta siitä lisää maisteriopinnoissa.
<p>
Kaiken lisäksi derivointi ja integrointi on paljon hauskempaa kuin luvuilla laskeminen.
<div style="clear: both; text-align: center;">
<img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjCEjy5Sb-WR6DpCsiP3G_EV9vex0tn-Rptl5CE9F-Lm76lG4hZ01B9bECuI6dwhWdw0uEOojL6Ff2_L-UHq1i2zk5QI-CX7TOJGtZfvkSAl5GFS147bHLguenpYsdGfLSgfqbVNUJ6Is8t/s400/Top3_kirja.png" style="max-width:50%;box-shadow:none;border:0;" alt="" />
</div>
<h3>0. Kaikki muu kuin matematiikka</h3>
<p>
Olen kirjoittanut tästä aiemmin (ks. <a href="https://www.nollakohta.fi/2017/08/lukion-tarkein-aine.html">Lukion tärkein aine</a>) ja aion kirjoittaa siitä nytkin,
vaikka kukaan ei ole kysynyt mielipidettäni.
On se internet ihana paikka.
<p>
Lukiossa parasta on, että se on yleissivistävä oppilaitos.
Siitä kannattaa ottaa kaikki ilo irti, koska myöhemmin se on vaikeampaa.
<p>
Oma kokemukseni on, että yliopistossa voi valita hyvistä arvosanoista,
tavoiteajassa valmistumisesta, sivuaineiden lukemisesta ja
mielen hyvinvoinnista ehkä kaksi tai kolme.
Eri aineiden kursseilla on taipumusta osua päällekkäin,
varsinkin jos ne pidetään eri tiedekunnissa (jopa eri puolilla kaupunkia).
Epäilen, että Kielikeskus suorastaan tähtää ranskankurssinsa matikan luentojen päälle.
<p>
Yliopistokurssit ovat myös kapeampia ja syvempiä kuin lukiokurssit.
Lukio on varmastikin helpoin paikka hankkia perustiedot jostain aineesta.
<p>
Siksi vinkkini tulevalle luonnontieteilijälle on: hyödynnä tämä mahdollisuus.
Lue niitä aineita, jotka sinua kiinnostavat, mutta älä ota liikaa paineita erikoistumisesta alallesi (vaikka yhteiskunta siihen painostaisikin).
Yliopiston ekana vuonna erot lähtötasossa kyllä tasoittuvat.
Sen sijaan kaikkea muuta on hankalampi lukea myöhemmin.
Petri Laarnehttp://www.blogger.com/profile/02918099887181866034noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-6928022722273734349.post-76405440215987098042020-08-12T09:00:00.002+03:002020-08-12T09:00:02.500+03:00Kolme vinkkiä lukion matikkaan/fysiikkaan/kemiaan<div style="clear: both; text-align: center;">
<img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjJKh1W7OlyNHBjotK-hf4HW8FMr2PcFM-f6Gr3FKtJF3JoKaxEEJzGpST06LvVKJOkxEvJrT7y3xKHtZmLAym4Lx19ys_EzEcnUB3Jq72z3X0YIAxWXJvItvJSx7V15ho3tncLef0mqjwc/s1280/Juurilla.jpg" style="max-width:80%;box-shadow:none;border:0;" alt="Minä lukemassa Pyramidi 5 -oppikirjaa vektoreista." title="Yllätyin positiivisesti siitä, kuinka paljon tuolla kurssilla oli asiaa." />
<p><i>Bloggaaja palaa juurilleen.</i>
</div>
<p>
Taas lähtee uusi lukuvuosi käyntiin!
Sen kunniaksi on hyvä aika esittää kolme Taatusti Toimivaa Vinkkiä™, joilla saat täysienpisteidentarroja kokeisiisi<sup>*</sup>... tai mitä nyt sähköisiin kokeisiin liimataankaan.
Joka tapauksessa, tässä tulee kolme ohjetta, jotka jokaisen lukionaloittajan ja varsinkin -lopettajan pitäisi mielestäni tietää.
<p>
<small>* Arvosanatakuu: tämän artikkelin hinta (0 €) palautetaan kirjallista valitusta, pankkikortin molempia puolia ja sähköpostin salasanaa vastaan.
Oikeat vastaukset eivät sisälly pakettiin.</small>
<p>
Nämä vinkit ovat totta kai omia mielipiteitäni, joita olen kerryttänyt sekä lukiolaisena, satunnaisena tukiopettajana että matematiikan opiskelijana.
Jaa ihmeessä omia neuvojasi esimerkiksi kommenteissa!
<p>
Kaikki kolme vinkkiä liittyvät päässälaskuun.
Kyllä, päässälaskuun.
GeoGebra-neuvoja joudut etsimään muualta.
Voit pitää minua kalkkiksena, mutta ei siitä niin kauaa ole, kun olen itse kirjoittanut ylioppilaaksi.
Meillä matikan osastolla sitä paitsi <a href="https://www.nollakohta.fi/2018/09/liitutauluja-liitutauluja-kaikkialla.html">käytetään yhä liitutauluja (koomisuuteen asti)</a> eikä tilanne ole lähivuosina muuttumassa.
Siihen on syy.
<a name='more'></a>
<h3>Päässälasku on <strike>hyödyllistä</strike> ihanaa</h3>
<p>
Itse asiassa päässälaskun erinomaisuuteen on kolme syytä:
<ol>
<li>Päässälasku on hidasta.
<li>Päässälasku on käsillä tekemistä.
<li>Päässälaskiessa tietää paremmin, mitä on tekemässä.
</ol>
<p>
Ensimmäinen syy saattaa kuulostaa oudolta.
Tarkoitan sillä, että laskimeen on tosi helppoa hakata lukuja ja toivoa, että jotain oikeansuuntaista tulee ulos.
Kirjoita, mitä olet tekemässä.
Mieti, miksi olet tekemässä.
<p>
Moni uskoo, että matematiikassa ei tarvitse kirjoittaa.
Asia ei voisi olla kauempana todellisuudesta.
Myös matematiikka on tarinankerrontaa.
Kun selität, mitä teet, kokeen tarkistaja ei joudu arvailemaan ajatuksiasi – ja voi antaa osapisteitä, vaikka laskut menisivätkin pieleen.
<p>
Niin paljon kuin lukiota tehdäänkin sähköisesti, käytä myös kynää ja paperia.
Asiat saattavat jäädä paremmin mieleen, kun niihin liittyy liikemuisti.
Oma kokemukseni oli, että tarpeeksi monta kertaa kaavat kirjoitettuani osasin taulukkokirjan matikkaosan lähes ulkoa.
Kannattaa kokeilla erilaisia oppimistekniikoita.
Lisäksi kuvien luonnostelu on ihan olennaista.
<p>
Matematiikan laitos pitää kiinni liitutauluistaan, koska ne tekevät matematiikan kouriintuntuvaksi.
Kun sormet ovat liitupölyssä, tietää tehneensä jotain.
Luin hiljattain matematiikan professori <a href="https://nhigham.com/2017/02/21/writing-mathematics-in-pencil-and-why-analogue-is-not-dead/" rel="noopener">Nick Highamin samanhenkisen blogikirjoituksen lyijykynistä</a>.
<p>
Laskimet ja ohjelmistot ovat ihan loistavia välineitä.
Niitä kannattaa käyttää.
Samaan aikaan niiden suhteen kannattaa olla pikkaisen epäluuloinen.
Jos teet syöttövirheen, huomaatko sen tuloksessa?
<p>
Treenaa yhtälöiden ratkaisua heti alusta alkaen, siitä on kiinni monta pistettä.
Opettele pinnallisten tehtävätyyppien lisäksi perusideoita: osaatko selittää itsellesi, miksi teet jotain?
<p>
Minusta hyvä tavoite on, että tarvitset laskinta vain tarkistamiseen.
Siihen sitä sitten kannattaakin käyttää <i>ihan aina</i>.
<h3>Ota suuruusluokat haltuun</h3>
<p>
Tämä on klassinen, vähän samaa luokkaa kuin prosenttilaskut (joita siis kannattaa opetella sekä yo-kisojen että elämän takia).
Se koskee paitsi matikkaa, myös ihan erityisesti fysiikkaa ja kemiaa.
Jälkimmäisten yo-kokeissa yksikkömuunnoskysymys on taattu.
<p>
Montako neliömetriä on hehtaarissa?
Kuinka monta millilitraa menee kuutiosenttimetriin?
Onko viisi millimoolia millilitrassa väkevämpi liuos kuin viisi moolia litrassa?
<p>
Nämä kysymykset ovat ihan helppoja kunhan niihin kehittää rutiinin.
Avainsana on <i>kymmenpotenssimuoto</i> eli kirjoittaa luvun $1234$ sijaan $1{,}234 \cdot 10^3$.
Kertolasku on potenssien summaamista (ja alkuosien kertomista), jakolasku taas vähentämistä.
Yksiköiden kertoimet sopivat tähän systeemiin.
Kilo on sama kuin $10^3$, milli on sama kuin $10^{-3}$ ja niin edelleen.
Opettele lukemaan "5 millilitraa" samana asiana kuin "$5 \cdot 10^{-3}$ litraa".
<p>
Syy numero yksi: nopea päässälasku.
Mitä on viisi millimoolia millilitrassa?
No
\[
\frac{5 \cdot 10^{-3}~\text{mol}}{1 \cdot 10^{-3}~\ell}.
\]
Osoittajassa ja nimittäjässä on sama termi $10^{-3}$, jonka voi supistaa pois.
Siispä vastaus edellä olleeseen kysymykseen on, että väkevyydet ovat samat.
<p>
Syy numero kaksi: tarkistava päässälasku.
Sanotaan vaikka, että sinulla on hirvittävä laskutoimitus muotoa
\[
\frac{123456 + 789}{1011}.
\]
<p>
Ennen kuin syötät luvut laskimeen, mitä veikkaat vastauksen suuruudeksi?
Laskun voi muuttaa pyöreiksi luvuiksi:
\[
\approx \frac{100000 + 1000}{1000}
= \frac{10^5 + 10^3}{10^3}
\approx \frac{10^5}{10^3}
= 10^2
= 100.
\]
<p>
Yhteenlaskussa ei tapahdu oikeastaan mitään, koska ensimmäinen luku on niin paljon toista isompi.
Jakolasku taas on potenssien vähennyslaskua.
Voit katsoa laskimesta, mikä on tarkka vastaus – ja miten käy, jos unohdat näpyttää jonkin numeroista... tai sulut!
<h3>Laske yksiköillä</h3>
<p>
Fysiikassa, kemiassa ja välillä myös matikassa laskuihin eksyy lukuarvoja todellisesta maailmasta.
Ne eivät ole muotoa "17" vaan muotoa "17 metriä" tai "17 litraa" tai "17 jytämusiikin tahtiin hytkyvää elefanttia".
<p>
Kirjoita nämä yksiköt laskuihin.
Aina.
<p>
Miksi?
Siinä kohtaa kun huomaat laskevasi yhteen metrejä ja elefantteja, tiedät tehneesi virheen.
Siinä kohtaa kun yrität laskea nopeutta ja lopputulos on litroissa, tiedät tehneesi virheen.
Siinä kohtaa kun yrität laskea nopeutta ja lopputulos on metrejä sekunnissa, tiedät olevasi edes oikealla suunnalla.
<p>
(Ensimmäisessä kohdassa olet luultavasti unohtanut kertoa elefanttien määrän elefantin pituudella, joka siis on yksikössä "metriä per elefantti".
Tämä on totta kai standardiyksikkö, joka löytyy MAOL-taulukoista.)
<p>
Miten?
Ihan samoilla säännöillä kuin muutkin laskut.
Samoja yksiköitä saa summata keskenään.
Yksiköitä voi kertoa keskenään: $\text{kg} \cdot \text{m}$ on ihan ookoo.
Yksiköitä voi jakaa keskenään, ja yksikkö jaettuna itsellään on ykkönen eli "ei yksikköä" (minkä voi usein tulkita "kappalemääränä").
<p>
Yksi hauska sivuvaikutus yksiköiden käytöllä on se, että muistat kaavat ulkoa vahingossa.
Miten lasketaan nopeus?
Yksikkö on metrejä per sekunti, joten tulos on <i>pakko</i> saada jakamalla jokin pituus jollakin ajalla.
Tietääkseni oikeat fyysikot käyttävät tätä temppua ihan koko ajan.
<h3>Kertaus</h3>
Toista perässä:
<ul>
<li>Selitän aina, mitä olen tekemässä.
<li>Kirjoitan yksiköt kaikkiin kaavoihin.
<li>Opettelen yksikkömuunnoksia, kunnes osaan ne vaikka keskellä yötä.
<li>Osaan laskea myös ilman tietokonettani.
<li>Luen tämän blogin kiinnostavia matikkajuttuja myös ensi viikolla.
</ul>
<p>
Tsemppiä opintoihin!
<h3>Lue myös</h3>
<ul>
<li><a href="https://www.nollakohta.fi/2017/01/muutama-koevinkki.html">Muutama koevinkki</a> (vanha teksti mutta sovellettavissa myös sähköiseen kokeeseen)
<li><a href="https://www.nollakohta.fi/2017/09/kaikkein-tarkein-koevinkki.html">Kaikkein tärkein koevinkki</a> – olen edelleen samaa mieltä otsikon kanssa
<li><a href="https://www.nollakohta.fi/search/label/P%C3%A4%C3%A4ss%C3%A4lasku">Päässälasku-kategoria</a> sisältää pari temppua lisää
<li><a href="https://yle.fi/aihe/abitreenit/matematiikka" rel="noopener">Ylen Abitreeneissä</a> vietät puolet abivuodestasi; vinkkejä kannattaa katsoa jo aiemminkin
<li><a href="https://www.matikkamatskut.com/" rel="noopener">Ville Aitlahden Matikkamatskut-sivusto</a> videoineen on ilmeisen suosittu tuki oppimiseen
</ul>
Petri Laarnehttp://www.blogger.com/profile/02918099887181866034noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-6928022722273734349.post-3531625110148953832020-03-31T17:07:00.000+03:002020-03-31T17:07:06.032+03:00Matemaatikkona työelämässä: Tutkimusavustaja, INAR<div style="clear: both; text-align: center;">
<img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjEYmUfweeyYFGhgZi3Veipz3pbgcwBLqq2iE6VJt9xW_0dwuc0Ei2XnLaLDnBwgNqjAHdN5_fV4-CwboG9LvbfbVcX8TzBxwowamUMnFF3s5aZ6cIH6kXyEUNQbWjCgNLnHstVAY8X8_Xa/s1600/Inar.jpg" style="max-width:80%;box-shadow:none;border:0;" alt="Työpöytä toimistossa, pöydällä läppäri, näyttö ja kirjoja." title="Matemaatikolle sangen sopiva kolo, mitä nyt liitutaulu puuttuu." />
</div>
<p>
Olen ollut nyt pari kuukautta töissä, tarkemmin sanottuna siviilipalveluksessa, Helsingin yliopiston Ilmakehätieteiden tutkimuskeskus INARissa. (Keskus ei kuitenkaan sijaitse Inarissa.) Vaikka henkilöstöhallinnolle olenkin <i>siviilipalvelusmies</i>, varsinainen työnkuvani on <i>tutkimusavustaja</i>.
</p>
<p>
Pari vuotta takaperin kirjoitin siitä, <a href="https://www.nollakohta.fi/2018/09/matemaatikkona-tyoelamassa-varian.html">millaista on olla ohjelmistokehittäjänä sädehoidon parissa</a>. Nyt vuorossa olisi yksi kuvaus työstä yliopistolla. Pidin viikon ajan päiväkirjaa tekemisistäni, ja tulokset ovat alla. En helmikuussa tätä ideoidessani arvannut, että työskentelisin koko viikon kotona – mutta samapa se, minkä pöydän ääressä nakuttaa läppäriä. Ehdinkin jo hetken nauttia työn ja vapaa-ajan erosta, jota opiskellessa on vaikea saavuttaa...
</p>
<a name='more'></a>
<h3>Yleiskuva</h3>
<p>
Tutkimusavustaja on akateemisen urapolun ensimmäinen askel. Tutkimusprojekteissa mukana olevat kandi- ja maisteriopiskelijat ovat yleensä tämän nimikkeen alla. Tohtorintutkintoa suorittavat jatko-opiskelijat kantavatkin jo seuraavaa (ja hieman paremmin palkattua – eikä edes puhuta omasta päivärahastani) titteliä.
</p>
<p>
INAR on kolmatta sataa henkeä työllistävä tutkimusyksikkö. Se toimii fysiikan ja ympäristötieteiden välimaastossa; minun varsinainen työpöytäni on Kumpulan kampuksella eli lähempänä fyysikoita. Työskentelen ilmakehän luonnollisten pienhiukkasten parissa. Ihmiskunnan taivaalle tuuttaamien päästöjen lisäksi pieniä hiukkasia syntyy jatkuvasti luonnossa, esimerkiksi metsissä. Metsän tuoksu on vähemmän romanttisesti ilmaistuna kokoelma monoterpeenejä ja muita orgaanisia molekyylejä.
</p>
<p>
Näiden hiukkasten syntyä on alettu ymmärtää paremmin vasta tällä vuosituhannella. Merkitystä niillä on, koska kasvaessaan hiukkasista tulee tiivistymisytimiä vesipisaroille, jotka muodostavat pilviä. Kyseessä on siis yksi osa palapeliä, jota myös ilmastoksi kutsutaan. Hyytiälän metsäntutkimusasemalla Juupajoella on 125-metrinen torni, jossa näiden hiukkasten syntyä on mitattu kohta neljännesvuosisadan ajan.
</p>
<p>
Minähän en ole fyysikko. Yliopistotason fysiikan opintoja minulla on takanani tasan nolla tuntia. Työni onkin olla tilastotieteilijä siinä määrin, minkä luonnontieteiden kandidaatin tutkinto matematiikassa, tilastotiede sivuaineena, mahdollistaa. Olen kuitenkin lueskellut sen verran kirjallisuutta, että tajuan tutkimusalan perusteet; illat Lapinjärvellä kun olivat pitkiä...
</p>
<h3>Maanantai</h3>
<div style="clear: both; text-align: center;">
<img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi2UeaXXNQmc54fZZ7oJDs1g-0vdegF_qDpw6k6zud6b8adc4A55gIgQ0srfTRRtJxqNbmw5r4bsWm7kUHKMoYwE__q_uciORY__MueuGtSXfCGKIT9lPL3UWsnUAv8hKth_Mz6a6_nTv0K/s1600/Suunnitelmat.jpg" style="max-width:70%;box-shadow:none;border:0;" alt="Läppäri, jonka päällä pino muistilappuja." title="[x] Lue iltapäivälehtiä" />
</div>
<p>
<b>8:10.</b> Siirryn keittiöstä olohuoneeseen ja aloitan uuden työviikon kirjoittamalla tehtävälistan. Tapoihini kuuluu pitää sekä viikottaista päiväkirjaa että päivittäisiä tehtävälistoja. Yleisesti ottaen ajatuksia on hyvä kirjata ylös myöhempää käyttöä varten. Laboratoriotöissä päiväkirjat noudattavat erittäin tarkkaa kaavaa, jotta tulokset voidaan tarkistaa myöhemmin. Matemaatikoita ei tietenkään päästetä lähellekään labraa, joten omat merkintäni ovat vapaamuotoisempia. Selailen läpi myös yliopiston intranetin otsikot.
</p>
<p>
<b>8:30.</b> Kirjaudun INARin uuteen Slack-työtilaan, jonka tarkoitus on toimia virtuaalisena kahvihuoneena. Protokollan mukaisesti sieltä löytyy kanava lemmikkikuville. Kanavien joukosta löytyy pari myös tieteelliselle keskustelulle, mutta ne ovat hiljaisempia.
</p>
<p>
<b>10:10.</b> Taukojumpan aika. Olen piirrellyt paljon kuvaajia viime perjantaina ajamastani analyysista.
</p>
<p>
Tutkimusprojektinani on selvittää, sopisiko eräs tilastollinen menetelmä muuttujien välisten yhteyksien havaitsemiseen meidän datassamme. Sitä varten olen ohjelmoinut viime viikot Python-kielistä työkalua. Nyt välineet alkavat olla kunnossa ja ohjelmointityö on enemmän pienten skriptien kirjoittamista datan siistimiseen, analysointiin ja piirtämiseen.
</p>
<div style="clear: both; text-align: center;">
<img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiL5Uo_AMETcpQA5xIxX4RVVVJKEihvrFmBZmEt3LGzbszE-1JcE-aGYs4o7bNutkDHRPbFKdeiUU4i4_o5e6Tnh3b7kRxMG_CdU1WyrzkFsQGXthL4CAiCSnmjsQxqW7NX0QmWbMvLS4Nv/s1600/Kuvaajia.jpg" style="max-width:70%;box-shadow:none;border:0;" alt="Koodia ja kuvaajia tietokoneen ruudulla." title="Ei erityisen hyviä kuvaajia." />
</div>
<p>
<b>14:00.</b> Ryhmäpalaveri. INAR on jakautunut pienempiin ryhmiin eri teemojen ympärille. Meidänkin ryhmässämme tehdään silti hyvin monenlaista tutkimusta. Kukin kertoo vuorollaan, mitä on parina viime viikkona tehnyt, ja käymme läpi tulevia (tällä kertaa lähinnä peruttuja) konferensseja ja rahoitushakuja.
</p>
<h3>Tiistai</h3>
<p>
<b>10:00.</b> Olen puolisoni kanssa S-Marketissa. Näinä aikoina tällainen jousto ei yllätä ketään, mutta yleensäkin akateemiset työajat ovat hyvin vapaasti määriteltyjä. Itse asiassa yliopiston varsinaisilla tutkijoilla on vuosityöaika: vuoden aikana pitää tehdä tietty tuntimäärä ja omille luennoille olisi hyvä ilmestyä – muuten tapa on vapaa. Sivarina minulla on viikkotyöaika ja pidän näpit irti työkoneesta virka-ajan ulkopuolella. En tiedä, pystyisinkö jatko-opiskelijana samaan; toivottavasti.
</p>
<p>
<b>13:00.</b> Taas etäkokouksessa, tällä kertaa kolmen hengen kesken. Juttelemme tutkimusprojektin edistymisestä ja ideoimme, mitä seuraavaksi kannattaisi tehdä. Menetelmä vaikuttaa lupaavalta, mutta tulokset eivät vielä vakuuta. Vuodenaikojen ja säätilojen vaihtelu peittää alleen vielä todellisen "signaalin". Saan myös pari muuttujaa lisättäväksi aineistooni.
</p>
<p>
<b>16:00.</b> Käsittelen saamaani dataa. Datan siistiminen on tilastotieteen ylivoimaisesti vähiten hohdokas osa. Se on myös se osa, johon menee suurin lohko ajasta. Aineistossani muuttujia mitataan eri aikavälein: joitakin minuutin ja joitakin kuuden välein, joitakin ihan milloin sattuu. Olen tehnyt skriptin, joka tuottaa niistä rivit tasan kymmenen minuutin välein. Uusista muuttujista toinen solahtaa mukaan ilman mitään vaikeuksia, mutta toinen ei sisälläkään sarakkeita Year–Month–Day vaan paljon "loogisemmat" X2.1–X2.2–X2.3. Nimeän ne uudelleen.
</p>
<p>
<b>16:37.</b> Skripti kaatuu johonkin täysin mystiseen virheeseen. Turhaudun. Ei kun lueskelemaan.
</p>
<div style="clear: both; text-align: center;">
<img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiFgszMuxlY7llz4yWVMIC70cZpd1YnKzaRHkMuyBM8QZNCkapHYCi_gViJPTR1ClasosX6iA0qR_HYsvMNCC-HAX18ps8qNgbITMv7p4Bjhoa8dbRh_312xd5wOCNQKCTFm3VAKp6pIxhQ/s1600/Naamapalmu.jpg" style="max-width:70%;box-shadow:none;border:0;" alt="Matemaatikon pää kohtaa pöydän." title="Ja sitten onkin näppäimistössä puhdistamista." />
</div>
<h3>Keskiviikko</h3>
<p>
<b>9:00.</b> Virkeämmin silmin saan selville, mikä aiheutti eilisen ongelman. Jostain täysin tuntemattomasta syystä osa havainnoista on tiedostossa kahteen kertaan. Lisään skriptiin rivin, joka poistaa kaksoiskappaleet tästä muuttujasta, ja nyt ulos tulee tiedostollinen havaintoja tasavälein ja järkevästi nimetyin sarakkein.
</p>
<p>
<b>10:00.</b> Pistän analyysiskriptin pyörimään uusin datoin. Analyysi varaa seuraavat pari tuntia työläppärini kokonaan. Laitoksella olisi kyllä palvelimiakin, joille tehtävän voisi lähettää, mutta kukapa ei pitäisi parin tunnin kahvitauosta?
</p>
<p>
...Ei vais, oikeasti käytän ajan lueskellen. Tutkimustyöhön kuuluu lukeminen, sekä oman alan artikkelien seuraaminen että menetelmiin perehtyminen. Nyt toteutan jälkimmäistä. Seuraan erästä kiinnostavaa tilastotieteen kurssia, josta on hyötyä varsinkin tulevissa projekteissa ja osin tässäkin. Siviilipalveluksen sääntöjen mukaan en saa saada työstä opintopisteitä, joten teen tehtäviä erikseen vapaa-ajallani.
</p>
<div style="clear: both; text-align: center;">
<img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgxjXN4SI7PhoF87Yd3y_AjrtDGMgAyRC6mJjwFH5gtmTAeIjpJf7T_R3RC7JHDuZytjE47Y580e9ADJ4DHTzRCJGsNqrgjIYncvwQR8BjK0PcsIkvbgD-q1hieS4XEtHziEBEHJ4VozzbM/s1600/Bsod.jpg" style="max-width:70%;box-shadow:none;border:0;" alt="Yhden läppärin ruutu on täynnä komentorivejä, toinen näyttää sinistä ruutua." title="Tulipa toistettua Gatesin kuuluisa COMDEX 1998 -koe." />
</div>
<p>
<b>10:10.</b> Tai siis, olisin ladannut uusimmat materiaalit e-kirjalleni, mutta myös omalla läppärilläni on näköjään keskiviikko.
</p>
<p>
<b>15:00.</b> Yleensä kävisin hakemassa kupin teetä ja tuoreimmat kuulumiset tilastotieteen opiskelijahuone Survomosta, nyt se ei tietenkään onnistu. Vaikka identifioinkin itseni matemaatikoksi, olen juurtunut paremmin tilastotieteilijöiden seuraan. Eikä ulkonäon kannata antaa pettää: olen käynyt ehdottomasti kovimmat matemaattiset keskusteluni juuri Survomossa. Tietenkään <i>useimmat aiheet</i> eivät ole yhtä henkeviä...
</p>
<h3>Torstai</h3>
<p>
<b>8:40.</b> Neljän seinän sisällä oleminen alkaa hieman painaa. Aamu käynnistyy vähän hitaasti seuraavia tehtäviä suunnitellen.
</p>
<p>
<b>11:00.</b> Teen tilastollista analyysia varsinaisen työn tueksi. Käyttämäni menetelmä on luonnostaan hieman epätarkka; siihen liittyy tavallaan mittausvirhe. Simuloin erilaisia aineistoja, joiden pitäisi tuottaa nollaa, ja selvitän, minkä suuruisia lukuja menetelmä antaa milläkin otoskoolla. Tällä tavoin saan vähän apua varsinaisten tulosten tulkintaan.
</p>
<p>
<b>13:00.</b> Selailen latinaa lukeneen puolisoni kirjahyllystä <b>Plinius nuoremman</b> (n. 63–113 jaa.) <i>Kirjeitä</i>. Kirjassa on ainoa säilynyt kuvaus Pompejin tuhosta. En voi olla miettimättä, onko kahdentuhannen vuoden päästä tämä teksti ainoa aikalaiskuvaus koronaviruksesta.
</p>
<p>
<b>14:15.</b> Akateeminen vartti pätee myös virtuaalisesti. Suuri osa yksiköstä on kokoontunut seminaariin. Seminaari on akateemisen tiedonvälityksen yksi muoto: viikon tai parin välein pidettävä luento jostain ajankohtaisesta aiheesta. INARin seminaareissa puhutaan tutkimuskysymyksistä, opiskelijaseminaarissa on lyhyempiä esityksiä eri aiheista ja itse seuraan myös tilastotieteen seminaaria.
</p>
<p>
Tavallisesta poiketen aihe ei tänään ole tieteellinen vaan koskee pandemian vaikutuksia työntekoon. Akateeminen työ on kansainvälistä: tutkijat reissaavat pitkin palloa konferenssien ja yhteistyön merkeissä. Meillä kysymyksiä herättää myös matkustaminen Suomen sisällä tutkimusasemille. Kaikki opetus on siirtynyt verkkoon muutaman päivän varoitusajalla ja tenttien järjestäminen mietityttää.
<p>
<p>
Yksikön johtaja demonstroi etätyön haasteita tippumalla linjoilta useampaan otteeseen.
</p>
<div style="clear: both; text-align: center;">
<img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjrsTFxjrjofEV5q2R-gLQLtsn2tr9xzbEo0H5rPmeGQvnlanmPEbAEAZEodiVXwQ7eRtysmv_tzEZId3qJZ_BaTddtlF31v42Kkktlz8VpnaSOhEnw-oI7-8-LCcCcaXZ4dhKreOQllaiE/s1600/Kumiankka.jpg" style="max-width:70%;box-shadow:none;border:0;" alt="Läppärin kannessa on sydäntarra, jossa lukee DATA, sekä etualalla kumiankka." title="Arska Ankka." />
</div>
<h3>Perjantai</h3>
<p>
<b>8:45.</b> Olen kerännyt tämän päivän täyteen ohjelmointihommia. Tehtävälistalla olisi selkeyttää työkalun paria virheilmoitusta ja laajentaa yhtä ominaisuutta paljon isommaksi. Siispä kuulokkeet päähän ja musiikki soimaan! Jostain syystä kuuntelen musiikkia lähes pelkästään ohjelmoidessani. <b>C418</b>:n <i>Excursions</i> on ollut jo monen koodirivin taustalla.
</p>
<p>
Yritän olla mahdollisimman ammattimainen ohjelmoija myös yliopistolla. Se tarkoittaa muun muassa, että ennen kutakin koodimuutosta lisään pienen testitapauksen. Alkuun testi ei mene läpi, sitten teen muutokseni, ja nyt testin pitäisi onnistua. Kun jokaista toimintoa vastaa testi, voin luottaa siihen, etteivät muutokseni riko mitään. Samalla testikokoelma toimii esimerkkinä siitä, miten työkalua käytetään. Tavoitteeni on, että projektin lopuksi voimme julkaista tulosten lisäksi helpon ja toimivan työkalun muidenkin käyttöön.
</p>
<p>
Mitä kumiankkaan muuten tulee, se on ohjelmoijien perinnettä: Hankala ongelma ratkeaa usein sillä, että sen selittää kollegalle ääneen. Ja jos kollegaa ei ole käden ulottuvilla, samaan tulokseen pääsee selittämällä pulmansa kumiankalle. Tahtoo sanoa, juttelen kumiankalle ihan ilmankin eristystä ulkomaailmasta.
</p>
<p>
<b>10:15.</b> Pienet parannukset tehty. Lataan päivitetyn version koodista pilveen. Automaattinen prosessi ajaa kaikki testit läpi useammassa eri ympäristössä, jotten joutuisi "se toimii minun koneellani"-tilanteeseen. Ehdin jaloitella hetken, kunnes ruudulle ilmestyy viesti: kaikki muutaman kymmentä testiä onnistuivat niin Linuxilla kuin Macillakin. Siirryn tekemään suunnitelmaa isompaa ominaisuutta varten.
</p>
<p>
<b>13:50.</b> Työ etenee, mutta hitaasti. Muutan aiemmin kolmiulotteisessa avaruudessa toiminutta koodia käsittelemään kuinka montaa ulottuvuutta tahansa. Ohjelmointia tuntevat voivat miettiä, miten kolme sisäkkäistä <code>for</code>-silmukkaa muutetaan mielivaltaisen moneksi sisäkkäiseksi silmukaksi. Vaihdan musiikin raskaampaan genreen.
</p>
<p>
<b>16:00.</b> Koodi toimii mutta törkeän hitaasti. Kirjoitan jäljellä olevat jutut ja parannusideat muistiin maanantaiksi ja siistin vielä langanpäitä kasaan.
</p>
<p>
<b>17:02.30.</b> Lähden töistä (olohuoneesta).
</p>
<p>
<b>17:02.35.</b> Saavun kotiin (keittiöön). Viikonloppu!
</p>
<h3>Lopuksi</h3>
<p>
Tämä viikko oli hyvin tyypillinen esimerkki kahdesta viime kuukaudestani. Siihen mahtui niin ohjelmointia, analysointia, opiskelua kuin keskustelua. Soveltavissa luonnontieteissä ohjelmointi on käytännössä pakollinen taito. Työkalujen kehittäminen sopii minun kiinnostuksiini, mutta valtaosaan riittää yhdistellä olemassaolevia palikoita. Datan siistiminen, analyysi ja selkeiksi kuviksi saattaminen on olennainen osa nykytiedettä, eli myös tilastotiede on välttämättömyys.
</p>
<p>
Aivan ehdoton taito on kommunikointi, jonka merkitys korostuu erityisesti etätyössä. Ei riitä, että itse näkee kuvioita tuloksissaan. Niistä pitäisi osata viestiä myös kollegoille ja projektin lopussa myös kaikille muille alan tutkijoille. Tutkimuksen lopullisista rahoittajista eli veronmaksajista puhumattakaan – ja toivottavasti tämä oli kiinnostava välähdys täältä ruohonjuuritasolta!
</p>Petri Laarnehttp://www.blogger.com/profile/02918099887181866034noreply@blogger.com2tag:blogger.com,1999:blog-6928022722273734349.post-8247615353530745462019-09-07T17:04:00.000+03:002019-09-07T17:05:32.447+03:00Teekkarin ja teoreetikon ylin ystävä<div style="clear: both; text-align: center;">
<img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiWsFd3_S8bLxejtQLh_HQD-tBY74rBOiro8haiVbg15mqmHaeaJqVmxtgvkR_JFcWTfZ7e_SJ0U_keOJ7uWgYcNCzaLzsZ5mIw_J2r050BUKqLINflz8Eeu1pxFt5TYV26H37yaS4ACaC6/s1600/Siili.png" style="max-width:40%;box-shadow:none;border:0;" alt="Hämmentyneen näköinen siili." title="Siilin Fourier-muunnoksessa lienee monta piikkiä." />
</div>
<p>
Matemaatikkona olemiseen kuuluu myös kulttuurista tuntemusta kuten alalla olijoiden yhteistä sanastoa. Yksi tärkeimmistä tällaisista sanoista on <em>käsienheiluttelu</em>. Se viittaa siihen, mitä tilastotieteilijät, fyysikot ja teekkarit parhaiten tekevät eli tarkkojen perustelujen sivuuttamiseen.
</p>
<p>
Vaikka sanaa toki voi käyttää myös loukkauksena, mielestäni käsienheiluttelussa ei ole mitään pahaa. Tosimaailmassa nimenomaan täytyy ohittaa yksityiskohtia ja tehdä valistuneita arvauksia, jos aikoo saada jotain aikaiseksi. Ja joskus käsienheiluttelu johtaa jonkin suuremman äärelle. Tässä tapauksessa se vie syvälle funktioiden ymmärtämiseen tavalla, josta niin diplomi-insinööri kuin akateemikkokin tykkää.
</p>
<a name='more'></a>
<h3>Sinnepäin lukiotyylillä</h3>
<p>
Pitkän matematiikan kurssilla numero kaksitoista opitaan semmoinen epeli kuin Taylorin summa. Sen avulla voidaan approksimoida vaikeitakin funktioita tavallisten, helposti laskettavien polynomien avulla. <b>Brook Taylorin</b> fiksu idea (puhelinnumero 1685–1731, maakoodi Englanti) oli, että jonkin pisteen lähellä funktiota voi arvioida derivaatan avulla, ja derivaattaa toisen derivaatan avulla, ja niin edelleen.
</p>
<p>
Nykäistään esiin vaikka vanha kunnon sinifunktio, tuo loputon aaltoilija. Tunnetusti (YKSIKKÖYMPYRÄ! huudahtaisi lukioaikainen matikanopeni) $\sin 0 = 0$. Otetaan se ensimmäiseksi arvaukseksi vakiofunktion $f_0(x) = 0$ muodossa. Kuvasta näkee hyvin, että nollan ympäristössä vaakasuora viiva on lähellä oikeaa sinifunktiota, mutta sitten polut erkanevat (sinin tapauksessa yhtyäkseen jälleen).
</p>
<div style="clear: both; text-align: center;">
<img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi_t67LV5fF1ixKmBXRMyw5vJf-1DGznaOsI4PsIzxxhF2TPsMXfe2tvwsqQq3swQRDVsLHP8TTCYwGh29l_TVWO_JQ8PtG2gyW7DSDqNRNMssjHKj2vJ9aqYMQN7ReLJZOpOm9BSPvFec3/s1600/Sini_nolla.png" style="max-width:80%;box-shadow:none;border:0;" alt="Sinifunktio ja vaakasuora viiva nollan lähistöllä." title="No ei se kyllä ole edes lähellä." />
</div>
<p>
Mutta mehän tiedämme, että sinin derivaatta on kosini ja että $\cos 0 = 1$. Koska derivaatta tarkoittaa funktion tangenttia, ei ole kaukaa haettua ajatella, että tangentin piirtämällä saisi paremman arvauksen. Valitaan seuraavaksi arvaukseksi siis $f_1(x) = 0 + 1 \cdot x$. Tämä on nollan ympärillä paljon edellistä parempi, mutta etäämmällä homma huononee.
</p>
<div style="clear: both; text-align: center;">
<img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg7_e4lCHxViGDZD7UynEVTbUkiaNPJ0yo_0sf4VMkiqjhP1QhpFAX3tY3ryCBHiLLZigaKDzG8pr4VVMbrbUZR57uUQwLuhpnq8iP3dWSOga_D3h8WUV5ocWFZAA1XncOrY7FycKIOrK1l/s1600/Sini_deriv.png" style="max-width:80%;box-shadow:none;border:0;" alt="Sinifunktio ja identtinen funktio muutaman yksikön säteellä nollasta." title="Fyysikolle tämä saattaa olla jo tarpeeksi lähellä." />
</div>
<p>
Eihän se derivaatta tietenkään ole vakio. Voimme tehdä samanlaisen arvion derivaatalle itselleen. Kosinin derivaatta on $-\sin$, joka on taas nollaa nollassa, ja tämän derivaatta edelleen on $-\cos$. Kolmanneksi arvaukseksi saadaan siis
\[
f_3(x)
= 0 + x + \frac{0 \cdot x^2}{2!} + \frac{-1 \cdot x^3}{3!}
= x - \frac{x^3}{6}.
\]
</p>
<p>
Nimittäjään yllättäen ilmestyneet kertomat ($3! = 3 \cdot 2 \cdot 1$) tarvittiin siihen, että korkeampien derivaattojen vaikutukset eivät räjähdä ihan käsiin. Ne itse asiassa olivat paikalla jo aiemminkin, mutta $0! = 1! = 1$ määritelmän mukaan. (Kyllä, $0! = 1$, ja siinä on järkeä.) Tulos näyttää tältä:
</p>
<div style="clear: both; text-align: center;">
<img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj_g0umJo4apoUKx2T0XPSQ5pTBETi6dWabqfusUU2MkU6uOSoGm78ae87ChY21OcGQgJm051EFf1GYwcpcKdRGD2_S4m8bsXcakVTVzNp_71-GJbkDFGUqcx1i5yfC8HDYPU_NWjfzbGzB/s1600/Sini_T3.png" style="max-width:80%;box-shadow:none;border:0;" alt="Sinifunktio ja kolmannen asteen kehitelmä." title="Ehkä vielä vähän hienosäätöä piin kohdalla, kiitos." />
</div>
<p>
Koko ajan vain paranee, ainakaan jos ei katsota kovin kauaksi nollasta. Näyttäisi siltä, että derivaattojen lisääminen laajentaa suht tarkkaa aluetta koko ajan laajemmaksi. Kymmenen termin kohdalla tarkkuus alkaa olla jo melkoisen loistava:
</p>
<div style="clear: both; text-align: center;">
<img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEie9BtF9ihei78uWVDwgiL-RvR5lYwrPs0VrV6nqI_gkr-KyngxRNQ8lAJp4Oo5dGgairU86qsmZe00H_6SiuCQgpV-rG8SnPM-gmcQfjP48RKY3cQxNwp7ACGiLF6jO59K1reG2x_ax_tG/s1600/Sini_T9.png" style="max-width:80%;box-shadow:none;border:0;" alt="Sinifunktio ja kymmenennen asteen kehitelmä." title="Jes! Tällä pärjää." />
</div>
<p>
Tällä tavoin voi siis laskea enemmän tai vähemmän hyviä likiarvoja vaikeillekin funktioille. Tämän soveltavaa teekkaria miellyttävän ominaisuuden lisäksi paatunein teoreetikkokin ilahtuu. Sinin kohdalla sattuu nimittäin olemaan niin, että jos <em>summa</em> muutetaan <em>sarjaksi</em> eli kasvatetaan äärettömän pitkäksi, niin saadaan <em>täsmälleen</em> oikea funktio. On siis mahdollista kirjoittaa yhtäsuuruusmerkki kaavaan
\[
\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \ldots.
\]
</p>
<p>
Tämä temppu ei kelpaa kaikille funktioille (eikä vain siksi, että funktio ei välttämättä derivoidu äärettömän montaa kertaa), mutta toimiessaan se on uskomattoman tehokas. Lukiossa siitä tiedosta ei ole pahemmin hyötyä, mutta yliopistotason analyysissa asia on toinen.
</p>
<p>
Yksi esimerkki liittyy differentiaaliyhtälöihin. Differentiaaliyhtälössä ei ratkaista tuntematonta muuttujaa vaan tuntematonta funktiota. Esimerkiksi $f'(x) = 2f(x)$ on differentiaaliyhtälö, jonka yksi ratkaisu on $f(x) = e^{2x}$. (Tämä ei ole ainoa ratkaisu. Mikä on yleinen ratkaisu, ja onko siinä kaikki?)
</p>
<p>
Sattuu olemaan niin, että Taylorin sarjat ovat sangen kivasti käyttäytyviä. Niitä nimittäin on helppo derivoida; kai nyt, kun ne ovat vain pikkaisen pitkiä polynomeja. Siksipä onkin mahdollista <em>arvata</em>, että ratkaisufunktiolla on sarjaesitys, sijoittaa se yhtälöön, ratkaista ja <em>tunnistaa</em> tuttu funktio. Sinin (ja kosinin) lisäksi muun muassa eksponenttifunktiolla on aika helposti tunnistettava alter ego.
</p>
<h3>Sinistä asiaa</h3>
<p>
On yksi temppu muuttaa sini polynomiksi, mutta aivan toinen ja ehkä vielä siistimpi kikka on muuttaa polynomi siniksi. Tässä tapauksessa useammaksi siniksi. Ajatuksesta voi syyttää <b>Joseph Fourieria</b> (1768–1830 Ranska).
</p>
<p>
Tässä tempussa vaaditaan jaksollinen funktio eli sellainen, joka toistuu täsmälleen samana tasaisin väliajoin. Jakson pituudella ei ole väliä, mutta $2\pi$ tekee kaavoista helppoja. Minusta aika kiva esimerkkifunktio on tällainen matemaatikon näkemys sykekäyrästä:
</p>
\[
\begin{cases}
(x+\pi)^5, & -\pi \leq x < 0,\\
(x-\pi)^5, & 0 \leq x < \pi.
\end{cases}
\]
<div style="clear: both; text-align: center;">
<img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgXWoKKxTy9xQV_8lvfzJPMn08cSCXejR_ayOxrlLdnrbfHhBCRpP0EKzhHqBqkoATnLrwKnW8lFKAXTJoVWCwxqQH3dWwLhPfzzJzeL86er9m4tbE6oOIQP4PGSs0gvQnd-S1bT_CP4fsf/s1600/Pulssi.png" style="max-width:80%;box-shadow:none;border:0;" alt="Kasvaa suureksi (muttei rajatta) lähestyessä nollaa vasemmalta, muuttuu negatiiviseksi nollassa ja tasaantuu taas." title="Biologisesti eksakti kuva tilanteesta, jossa syke on 9,5 lyöntiä minuutissa." />
</div>
<p>
Lukijalle jätetään harjoitustehtäväksi keksiä, miltä tämä näyttää äärettömäksi toistettuna.
</p>
<p>
Taylorin trikissä laskettiin derivaattoja, Fourier’n tempussa taas pannaan kaksi funktiota pussauskoppiin ja integroidaan. Tässä tapauksessa toinen funktio on kosini tai sini.
</p>
<p>
Ensimmäisessä vaiheessa lasketaan integraali
\[
\frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^\pi f(x) \cos(0x) ~dx.
\]
Tätä kutsutaan myös keskiarvon ottamiseksi, koska $\cos(0x) = 1$. Integraali tarkoittaa funktion ja x-akselin välisen pinta-alan (joka tosin voi olla myös negatiivinen) laskemista, ja kun tämä jaetaan integrointivälin pituudella, jäljelle jää funktion keskimääräinen “korkeus” x-akselista.
</p>
<p>
Seuraavaksi tehdään jotain vähän kiinnostavampaa, nimittäin laitetaan $\cos(0x)$:n tilalle $\cos(1x)$. Tällöin saadaan “painotettu” keskiarvo (tämä analogia ei kyllä enää pidä vettä). Sitten tehdään sama $\cos (2x)$:n kanssa ja niin edelleen. Näin saadaan selville, kuinka paljon funktiossa on $2\pi / n$:n välein toistuvaa kuviota. Sama operaatio toistetaan sinin kanssa.
</p>
<p>
Tällä tavalla saadaan kaksi settiä kertoimia, kutsutaan niitä vaikka nimillä $a_n$ ja $b_n$. Ja nyt — tsädäm! — alkuperäinen funktiomme on likimain
</p>
\[
f(x) \approx a_0 + b_0 + a_1 \cos x + b_1 \sin x + a_2 \cos 2x + b_2 \sin 2x + \ldots.
\]
<p>
Sykekäyrälle kolmen termiparin approksimaatio näyttää tältä:
</p>
<div style="clear: both; text-align: center;">
<img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjleJ6SDigd5XfnsjCoeyV9lEw7BPQtgXeP2EdPZt57yWHXD8qYmxA9VUazPuSwacAqOOvOLRigzAipbQUX42no-Kk2qATWijyVUlncT3IuI1nn7GDN3rLq-FbLPEWRjVChIZDU6cw-XGhm/s1600/Pulssi_f3.png" style="max-width:80%;box-shadow:none;border:0;" alt="Lähinnä kaksi isompaa aaltoa, joista positiivinen on hieman nollasta vasemmalle ja negatiivinen oikealle." title="Biologisesti eksakti kuva tilanteesta, josta pitää olla huolissaan." />
</div>
<p>
Kolmenkymmenen termin kohdalla aallot alkavat tasaantua ja aletaan olla jo melkoisen lähellä alkuperäistä funktiota. Ainoana ongelmana epäjatkuvuuskohdassa approksimaatio pyyhkäisee överiksi. Tätä kutsutaan Gibbsin ilmiöksi.
</p>
<div style="clear: both; text-align: center;">
<img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjr4G2zXiPBVaoLNyLQPQH2duTHKaso4JL3V30sSX_7nP_lE8F8svIGl6w7fo6XniGVrhdDzPfWBQ2nqvOQMZiII1pcGSayHy4ng6pLqWR4B9fyg9wLhlssF54q-J4r8-PjGMZ28IWL7VPO/s1600/Pulssi_f30.png" style="max-width:80%;box-shadow:none;border:0;" alt="Pieniä aaltoja, jotka noudattelevat sykekäyrän muotoa, mutta muoto karkaa ulos kuvasta." title="Biologisesti eksakti kuva tilanteesta, jossa potilaalla on korkeahko verenpaine." />
</div>
<p>
Kuten Taylorin summan tapauksessa, myös Fourier-summa voidaan pidentää äärettömäksi ja saada tarkka esitys. Plussana funktion ei tarvitse tätä varten olla derivoituva, miinuksena sen kuitenkin pitää olla jaksollinen (tai sellaiseksi muunnettava) ja jatkuva toisin kuin esimerkkimme.
</p>
<p>
Tässä kohtaa ei olisi täysin kohtuutonta kysyä, mitä hyötyä tästä on. Taylorin sarjan avulla pystyi muuttamaan vaikeita funktioita yksinkertaisiksi, mutta Fourier’n temppuhan menee ihan toiseen suuntaan. No, ensinnäkin Fourier-sarjan voi yleistää suht helposti kompleksilukuihin, sillä trigonometria liittyy vahvasti niihin. Tällöin kerroinpari muuttuu yhdeksi setiksi kompleksisia kertoimia. (Myös Taylor-sarjaa voi yleistää, muttei ollenkaan niin sievästi.)
</p>
<p>
Toisekseen, Fourier kehitti menetelmänsä tutkiessaan <em>osittaisdifferentiaaliyhtälöitä</em>. Ajattele tasoa, jonka päällä kulkee funktio kukkuloina ja laaksoina. Siinä missä yhden muuttujan funktiota derivoidaan vain x-suunnassa, tässä on mahdollisuus tutkia myös y-suuntaisia tangentteja.
</p>
<p>
Osittaisdifferentiaaliyhtälössä esiintyy siis useampia erilaisia derivaattoja yhdelle tuntemattomalle funktiolle. Vaikka kaikkia tavallisiakaan differentiaaliyhtälöitä ei voi ratkaista suoraan, nämä kaverit ovat jo todella hankalia. Harmi kyllä niitä esiintyy kiitettävän paljon osapuilleen kaikissa fysiikan ongelmissa. Yksi esimerkki on lämmön johtuminen väliaineessa. Fourier tutki nimenomaan niin sanottua lämpöyhtälöä:
</p>
<div style="clear: both; text-align: center;">
<img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi1_pGXLKDiY3_yEH7fBe3aFvnd0zEnAajA3psCuHfLl2IV7M5EkypaGaXboKwac3EeKS0jJjVkNzACWEdq2qbnvSepIcDPlAwDLTlWWhmIkO0Z0Ccbk_sRoel8gUi-D9fehl-nt345IAd3/s1600/Louhintalautta.png" style="max-width:95%;box-shadow:none;border:0;" alt="Tasainen kappale (jäälautta), jonka yhdellä sivulla on lämmönlähde (bitcoineja louhivia tietokoneita) ja muut sivut luovuttavat lämpöä (valtamereen)." title="Vuoden ympäristöteko 2020." />
</div>
<p>
Fourier-sarjojen tutkimus on yllättävän iso matematiikan ala. On olemassa muitakin samankaltaisia virityksiä eikä tutkimuksessa tietenkään tarvitse rajoittua tavallisen maailman geometriaan. Helsingin yliopistossakin on useampi professori, joiden erityisalaa tämä on.
</p>
<p>
Siispä fyysikot rakastavat Fourier’ta ja matemaatikot rakastavat Fourier’ta. Kaiken lisäksi myös teekkarit ovat ihan pihkassa.
</p>
<h3>Teekkarin ylin ystävä</h3>
<p>
Jos otat ensimmäisen vastaantulevan teekkarin ja kysyt, onko hän käyttänyt viimeksi deodoranttia vai Matlab-ohjelman <code>fft</code>-komentoa, veikkaan vastauksen olevan sataprosenttisesti jälkimmäinen ainakin signaalinkäsittelyn laitoksella. (Huom. Tietoni teekkareista ovat osittain puutteellisia.)
</p>
<p>
Jossain ehkä kolmannen vuoden yliopistomatematiikan opintojen kohdalla alkaa käydä ilmi, että loputtomat summat ja integraalit ovat itse asiassa jokseenkin sama asia. Siksi on tietenkin luonnollista kokeilla, miten Fourier-summalle käy, kun $n$ korvataan muuttujalla ja $\sum$ merkillä $\int$.
</p>
<p>
Otetaan funktio $f(x)$. Se voi olla esimerkiksi lyhyt äänisignaali, tässä tapauksessa <a href="https://c418.bandcamp.com/track/beton">erään kappaleen</a> alku. Tällöin muuttuja $x$ tarkoittaa aikaa ja funktion arvo kullakin hetkellä on vallitseva äänenpaine. Ensimmäisen sekunnin aikana kuuluu kolme säveltä, kaikki hieman eri voimakkuuksilla. Lisäksi keskimmäinen sykerö näyttää selvästi tiiviimmältä kuin ensimmäinen, mutta sen tarkemmin on vaikea arvioida sävelten korkeuksia.
</p>
<div style="clear: both; text-align: center;">
<img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhuEx9wnnRgygOv7xKiAGY_GRMFCfgXzR8p9wdPL4AnHDExqLjIJvI3Ddp5TcBKdxNTD5VuvCDuGvWKWJN0OkM31doI3cwKlP9tAEd3bZgFeETApKL4mI0BbXjQjBTwExBfJniOP2IUbE_X/s1600/C418_aika.png" style="max-width:80%;box-shadow:none;border:0;" alt="Kolme isompaa pulssia." title="Voisi olla DUN-DUN-DUNN!" />
</div>
<p>
Laskemalla hitusen häijy integraali, jota kutsutaan Fourier-muunnokseksi, saadaan funktio $\hat f(t)$. Siinä muuttuja onkin taajuus $t$ ja funktion arvo kertoo, kuinka paljon tätä taajuutta signaalista löytyy! Arvo on kompleksiluku, mutta kompleksiluvut ovat vektoreita ja vektoreilla on pituus, joka kelpaa kuvaajalla esitettäväksi:
</p>
<div style="clear: both; text-align: center;">
<img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhiNa36r6gHKW4O4kYXjHUN9UOyA2tok8qs8L1jss6tv01g4QOSirXzFMnhOC-xy10xA7Zso7V0DE2R7CyoflPC3ehO-CJx5jjmtOuGuuT4WpZVIHnsxSrJx0om46l-kTV9xB93X2d8zLrk/s1600/C418_taajuus.png" style="max-width:80%;box-shadow:none;border:0;" alt="Kolme piikkiä 180, 350 ja 460 hertzin kohdalla ja hieman muuta kohinaa." title="Yläsävelten puute viittaa siihen, että tätä instrumenttia ei löydy sinfoniaorkesterin normikokoonpanosta." />
</div>
<p>
Kiinnitä huomiota piikkeihin kuvaajalla. Niitä on kolme kappaletta ja niistä kukin vastaa yhtä säveltä edellisessä kuvassa. Tässä kuvassa ei toisaalta näy ajallista informaatiota, joten jää pääteltäväksi, mikä piikki vastaa mitä biittiä. Nämä kaksi kuvaa esittävät siis saman asian kahdesta hyvin erilaisesta näkökulmasta.
</p>
<p>
Edellä mainittu <code>fft</code>-komento tulee sanoista <em>Fast Fourier Transform</em>, nopea Fourier-muunnos. Se on laskentamenetelmä, jolla mikä tahansa signaali saadaan purettua taajuuksikseen. Taajuuksista taas on erittäin paljon hyötyä missä tahansa insinööritoiminnassa, ja siksi Fourier-muunnokset ovat ymmärtääkseni olennainen osa teekkarin perusopintoja.
</p>
<p>
Toinen esimerkki: Valokuvassa taajuuksia on sekä x- että y-suunnissa. Kunkin taajuuden suuruus näkyy oikeanpuoleisessa kuvassa siten, että matalat taajuudet ovat keskellä ja korkeat reunoilla. Matalat taajuudet tuottavat laajoja tasaisia pintoja ja korkeat taas yksityiskohtia ja reunoja. Siksipä kuvaa voi muokata kertomalla taajuuksia jollakin funktiolla. Keskimmäisessä kuvassa on peitetty korkeat taajuudet, alimmaisessa taas vaimennettu matalat ja tehostettu korkeita.
</p>
<div style="clear: both; text-align: center;">
<img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgHMEwx5zwFSX681LvBRPn0GocfKSF8wcGVUnMQXYYaiPPl2S3Hx_yDcyxkbOa4UqlvHYsusOY8TlTv-vC0HDoPjwai3y8ezRvqve1VMcS8Fx9IN__x4tvVKt8C3MXWvUypbEI467Ja3ZIV/s1600/Siilin_fft.jpg" style="max-width:80%;box-shadow:none;border:0;" alt="Kuva pehmosiilistä, jonka edessä on kirja. Toinen kuva on sumea, ja kolmas kuva sisältää ainoastaan pintojen reunat." title="En ole ihan varma, mitä siili tästä ajattelee." />
</div>
<p>
Puhelimesi hyödyntää Fourier-muunnosta aina, kun otat valokuvan tai kuuntelet musiikkia. Jotta tiedostot olisivat riittävän pieniä netin yli siirrettäväksi, niitä pitää pakata. Idea on jakaa ääni tai kuva pieniin palasiin ja nämä palaset edelleen kasaksi kertoimia erään Fourier-summan sukulaisen avulla. Osa näistä kertoimista voidaan tiputtaa tai tallentaa pienemmällä tarkkuudella ilman, että ihminen juuri huomaa eroa. Tärkeintä on, että pääpiirteet pysyvät osapuilleen samoina.
</p>
<p>
Esimerkiksi tuo edellinen kuvaruudukko oli JPEG-pakattu. Tosiasiassa oikean reunan Fourier-muunnokset näyttävät hieman erilaisilta ilman pakkausta… vai mitä sanot keskimmäisen suurennetusta ja kirkastetusta versiosta? Alkuperäinen on vasemmalla, oikeanpuoleisessa näkyy eroja muun muassa vaalean ja mustan rajalla. (Ja ei, tätä kuvaparia ei ole JPEG-pakattu!)
</p>
<div style="clear: both; text-align: center;">
<img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg7uU8ItM3yD5hcD-iBXZsOn8EFMJFloi4MHZiq9tepgJTMaEi1mCkbxWpDNTk_CGGYdRooQXmQQcCdCoKYRunrDOtZYAoVlSNIZGevSdvPVO9OsnywhS_g6D-PRrYlZkG9sN1cUIno4TOE/s1600/Fft_jpeg.png" style="max-width:80%;box-shadow:none;border:0;" alt="Pakatussa kuvassa muista erilliset kohinapikselit ovat korvautuneet laajemmilla sumeilla alueilla." title="Lisäksi tämä teksti on pakattu, joten osa sanoista on korvautunut läheisillä vastineilla." />
</div>
<p>
Näin siis Fourier-muunnos sekä mahdollistaa nykyaikaisen tekniikan että tarjoaa tekemistä teoreetikoille; ei huonommin jutulta, joka sai alkunsa approksimoinnista. Siksi käsienheiluttelusta saa puolestani olla hyvinkin ylpeä!
</p>
Petri Laarnehttp://www.blogger.com/profile/02918099887181866034noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-6928022722273734349.post-41324373074274291592019-04-04T11:03:00.000+03:002019-04-04T11:03:21.119+03:00Lue Tyyppiarvoa!<p>
Minulla on Nollakohtaan varmaan viisi tekstiä, joita en ole saanut aikaiseksi kirjoittaa loppuun (tai joissakin tapauksissa edes alkuun), eikä tämä päivä ei tuota poikkeusta sen suhteen. Sen sijaan olen viime viikkoina ehtinyt kirjoittaa Tyyppiarvoon, Suomen tilastollisesti merkitsevimpään julkaisuun. Tätä verkkolehteä/blogia ylläpitävät Helsingin yliopiston tilastotieteen opiskelijat, joiden joukkoon minäkin sivuaineen puolesta kuulun. (Itse asiassa suosin heidän opiskelijahuoneellaan norkoilua, vaikka matemaatikoksi itseni laskenkin.)
</p>
<p>
Noin kuukausi sitten pohdin <a href="http://tyyppiarvo.com/2019/03/uhkapelurin-tuho-eli-milloin-on-parasta-lopettaa/">uhkapelurin tuhoa ja höpsismiä</a>. Isompi juttu on kuitenkin eiliseltä: massiivinen tietopaketti siitä, <a href="http://tyyppiarvo.com/2019/04/nelja-tapaa-jarjestaa-vaalit-vaarin/">miten Suomessa (ja kaikkialla muuallakin) äänestetään väärin</a>. Sieltä löydät luultavasti enemmän kuin olet koskaan halunnutkaan tietää vaalitavoista!
</p>Petri Laarnehttp://www.blogger.com/profile/02918099887181866034noreply@blogger.com1tag:blogger.com,1999:blog-6928022722273734349.post-70750471016299023212018-12-17T08:30:00.000+02:002019-01-07T09:11:00.395+02:00Jouluristikot 2018<div style="clear: both; text-align: center;">
<img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhuzJjIC0zi-FgjQ0yddXzOTR8caSm5B8hDsOXq3dvdld3x-iO_TuS7qV6uNxWrGAg1T7O0WGy1OyfuZG6chQGHn2-5LduWWT0Nxe89n0V6Ki1ToGuPIvFkoXdQwsPAf2WbWjjtWW8Fq4-Z/s1600/Lumiristikko.png" style="max-width:70%;box-shadow:none;border:0;" alt="Osa ristikkoa lumeen peittyneenä." title="Lunta! Minun ristikollani!" />
</div>
<p><i>(In English below.)</i></p>
<p>
Jottei talven pimeys pääsisi lannistamaan, tähän vuoden vaiheeseen on pistetty sopivasti perinteinen valon ja ilon juhla. Kyllä vain, Nollakohdan lukuristikko on taas täällä!
</p>
<p>
Minkälainen tämän vuosikertan pulma on? Samanlainen kuin ennenkin, mutta isompi kuin koskaan, sanoisin. Vihjeitä on tavallista enemmän, koska ratkaisut linkittyvät toisiinsa ennennäkemättömällä tavalla. (Kokonaisuus on silti hieman <a href="http://chalkdustmagazine.com/category/regulars/crossnumber/">Chalkdust-lehden ristikkoa</a> pienempi.) Jälleen kerran tehtävä on ratkottavissa ilman apuvälineitä, vaikkakin laskimella (ja kenties Wolfram|Alphalla) voi helpottaa elämäänsä huomattavasti — mikäli niin siis haluaa! Vaikeus tulee enemmän limittäisyydestä kuin vihjeistä.
</p>
<p>
Mutta kukapa minä olen selittämään: katso itse! Klikkaa vain
</p>
<div style="text-align:center;font-size:xx-large"><a href="https://drive.google.com/open?id=13-A0tvkQ1xSLpIUoEpMHyX-alXqut5Ax">TÄTÄ ISOA LINKKIÄ</a></div>
<p>
ja nauti pulmasta! Mahtavaa talvenjatkoa, riemukasta lomaa, tsemppiä tentteihin ja kaikkia muita mitä kullekin relevantteja juhlanaiheita! Sitten kun siltä tuntuu, voit kurkata <a href="https://drive.google.com/open?id=1FAH3y_Ztk6SeIQ6f6wJEFugJDur854eC">(mahdollisesti oikean) ratkaisun tästä linkistä</a>.
</p>
<a name='more'></a>
<hr style="width:80%;margin-top:4em;margin-bottom:2em;" />
<a id="english"></a>
<div style="clear: both; text-align: center;">
<img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhuzJjIC0zi-FgjQ0yddXzOTR8caSm5B8hDsOXq3dvdld3x-iO_TuS7qV6uNxWrGAg1T7O0WGy1OyfuZG6chQGHn2-5LduWWT0Nxe89n0V6Ki1ToGuPIvFkoXdQwsPAf2WbWjjtWW8Fq4-Z/s1600/Lumiristikko.png" style="max-width:70%;box-shadow:none;border:0;" alt="A part of the crossnumber covered in snow." title="Best wishes from Crapland!" />
</div>
<h3>Christmas Crossnumbers 2018</h3>
<p>
It is once again the time of deepest darkness in the northern hemisphere. Luckily, the ancients have devised a perfect getaway, a traditional celebration of light and joy. Yes indeed, the Nollakohta crossnumber is here again!
</p>
<p>
What is this year's offering like? Nothing unusual but bigger than ever, I'd say. There are more clues than before as the answers are quite entwined. (This is still smaller than <a href="http://chalkdustmagazine.com/category/regulars/crossnumber/">the Chalkdust puzzle</a>, though.) Once again, the puzzle is solvable without any calculating devices, although having a calculator (or maybe Wolfram|Alpha) at hand will make your life easier — if you so choose! The difficulty is in the whole, not in single clues.
</p>
<p>
But who am I to explain: have a look by yourself! Just click
</p>
<div style="text-align:center;font-size:xx-large"><a href="https://drive.google.com/open?id=1pgoVDGWzsYVkxb7H2n9IjGX_Lpj4N6wq">THIS HUGE LINK</a></div>
<p>
and enjoy the puzzle! Also have a nice winter, an enjoyable holiday, a happy new year and whatever else happens to be applicable! When you feel done with the puzzle, you can check out the <a href="https://drive.google.com/open?id=1FAH3y_Ztk6SeIQ6f6wJEFugJDur854eC">(possibly correct) solution via this link</a>.
</p>Petri Laarnehttp://www.blogger.com/profile/02918099887181866034noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-6928022722273734349.post-19122189902584390032018-12-13T08:30:00.000+02:002018-12-13T08:30:06.903+02:00Statuspäivitys<div style="clear: both; text-align: center;">
<img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjyQWnJmvKlOG1WR0M7jUG0dyaQrZyyBpg8FSms9XV4Y_BbnpB5UTIMzhGoK-Us3lXBPJrpTZF5O34xISbXIw5Vwi2CygvSYKHONen5mgeD1OTCx4uuRynJFMujbeO7QJHZuXR1fxHRpIgp/s1600/Fraktaalikuusi.jpg" style="max-width:90%;box-shadow:none;border:0;" alt="" title="Ei muuten varise." />
<p><i>(Yleistajuisen matikan kurssilaisten tekemä fraktaalikuusi.)</i></p>
</div>
<p>
Tuota... näkikö kukaan, minne syksy meni?
</p>
<p>
Oli jokseenkin tarkoituksellista, etten blogannut kesällä. Sen sijaan ei ollut varsinaisesti tarkoitus, etten kirjoita juuri mitään syksylläkään! Kurssit ja halu viettää vapaa-aikaa muunkin kuin matikan parissa vain voittivat kirjoittamisen, ja netin sijaan blogi-ideat päätyivät osaksi suurta listaa.
</p>
<p>
Mutta mitä nämä kurssit ovat oikein olleet? Opinto-ohjauksen ja yleisen mielenkiinnon nimissä valotan tässä hieman, mitä toisen vuoden maatikko pääsee puuhaamaan Kumpulanmäellä.
</p>
<a name='more'></a>
<p>
Toisena vuonna perusopinnot ovat takana ja lukiomatikka todettu riittävän hyvin määritellyksi. Siispä vuorossa on aineopintoja, joissa luodaan uutta osaamista. Mitään suurta muutosta opetuksen tyylissä ei tapahdu, mutta toki vaikeus ja teoreettisuus kasvavat tietyillä kursseilla. Sivussa käydään myös sivuaineiden perus- tai aineopintoja.
</p>
<p>
Itselläni on ollut neljä matematiikan kurssia (joista osa on jaettu kahteen palaan).
</p>
<h3>Analyysin sarja päätökseen</h3>
<p>
Viimeisenä jäänteenä ykkösvuodelta on viimeinen analyysin alkeiskurssi. HY:n nykyisessä opetussuunnitelmassa neljän kurssin setti on aseteltu alkamaan vasta ykkösvuoden toisessa neljänneksessä, missä on puolensa ja puolensa. Tämä viimeinen osa käsitteli sarjoja eli äärettömän pitkiä lukujonoja.
</p>
<p>
Sarjat ovat lukion syventävältä kurssilta pintapuolisesti tuttuja, mutta täällä toki niihin mennään valtavasti syvemmälle. Juuri milloin loputtoman jonon luvut voi laskea yhteen ja milloin ei? Miten funktioita pystyy arvioimaan tai jopa esittämään eksaktisti tällaisilla jonoilla, ja miksi sarjateoria on niin valtavan tehokas työkalu?
</p>
<p>
Ehdottomasti hauskin yhden reaalimuuttujan analyysin kurssi.
</p>
<h3>Todennäköisyyksistä enemmän tosissaan</h3>
<p>
Vaikka muuten tilastotieteen opintoni taitavatkin jäädä perusteiden tasolle, todennäköisyyslaskenta jotenkin tuntui hauskalta. Siinä nimittäin on enemmän teoreettista särmää, <a href="https://www.nollakohta.fi/2018/05/mita-on-todennakoisyys.html">kuten olen keväällä kirjoittanutkin</a>. Siksipä olenkin viettänyt syksyä kurssikokonaisuuden <i>Todennäköisyyslaskenta II</i> parissa.
</p>
<p>
Kurssilla käydään läpi niitä todennäköisyyden puolia, joita tilastotieteen harjoittaja tarvitsee työssään ainakin teoreettisena pohjana. Tavanomaisten odotusarvojen, <a href="https://www.nollakohta.fi/search/label/Odotusarvo">joista olen blogannut kyllästymiseen asti</a>, sijaan tutkitaankin
</p>
<ul>
<li>ehdollisia odotusarvoja: miten luultavasti lottorivini voi enää voittaa, kun kaksi numeroa on arvottu?<!--Tuskinpa vaan.-->
<li>satunnaisvektoreita: jokainen numero Jokerissa on omansa, mutta niitä voi tutkia yhdessä tai osissa.
<li>muunnoksia: niin niin, mutta entäpä lottorivin numeroiden summa?
</ul>
<p>
<i>Todennäköisyyslaskenta I</i> ei ollut teoreettinen kurssi eikä ole tämäkään. Se kunnia kuuluu vasta maisteritason <i>Todennäköisyysteorialle</i>. Ja se onkin sitten sellainen kurssi, että sinne menneistä vain harva palaa... tarkoitan, pääsee läpi.
</p>
<h3>Vekkuleita kursseja</h3>
<p>
Meillä on kurssit nimeltä <i>Vekkuli I</i> ja <i>Vekkuli II</i>. Okei, teknisesti ottaen nimi on <i>Vektorianalyysi</i>, mutta vekkuliksi sitä kutsutaan. Ja kuten eräs vanhempi opiskelija alkusyksystä totesi, Vekkuli se on vekkulia.
</p>
<p>
Varsinainen nimi avaa aika hyvin kurssien sisällön: pistetään vektorit ja analyysi samaan pakettiin. Tuloksena on paljon hupia: moninkertaisia integraaleja, derivaattoja yleistettynä tangenttitasoiksi, pintoja ja paljon muuta. Ulottuvuuksia voi olla niin monta kuin huvittaa, mutta toki kolmessa ulottuvuudessa on erityisen kivaa leikkiä.
</p>
<div style="clear: both; text-align: center;">
<img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj8hshKMR0TH4DX7MG66apbAXBOlMVIwDC6CAi18py9ajhldI2dGylEv71q_elq37CqnRchqEKkzv7St-bQFwroInLagemWNtHTgohZ-4AT4k3GPcB80N4eounmyGwM0n48N63GtpKp5DaA/s1600/Vekkuli.png" style="max-width:70%;box-shadow:none;border:0;" alt="Esimerkki pinnasta ja polusta kolmiulotteisessa avaruudessa." title="Kuvasta on helppo päätellä, mitkä ovat polun ääriarvot, mutta saman voi myös laskea aika helposti!" />
</div>
<p>
Tällaisessa aiemmin opittua yleistävässä kurssissa hauskinta on, että vanhat tulokset saadaan nyt edellistä selkeämpinä erikoistapauksina. Esimerkiksi derivaatat ovatkin matriiseja: lukiossa ne vain ovat $1 \times 1$-kokoisia ja siksi näyttävät ihan reaaliluvuilta!
</p>
<h3>Yllättävän loogista logiikkaa</h3>
<p>
Syksyn isoin yllättäjä oli <i>Johdatus logiikkaan II</i>. Tentin keväällä kurssin ykkösosan, joka on paljolti lukion valinnaisen kurssin kertausta. Tämän osan vaikeudesta sen sijaan olin kuullut huhuja... ja voin vahvistaa, että ne ovat tosia. Kurssilla rakennetaan oikeasti matemaattisesti kelvollinen päättelyjärjestelmä, jossa yksinkertaisenkin väitteen todistus saattaa näyttää tältä:
</p>
<div style="clear: both; text-align: center;">
<img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjkY5MwvRhqx4jOh0zq8LxNCkGXjlQxG4RyiohO32tWVIDSVgnJDVqmorfMfPoR8w_s6JK7I8B08VMVBQNuDRnDuL4Ps3mt8IfKGELYI_jY6pJfvtTF1eSAzajBbooApsik_Lzv6zRyorRN/s1600/Luonnollinen.png" style="max-width:40%;box-shadow:none;border:0;" alt="Esimerkki luonnollisesta päättelystä." title="Uskoisitko, että tätä kutsutaan *luonnolliseksi* päättelyksi?" />
</div>
<p>
En todellakaan tunnusta itseäni loogikoksi; ala on hiukan liian pikkutarkka makuuni. Ajattelen kuitenkin, että tietyntasoinen logiikka kuuluu matemaattiseen yleissivistykseen. Tällä kertaa sivistyksen tavoittelu todella kannatti: tästä on tullut yksi suosikkikursseistani koskaan. Kyllä, yksinkertaisetkin asiat vedetään aivan överiksi. Samalla kuitenkin opitaan aivan muista aloista poikkeavaa ajattelutapaa sekä kiinnitetään huomiota siihen, mikä oikeasti on hyvin määriteltyä tai ei.
</p>
<p>
Helsingin yliopistossa matemaattinen logiikka on yksi maisterisuuntaus, joten jatkokursseja on tarjolla kiitettävästi. Saatan ottaa vielä yhden. Yleissivistyksen vuoksi vain.
</p>
<h3>Muuta kivaa</h3>
<p>
Toki syksyyn on mahtunut muun muassa kieliopintoja ja matemaattisen kirjoittamisen kurssi. Tekemistä on oikeasti ollut paljon, ja tässä kohtaa pitkä joululoma alkaa tuntua erittäin houkuttelevalta asialta. Vaikka työmäärä on toki osin itseaiheutettua (tulen valmistumaan kandiksi etuajassa), sanoisin huolen opiskelijoiden jaksamisesta olevan oikeasti validi. Vaikka työtunteja ei edes tulisi täyden työviikon verran, raja työn ja vapaan välillä on häilyvä.
</p>
<p>
Nyt kuitenkin jäljellä on enää tenttiviikko ja sitten messevät kolme viikkoa vapaata! Siitä en tiedä, innostunko vaikka kirjoittamaan. Mutta yhden tekstin voin luvata jo maanantaille — pidempään Nollakohtaa seuranneet tietävätkin jo mitä odottaa :)
</p>
<p style="margin-top:4em;">
<b>PS.</b> Kiitos kaikille, jotka ovat syksyn aikana löytäneet mokia vanhoista teksteistä!
</p>Petri Laarnehttp://www.blogger.com/profile/02918099887181866034noreply@blogger.com2tag:blogger.com,1999:blog-6928022722273734349.post-86495139846731197012018-09-24T08:00:00.000+03:002018-09-24T08:00:02.825+03:00Liitutauluja, liitutauluja kaikkialla<div style="clear: both; text-align: center;">
<img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg2H_WwYjyaf-AS6hggz0qx5XlcDA1nPJJTKrNimI4AfKpZ623xlHJxXm40kYTa2hVZYWLOt-aBbPwftDPIWj28gvIQyCnz-E1BruggTaCNTi6d9yHdyzQ3iCNt8wNj1GChALEeLdDOIxl3/s1600/Auditorio.jpg" style="max-width:90%;box-shadow:none;border:0;" alt="Auditorio, jossa neljä liitutaulua." title="Feat. piirtoheitin!" />
</div>
<p>
Hae netistä kuvia matematiikasta ja matemaatikoista, ja saat kuvia liitutauluista. Liitutaulut ovat erottamaton osa matematiikan identiteettiä. Mikä parasta, tämä stereotypia on vieläpä varsin tosi!
</p>
<p>
Meidänkin matematiikan laitoksemme on aivan täynnä liitutauluja. Jokaisessa varteenotettavassa luentosalissa on neljä; jokaisessa harjoitusluokassa on kolme seinällistä tauluja. Yksi käytävä on vuorattu tauluilla opiskelijoita varten. Jos luento joudutaan pitämään fysiikan tai kemian laitoksen puolella, luennoitsija on aivan pulassa: eihän kaksi liitutaulua riitä, tai vielä pahempaa, salissa on valkotaulu!
</p>
<p>
Liitutaulun käyttämiseen on jopa jonkinlainen universaali standardi, jonka moni luennoitsija jakaa. Siinä esiintyjä laatikoi kunkin tuloksen ja todistuksen omaksi osakseen taulua, kunnes koko tila on laatikoiden peitossa ja alkaa strateginen pyyhkiminen. Sanon tätä universaaliksi, koska keväällä luin <a href="https://dspace.lboro.ac.uk/dspace-jspui/bitstream/2134/14295/3/greiffenhagen-materiality_20120511.pdf">kiinnostavan sosiologian artikkelin</a>, joka kuvaa tismalleen saman menetelmän!
</p>
<div style="clear: both; text-align: center;">
<img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjpVsWTb5OMEb2IulfGrg80YQEN9GX6I2LR09raDAMYwGzujS5XaMEeYSImW8xjc60YOS2-f-Z666HdP6lAh7-SFuHtyj7x8aCgzMRhntUG07eSQ1R2MrrnB4AVkfBvKqZ0EG6RnJcE88Jl/s1600/Taulumaatio.gif" style="max-width:75%;box-shadow:none;border:0;" alt="Animaatio siitä, miten homma toimii." title="Vapise, Pixar." />
</div>
<p>
Kuten artikkelikin esittää, uskon matematiikan ajattelemisen olevan jossain määrin kytkeytynyttä sen kirjoittamiseen. Liidun avulla abstraktista tulee konkreettista, ja paljon kouriintuntuvammalla ja ajattomammalla tavalla kuin tussilla. Siksi niin moni matemaatikko suosii valkoista mustalla.
</p>
<p>
Mutta joskus rakkaus liitutauluihin menee ehkä yli.
</p>
<a name='more'></a>
<p>
Tässä on kuva eräästä vessasta laitoksellamme.
</p>
<div style="clear: both; text-align: center;">
<img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi9YbRoS7RzF6xiGMbD1XgU4wY1Gh75msa0TsBOKKrlSdeT308HXlKsyI3EHkq8G0ePMwWIfA_mwuZikiks0OvuCQFLvgX-qto0m_z_RvYosMEkQi9KkEk3PbKnqDmzy8SCo10rzNmAY1wM/s1600/Vessataulu.jpg" style="max-width:50%;box-shadow:none;border:0;" alt="Liitutaulu vessan seinällä." title="Ei edes Pascalin kolmiota." />
</div>
<p>
Tähän mennessä en ole nähnyt taululla matematiikkaa, mutta onhan se hyvä, että on mahdollisuus tehdä muistiinpanoja inspiraation iskiessä? Ja jos ajatteluun tarvitsee lähdemateriaalia, sitä löytyy pari kerrosta alempaa:
</p>
<div style="clear: both; text-align: center;">
<img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhk5MODXLoMNDPSSrC6VJmiMHUUFS6Ha8iHGyQpBIWICdfdmblEnYfoI1tf3GGcDdvJkqjga64uvzbCcfgFyADP77jRCxieDe8gqEc3VeU22bDTcr1kWVwkOLoYf06-A-eQzSihxu1nt-_e/s1600/Vessakirja.jpg" style="max-width:50%;box-shadow:none;border:0;" alt="Pino kirjoja lattialla lavuaarin vieressä." title="Fysiikkaa lähinnä, varmaankin inspiraatioksi." />
</div>
<p>
Ei, en tiedä miksi kopissa on vino pino kirjoja. Ei, en ole uskaltanut avata niitä. Ei, on siellä ihan vessapaperiakin.
</p>
<p>
Eipä minulla mitään oikeaa asiaa tällä kertaa. Hyvää maanantaita!
</p>Petri Laarnehttp://www.blogger.com/profile/02918099887181866034noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-6928022722273734349.post-83850929285929598872018-09-11T08:00:00.000+03:002018-09-11T08:00:02.554+03:00Matemaatikkona työelämässä: Varian Medical Systems<div style="clear: both; text-align: center;">
<img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi9yCoTY2e69TFwSns24WPXdRcf7yYp1V3nhUTDTy1O_QiU_wYMuiJyLC6WwLM8yfGlvK-g98TRf0O7AeWwVqkZeYALJMKhP0NEiYcKTqzB3r9qbjk4h7qn3PNEOEECULsCeenmP0pnlK3B/s1600/TrueBeam.jpg" style="max-width:90%;box-shadow:none;border:0;" alt="Syöpäklinikan TrueBeam-hoitokone." />
<p><i>(Varianin moderni sädehoitokone Meilahden Syöpäklinikalla.)</i></p>
</div>
<p>
Havaitsin tammikuisten rekrymessujen ohjelmasta firman, josta en ollut aiemmin kuullut. Se teki lääketieteellistä tekniikkaa ja vieläpä minulle tutuilla ohjelmointityökaluilla. Erittäin käymisen arvoinen ständi, ajattelin. Toukokuussa sitten astuinkin firman palkkalistoille kuluneen kesän ajaksi!
</p>
<p>
Koska tämä on blogi matematiikasta ja työelämä kiinnostanee monia, ajattelin esittää muutaman vinjetin siihen, millainen oli ensimmäinen kesätyöni matemaatikkona (ainakin melkein, kuten alla näet). Kaiken kukkuraksi kovinkaan moni ei tiedä, että Suomesta löytyy tällaistakin huippuosaamista — taikka sitä, että Varian rekrytoi ahkerasti.
</p>
<p>
<i>(Huomautus: En ole saanut tästä tekstistä kompensaatiota eikä sitä ole tarkistettu. En voi käsitellä läheskään kaikkea näkemääni, enkä ota kantaa tekniikoiden tai tuotteiden kliiniseen kelpoisuuteen.)</i>
</p>
<a name='more'></a>
<h3>Mikä firma, mikä tuote?</h3>
<p>
Varian Medical Systems on Yhdysvalloissa päämajaansa pitävä noin 6500 työntekijän yritys, joka tuottaa laitteita ja ohjelmistoja sädehoitoon. Firman markkinaosuus on merkittävä ja esimerkiksi Suomen jokaiselta syöpäklinikalta löytyy jokin yrityksen tuote. Suomen tytäryhtiö työllistää parisataa henkeä reilusta paristakymmenestä maasta ja keskittyy ohjelmistopuoleen.
</p>
<p>
Firman koulutustaso on erittäin korkea. Tutkimuspuolella on paljon tohtoreita, varsinkin fysiikan alalta, ja osa on tehnyt aiemmin uraa akateemisena tutkijana. Matemaatikot ovat pieni ryhmä, mutta muutama meitäkin löytyy. Isoimmalla osalla on teknillinen koulutus, ja lisäksi on toki asiantuntijoita esimerkiksi teknisen kirjoittamisen alalta. Monella, varsinkin testaajilla, on myös työkokemusta sairaalasta. Sukupuolijakauma on vielä turhan vahvasti vinoutunut.
</p>
<p>
Varianin päätuotteet liittyvät siis syövän sädehoitoon. Tyypillisin sädehoidon muoto perustuu voimakkaaseen röntgensäteilyyn, joka kohdistetaan kasvaimeen. Säteily on erityisen vahingollista jakautuville soluille, joista kasvain nimensä mukaan koostuu. Röntgensäteily annetaan otsikkokuvan kaltaisella kompaktilla hiukkaskiihdyttimellä. Lisäksi hoitoa voidaan antaa raskaammilla hiukkasilla tai jopa sisäisesti viemällä säteilevää ainetta kasvaimen välittömään läheisyyteen.
</p>
<p>
Syöpäsolujen tuhoamisessa säteilyllä ei ole mitään hankalaa. Ongelman tekee vaikeaksi se, että loppuosa potilaasta yritetään samalla pitää mahdollisimman terveenä. Sitä varten säteilyn suuntaa, muotoa ja määrää pitää suunnitella, ja siihen tarvitaan tietokoneen apua. Annossuunnitteluun käytettävällä ohjelmistolla lääkäri voi etukäteen muotoilla, miten säteily jakautuu potilaan kehossa. Erilaisia hoitotekniikoita on useita ja vuosikymmenten varrella kehitys on ollut erittäin nopeaa.
</p>
<div style="clear: both; text-align: center;">
<img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhmqIzjkCoy56x6OWZIcGI1f4wLsg_31pVP_dERqaFxePL4x1Aft6z9L8zkbSW37LfsV1PWgF3DYqMQ1Ii0l0rWXkDU9TR99KsF916eSVBeP5A2nmtfc-3VQs2NL_OMmYetcNS7efCyuxgr/s1600/Collimator.jpg" style="max-width:80%;box-shadow:none;border:0;" alt="Kuva hoitokoneen päästä." />
<p><i>(Hoitokoneen päässä on joukko liikkuvia metalliliuskoja, joilla säteilykenttää voidaan muotoilla. Sopivien muotojen tai liikeratojen löytäminen on tietokoneen harteilla.)</i></p>
</div>
<h3>Mitä matematiikkaa?</h3>
<p>
Kuten arvata saattaa, tähän liittyvä matematiikka on kaukana yksinkertaisesta. On inversio-ongelmia: jos haluan näin paljon säteilyä tänne, mistä suunnista ja kuinka paljon sitä pitää antaa? On fysiikkaa: kuinka säteily vaimenee tässä kudoksessa ja kuinka tuossa toisessa? Ja kaiken lisäksi laskettavaa on paljon: kolmiulotteisessa CT- eli viipalekuvassa on helposti miljoonia kuva-alkioita. Kaavat pitääkin siis pyöritellä muotoon, jossa ne voi ratkoa näytönohjainten raa'alla voimalla.
</p>
<p>
Ei siis yllätä, että matematiikka on <i>hitusen</i> liian vaikeaa vain vuoden yliopistossa opiskelleelle. Pärjäsin kuitenkin yllättävän hyvin laskenta-algoritmeja lähellä olevassa tiimissä, koska tietenkään kaikki ei ole niin vaikeaa.
</p>
<p>
Kaikessa kolmiulotteisessa törmää väistämättä vektoreihin ja jonkin verran matriiseihin, joten niiden perusteet on ihan kiva hallita. Kolmiulotteisessa maailmassa navigoidessa tarvitsee myöskin perustrigonometriaa, niin tylsänä kuin sitä siviilissä pidänkin. Vastaan tulee väistämättä joitakin numeerisia algoritmeja, mutta niistä pääseekin jyvälle ihan normaalilla oppimiskyvyllä. Näillä minä pärjäsin yhden kesän.
</p>
<p>
Olen siinä käsityksessä, että syvemmässä algoritmityössä on hyötyä enimmäkseen matemaattisesta analyysista: differentiaaliyhtälöistä, Fourier-muunnoksista ja sen sellaisista. Myös stokastiikalla on merkitystä, koska satunnaiset prosessit liittyvät olennaisesti säteilyn fysiikkaan.
</p>
<h3>Mitä softainsinööri tekee?</h3>
<p>
Perusmatematiikka riitti, koska työnkuvani ei ollut matemaatikko vaan <i>Software Engineer Intern</i>, tuttavallisemmin koodiapina. Olen ohjelmoinut valtaosan ikääni ja sitä siis pääsin tekemään tänä kesänä, tietenkin paljon isommassa projektissa kuin koskaan ennen. Työ oli sekoitus algoritmeja, dataputkien vetämistä, käyttöliittymätyötä, siistimistä ja testaamista — aika hauska poikkileikkaus!
</p>
<p>
Työnkuvan sana <i>engineer</i> on minusta aika osuva. Vähänkään isomman mittakaavan ohjelmointi on insinöörityötä. Koodaamaan voi oppia kohtalaisen lyhyessä ajassa, mutta hyvien ja ylläpidettävien järjestelmien tekijäksi ei opi kuin pitkän kokemuksen kautta, ja siinä ei tule valmiiksi koskaan. Kesän aikana opin paljon, mutta vielä enemmän opin, kuinka vähän oikeasti tiedänkään.
</p>
<p>
(Onhan se muuten ironista, kun tällainen yliopiston teoreetikko työskentelee insinöörinä. Pahempi loukkaus kylläkin oli, kun sairaalassa minuun viitattiin <i>fyysikkona</i>!)
</p>
<p>
Insinöörityön ja huolellisuuden merkitys korostuu tällaisessa työpaikassa, jossa tuotteet liittyvät terveyteen. Lääketieteellisiä laitteita sääteleekin tiukka lainsäädäntö, jota valvotaan tarkastuksin. Valmistajan täytyy pystyä osoittamaan, että tuote on toimiva ja turvallinen. Siksi testaaminen ja dokumenttien ylläpitäminen on tärkeä osa työtä.
</p>
<p>
Yllätyin aika paljon siitä, kuinka paljon vastuuta annettiin minullekin. Pääsin työskentelemään oikean tuotteen oikeasti merkittävien ominaisuuksien parissa, mitä en olisi alkuun odottanut kesätyöltä näin vakavassa paikassa. Tietenkään kukaan ei ole yksin vastuussa mistään, kaikki koodi vertaisarvioidaan sekä käytännöt on puettu ohjeiksi, jotka ovat pakollista luettavaa. Nähtäväksi jää, paljonko työstäni on jäljellä valmiissa paketissa...
</p>
<h3>No oliko kivaa?</h3>
<p>
Kun puhutaan korkeasti koulutetuista ihmisistä monimutkaisten tuotteiden parissa, firmalla on jonkinasteinen halu pitää työntekijöistään kiinni. Se tarkoittaa lounasravintolaa, joka pesee Unicafen mennen tullen ja jossa jälkiruoka kuuluu hintaan. Se tarkoittaa rauhallisia työtiloja ja mahdollisimman tehokkaita tietokoneita. Ennen kaikkea se tarkoittaa kuukausittaista keksitarjoilua kahvihuoneessa.
</p>
<p>
Vakavasti ottaen, arvostin ilmapiiriä ja ennen kaikkea ihmisiä. Tiimini oli todella mukava ja samaa voi sanoa naapuritiimeistä. Opin aivan valtavasti niin sädehoidosta, matematiikasta kuin ohjelmistotuotannon käsityöstä pelkästään keskustelemalla kahvihuoneessa. (Jossa toki puhuttiin myös vähemmänkin vakavia...) Siitä iso kiitos kollegoilleni!
</p>
<p>
Yksi kiinnostavimmista hetkistä oli puhtaasti opetusta: Kaikki uudet työntekijät, kesäduunarit mukaan lukien, pääsevät pariksi iltapäiväksi seuraamaan Meilahden sairaalan syöpäklinikan arkea sairaalafyysikon johdatuksella. Tarkoituksena on tutustua siihen, mitä firman tuotteilla oikeasti tehdään. Kuljetimme testikappaleen (muovisen lantionseudun, jonka nimesimme Hugoksi) kuvantamis- ja hoitoketjun läpi, ja samalla seurasimme sivusta potilaiden hoitoa.
</p>
<p style="margin-top:4em;">
Opiskelijalle on tärkeää nähdä, mitä jo opitulla voi oikein tehdä ja mitä kaikkea opittavaa vielä on edessä. Tämä kesätyö oli mielestäni upea esimerkki matematiikan ja fysiikan sovelluksesta, jolla on merkitystä.
</p>Petri Laarnehttp://www.blogger.com/profile/02918099887181866034noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-6928022722273734349.post-63720979521120269142018-08-23T08:00:00.000+03:002018-08-23T08:00:11.930+03:00Erään hakukonehuijauksen anatomia<div style="clear: both; text-align: center;">
<img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjO6D6mjh35lqnl1Nv8Dnq6rvHViY57q1UUEmVgOW6iyFzZgWubbrqJBJnxwWwqWUrt2tXIxhMJBTy9Xf6P8DPMNq8a38QTtS7X8ROKBj-ErNka-Pt-baxyAFr7VqzZvCv7OP-CG-WJR4ll/s1600/Gmaili.png" style="max-width:70%;box-shadow:none;border:0;" alt="" />
</div>
<p>
Yksi päätöksistäni heti bloggaamista aloittaessani oli esiintyä omalla nimelläni ja olla helposti tavoitettavissa. Jos vilkaiset <a href="http://www.nollakohta.fi/p/kuka-olen.html">Kuka olen? -sivuani</a>, löydät liudan erilaisia tapoja saada asiasi tietooni. Tämä on ollut pelkästään hyvä päätös, koska sitä kautta olen päässyt kirjoittamaan muuallekin: viimeksi minulla oli suuri kunnia kirjoittaa <a href="https://www.nollakohta.fi/search/label/Fermi-arvio">Fermi-arvioista</a> aineenopettajien Dimensio-lehdessä.
</p>
<p>
Tällä kertaa en kuitenkaan puhu näistä mahtavista tilaisuuksista. (Joita siis otan mielelläni vastaan!) Sen sijaan puhun siitä yhdestä, josta kieltäydyin. Ja koska tämä on blogi matematiikasta, tähän tarinaan kietoutuu yksi maailman merkittävimmistä algoritmeista. Ja kuten jokaiseen hyvään juttuun, tähänkin liittyy matriiseja.
</p>
<a name='more'></a>
<h3>Vuosi viestien välissä</h3>
<blockquote>
<p>
<b>Lähettäjä:</b> johanna.█████@████████.com<br>
<b>Lähetetty:</b> 17. toukokuuta 2018 19.18<br>
<b>Aihe:</b> Hienot sivut :)
</p>
<p>
Hei,
</p>
<p>
Halusin varmistaa, että saitteko viimeistä viestiäni?
</p>
<p>
Nimeni on siis Johanna ja olisin kiinostunut ostamaan artikkeli -postauksen nettisivultanne. Tarkemmin sanottuna haluaisin julkaista sivustollanne artikkelin/tekstin, joka palvelisi teidän asiakaskuntaa, luoden samalla meidän sivustollemme näkyvyyttä. Edustan muutamaa suomalaista rahapelisivustoa.
</p>
<p>
Olisiko tämä mahdollista teidän sivustollanne? Mikäli teille herää mitään kysymyksiä, vastaan mielelläni.
</p>
<p>
Yt,
</p>
<p>
Johanna ████████
</p>
</blockquote>
<p>
<b>Johanna</b>, mikä hänen oikea nimensä sitten onkaan, ei ollut ensimmäistä kertaa asialla. Edellinen kerta oli lähes tismalleen vuotta aiemmin, ja vaikka muutama lause olikin nyt eri tavalla kirjoitettu, "kiinostunut" oli edelleen yhdellä ännällä.
</p>
<p>
Vuosi takaperin vastasin suoraan, ettei minua <i>kiinosta</i>. Vastaan joka yhteydenottoon, tässä tapauksessa vähintäänkin spämmääjän aikaa tuhlatakseni. Tämä uusi yritys alkoi tuntua jo niin naurettavalta, että lähetin astetta passiivis-aggressiivisemman ja sarkastisemman vastauksen. Kerroin, kuinka <a href="https://www.nollakohta.fi/search/label/Odotusarvo">aiemmissa teksteissäni</a> formaatti on ollut osoittaa pelaajan häviävän ja pohtia, miten säännöt kannustavat tappiolliseen pelaamiseen. Tässä tapauksessa kantavia teemoja voisivat olla vaikkapa <i>kate</i> tai <i>hyväuskoisuus</i>.
</p>
<p>
Se tältä vuodelta, ensi toukokuussa uudestaan, ajattelin. Mutta muutamaa päivää myöhemmin sain uuden viestin:
</p>
<blockquote>
<p>
Hei Petri,
</p>
<p>
Kiitos vastauksestasi!
</p>
<p>
Uskon, että saadaan tuo formaatti ehdottomasti toimimaan ja halutaankin pitää artikkeli mahdollisimman luonnollisena.
</p>
<p>
Kävisikö teille semmoinen asetelma, että kirjoitat artikkelin itse n. 600 sanaa. Tai mikä on luonnollinen määrä sivustollesi. Minä toimitan sinulle meidän kaksi linkkiä ja ankkurit, ja sijoitat ne sitten luonnolisesti tekstiin.
</p>
<p>
Olisiko sinulla myös jotain ideoita miten voitaisiin yhdistää tämä meidän edustamiin rahapeleihin? Mietin esimerkiksi pokerin, blackjackin tai ruletin kertoimia. Tai vaikka millaiset mahdollisuudet on voittaa nettikasino peleistä.
</p>
<p>
Voisin tarjota teille tästä 300 euroa, 12 kuukauden sopimuksella. Miltä tämä kuulostaisi?
</p>
<p>
Yt,
</p>
<p>
Johanna ████████
</p>
</blockquote>
<p>
Tämähän alkoi muuttua houkuttelevaksi diiliksi: minun pitäisi vain kirjoittaa reilun mittainen blogaus, jossa haukun toistaiseksi tuntemattomat firmat ja heidän asiakkaansa, laittaa siihen pari linkkiä ja ansaitsisin moninkertaisesti aineenopettajalehtiin kirjoitteluun verrattuna! Mikä voisi mennä pieleen?
</p>
<p>
Lukuunottamatta tietenkin sitä, että kyseessä on ammattitermiä käyttääkseni ns. <i>kusetus</i>, enkä varmasti saisi mitään rahoja yhtään millekään tilille. Mutta mitä Johanna on yrittämässä saavuttaa? Tässä kohtaa kuvaan astuu algoritmi.
</p>
<div style="clear: both; text-align: center;">
<img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhScNPuRegoyqmjYCKdaRtLyx42dZA_12__SHmPyQjnU2zk5xC5sz4HfXlSsTS5A4X8GQVz-OKE5VOPAoUAPeFcXbvLGU5LGJIp83T-WQzLv22TkDH1f1dYX5tb2dv7XIt3I4WjufNvCoGn/s1600/Glogo.png" style="max-width:60%;box-shadow:none;border:0;" alt="" />
</div>
<h3>Stanford, 90-luvun loppu</h3>
<p>
<b>Sergey Brin</b> ja <b>Larry Page</b> eivät keksineet hakukonetta. Jo muutaman vuoden ajan alkukantaisessa internetissä oli ollut sivuja, jotka osasivat linkittää hakusanoja vastaaville sivuille. Ongelma vain oli siinä, etteivät hakutulokset olleet kovin hyviä. Nämä kaksi tohtoriopiskelijaa päättivät muuttaa asian, ja siinä he todellakin onnistuivat: algoritmista nimeltä PageRank tuli perusta pienelle autotallifirmalle, jonka nimen löydät vaikkapa <i>googlaamalla</i>.
</p>
<p>
Hakukoneessa on rajusti yksinkertaistaen kaksi osaa. Ensimmäinen osa on selvittää, mitkä sivut vastaavat hakusanaa. Toinen osa on päättää, mihin järjestykseen ne laitetaan, ja juuri siitä on kyse tässä algoritmissa. Jotta homma pysyisi yksinkertaisena ja seurattavana, jätetään ensimmäinen ongelma jonkun muun ratkottavaksi. Heitetään lisäksi pois kaikki epärelevantti ryönä ja jäljelle jätetään tasan viisi nettisivua. Koska internetin idea on nimenomaan <i>inter-</i>, näiden sivujen välillä on linkkejä, jotka on esitetty kuvan muodossa alla.
</p>
<div style="clear: both; text-align: center;">
<img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhiO7DG_6P4U7dgs4BgW1ykw9tDoro1wCCSGBeOw1i27pFp0wMCx89NLlzDkLKs8uFr-2Y3mUdPJ1nZbMihMqgx7_5KQpF1iQy3AFpn6E8YQpLQbgM9OIqvv-DlTKuy2EBqgSU2P8cH7nCw/s1600/Gverkko.png" style="max-width:60%;box-shadow:none;border:0;" alt="Kolmen kerroksen verkko, jossa alimman kerroksen kaikki kolme sivua linkittävät toisen kerroksen ainoalle sivulle, joka taas linkittää ylimmän kerroksen sivulle. Lisäksi alakerrassa yksi sivu linkittää toiseen ja toinen kolmanteen." />
</div>
<p>
Mikä näistä sivuista on kaikkein suosituin ja arvostetuin, jos et tiedä, kuinka monta kävijää kullakin on?
</p>
<p>
Ei liene kovin kaukaa haettua ajatella, että suosituille sivuille varmaankin linkitetään paljon. Ei myöskään ole ihan typerää ajatella, että sivut linkittävät usein itseään arvostetummille sivuille. Siispä ylimmän sivun täytyy olla arvostettu, koska huippusuosittu kakkonen linkittää sinne. Miten on muiden sivujen laita?
</p>
<p>
Oletetaan, että sinulla on tylsä päivä ja selailet nettiä päämäärättömästi. Aloitat joltakin sivulta ja etenet aina jotakin kiinnostavaa linkkiä pitkin seuraavalle, kunnes turhaudut ja aloitat uudestaan joltakin satunnaiselta sivulta. Sivun suosio on tällöin todennäköisyys, että satut päätymään sille jossain vaiheessa seikkailuasi. Esimerkkinettimme viitossivulle pääsee vain aloituksen arpaonnella, joten se tuskin on kovin suosittu. Ykkössivu taas on väistämättä muutaman klikkauksen päässä, joten sen täytyy olla hyvä!
</p>
<p>
(Asian vierestä sanoen, tätä temppua kannattaa kokeilla Wikipediassa: Aloita satunnaisesta artikkelista ja klikkaa aina ensimmäistä linkkiä, joka ei ole sulkeiden sisällä. Minne päädyt lähes joka kerralla?)
</p>
<p>
Googlen algoritmissa on juurikin kyse tylsistyneestä netinselailijasta, joskin työn huomattavasti nopeammin tekevästä robotista. Heillä on joukko tietokoneita, joiden ainoa tehtävä on ladata nettisivuja ja kirjata ylös, mille sivuille ne linkkaavat. Tämän tiedon pohjalta toinen järjestelmä voi sitten leikkiä satunnaisesti surffailevia ihmisiä ja katsoa, miten todennäköisyyksille käy.
</p>
<p>
Kirjoitin pienen koodinpätkän, joka teki juuri tämän viisisivuisessa netissämme. Jokaisella sivulla se joko klikkasi satunnaista linkkiä tai 15 % todennäköisyydellä tylsistyi ja hyppäsi satunnaiselle sivulle. Se teki satatuhatta kierrosta ympäri "nettiä" ajassa, jossa sinä ehdit hädin tuskin klikata kissavideota, ja sai tulokseksi seuraavat luvut:
</p>
<div style="clear: both; text-align: center;">
<img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEinUVLj5tU3MXPwVp2js5Ih93jOwWgyTUumyEjH06mOlsJV4TNs-3ikUrTdjstE0vWJGBiXO5KAdy6LY2G-GaVBqohSjbPbnGs4PkqiCp18DrlDn_E-HSEf2f1PiTlEDg2YjE893ItPvUMP/s1600/Gverkko2.png" style="max-width:60%;box-shadow:none;border:0;" alt="Vähiten linkatun sivun todennäköisyys on 9 prosenttia, eniten linkatun 34 prosenttia." />
</div>
<p>
Vaikuttavaa, mutta miten matriisit liittyvät tähän? No, tässä tekniikassa on pieni, muutaman miljardin nettisivun suuruinen pulma. Jotta syrjäisetkin sivut voitaisiin rankata, satunnaisen surffarin täytyisi osua niille useita kertoja — mitä enemmän, sitä tarkempi tuloksesta tulee. Se taas vaatisi vielä useampia miljardeja toistoja, ja se olisi pikkuisen liikaa hakukoneelle, joka ei halua olla vuosikymmentä jäljessä ajastaan.
</p>
<div style="clear: both; text-align: center;">
<img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgyC3m7Gol3yVOTL0MgcBnma1mOuZp3yyfJKLRGFHpacupLYbt776U_6f28ad05Fl-oyXlYTNmVNwu1EOngi3LcBi-okvcb4M2uKpCGlP_b83GQ7tKXjrMGXpVwbZ4ynZ1VzVB6Ql_fHOQ0/s1600/Gmatriisi.png" style="max-width:40%;box-shadow:none;border:0;" alt="" />
</div>
<h3>Matriisi nimeltä $G$</h3>
<p>
Vedetäänpä siis esiin ihmelääke nimeltä matriisi! Matriisi on lukiosta tutun vektorin yleistys suorakulmaiseksi lukutaulukoksi. Esimerkiksi nämä kaksi ovat matriiseja, ja vasemmanpuoleinen on helppo tulkita vanhaksi tutuksi vektoriksi:
</p>
\[
\begin{bmatrix}1 \\ -2 \\ 3\end{bmatrix}
\quad
\begin{bmatrix}
0.1 & -3.2\\
1.0 & 7.5
\end{bmatrix}
\]
<p>
Matriiseja voi laskea yhteen, vähentää ja kertoa reaaliluvuilla arvattavalla tavalla: alkio kerrallaan. Kahden matriisin kertominen keskenään on hieman monimutkaisempaa, sillä kukin tulosalkio riippuu useammasta lähtöalkiosta loogisella mutta nyt ohitettavalla tavalla. (Tämä kertolasku <a href="http://www.nollakohta.fi/2018/02/yhteenlaskun-salattu-elama.html">ei esimerkiksi ole vaihdannaista</a>.) Olennaista on se, mitä matriiseja kertomalla saadaan aikaan.
</p>
<p>
Jos olet lukenut tätä blogia jo viime syksynä, saatat muistaa <a href="http://www.nollakohta.fi/2017/09/satu-opiskelijakylan-apoteekkarista.html">sadun apteekkarista ja hänen nuoresta apulaisestaan</a>. (Jos et, nyt on hyvä hetki vilkaista!) Tarinassa nuori matemaatikko näytti, kuinka apteekkarin ratkoman pulman saattoi ajatella matriisien avulla ihan eri lailla ja saada helposti uusia tuloksia. Hakukoneen ongelmassa ajattelutavan muutos on ihan välttämätön.
</p>
<p>
Esitetään viiden sivun verkko vähän eri tavalla. Tässä matriisissa rivit ja sarakkeet kuvaavat eri nettisivuja. Esimerkiksi kolmannella rivillä on sivu numero kolme, ja rivillä makoilevat ykköset tarkoittavat, että sivulla on linkit sivuille kaksi ja neljä.
</p>
\[
L =
\begin{bmatrix}
0 & 0 & 0 & 0 & 0\\
1 & 0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 1 & 1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0 & 1 & 0
\end{bmatrix}.
\]
<p>
Tämänkaltainen muunnos verkosta matriisiksi on aika yleinen tietojenkäsittelytieteessä. Tehdään sitten toinen temppu, jossa ykköset korvataan todennäköisyyksillä. Toisella sivulla on vain yksi linkki, joten selailija klikkaa sitä todennäköisyydellä $1$. Kolmannella taas on kaksi linkkiä, joista kummankin todennäköisyys on $0.5$, ja niin edelleen.
</p>
\[
H =
\begin{bmatrix}
0 & 0 & 0 & 0 & 0\\
1 & 0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0.5 & 0.5 & 0 & 0\\
0 & 0.5 & 0 & 0.5 & 0
\end{bmatrix}.
\]
<p>
Sitten vielä pitää lisätä tylsistymisen mahdollisuus. Ykkösrivi kuvaa umpikujaa, joten sille saapuva surffailija valitsee täysin umpimähkään uuden kohteen, jonka todennäköisyys on tällöin $1/5$. Muilla riveillä taas luvut kerrotaan termillä $0.85$ ja lisätään $0.15 \times 1/5$, joka kuvaa satunnaisen sivun valintaa 15 % todennäköisyydellä. Lopputuloksena on matriisi
</p>
\[
G =
\begin{bmatrix}
0.2 & 0.2 & 0.2 & 0.2 & 0.2\\
0.88 & 0.03 & 0.03 & 0.03 & 0.03\\
0.03 & 0.88 & 0.03 & 0.03 & 0.03\\
0.03 & 0.455 & 0.455 & 0.03 & 0.03\\
0.03 & 0.455 & 0.03 & 0.455 & 0.03
\end{bmatrix}.
\]
<p>
Tämän matriisin nimi on $G$ niin kuin Google, ja sillä sattuu olemaan muutama kiinnostava ominaisuus. Huomaat varmaan heti, että jokainen alkio on nollaa suurempi. Lisäksi jokaisen rivin alkiot summautuvat tasan tarkkaan ykköseksi. Tämäntyyppisiä matriiseja kutsutaan <i>stokastisiksi</i> matriiseiksi, koska sellaisia ilmenee stokastisten eli satunnaisten prosessien tutkimuksessa.
</p>
<p>
Yksi tärkeä ominaisuus on, että kahden stokastisen matriisin tulo on niin ikään stokastinen. Toinen tärkeä ominaisuus on kyseisen matriisin eräs ominaisvektori. Sattuu olemaan niin, että jokaisella stokastista matriisia vastaa vektori, nimeltään vaikkapa $p$, jota kyseisellä matriisilla kertominen ei muuta. Toisin sanoen $pG = p$. Esimerkin matriisin tapauksessa tämän vektorin likiarvo on
</p>
\[
p \approx
\begin{bmatrix}
0.344&
0.300&
0.142&
0.126&
0.088
\end{bmatrix}.
\]
<p>
Saatat havaita, että näissä luvuissa on jotain tuttua. Satunnainen surffailija onkin stokastinen matriisi!
</p>
<p>
Pienelle esimerkille ominaisvektorin laskeminen on helppoa — vaikkakin käsipelillä kohtalaisen tylsää — mutta monen miljardin nettisivun kohdalla tehtävä on käytännössä mahdoton. Stokastisilla matriiseilla on kuitenkin vielä yksi hauska ominaisuus. Sattuu nimittäin olemaan niin, että
</p>
\[
p \approx \begin{bmatrix}0.2 & 0.2 & 0.2 & 0.2 & 0.2\end{bmatrix} G^n
\]
<p>
jollekin tarpeeksi isolle luvulle $n$, eli ratkaisun saa ihan vain kertolaskujen avulla. Viiden sivun verkon tapauksessa "tarpeeksi iso" $n$ on $5$. Koko internetin tapauksessa "tarpeeksi iso" on ehkä $50$. Ja se ei ole enää niin paljon se! Asiaa helpottaa huomattavasti vielä se, että pienellä jumppaamisella samanlaisen tuloksen saa johdettua matriisista $H$, joka koostuu lähes kokonaan nollista — ja kaikkihan tietävät, miten helppoa nollalla kertominen on!
</p>
<p>
Näin siis matriisi mahdollistaa verkkosivujen paremmuusjärjestyksen. Parin vuosikymmenen varrella Google on toki hienosäätänyt algoritmia runsaasti. Algoritmi osaa ottaa huomioon sivujen rakenteen, kielen ja satoja muita parametreja, joista kaikista varmaan firma itsekään ei ole täysin perillä. Varmaa on se, että Google on pumpannut siihen valtavasti rahaa, ja hyvästä syystä.
</p>
<div style="clear: both; text-align: center;">
<img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEikhe-XqsBoDRSgQvrwDxOJmSk3GRUeWKPh8SBh-_-7QbV2PEZVwi7jHoyAh8K3QF0-r92z_690axXEPWLTYEmJEHb8MW6-N96-Uh1NbWogUzbdyqmwCo3vcgoNf441R4fgjzq28A_Ql-tD/s1600/Gbotti.png" style="max-width:70%;box-shadow:none;border:0;" alt="" />
</div>
<h3>Netin pimeä nurkka</h3>
<p>
Eräässä <a href="http://infolab.stanford.edu/pub/papers/google.pdf">artikkelissaan vuosituhannen vaihteelta</a> Brin ja Page esittelevät projektinsa rakennetta. Paitsi että artikkelissa on kiinnostavia lukuja aikakauden netin koosta — Googlen tarvitsema data kattoi silloin massiiviset 50 gigatavua! — ja kuvausta teknisistä ratkaisuista järjestelmän skaalaamiseen, se myös sisältää hauskan kommentin mainonnan ja hakukoneiden suhteesta. Pientä, irrallista palasta liitteestä A vapaasti suomentaen:
</p>
<blockquote>
[...] odotamme, että mainonnalla rahoitetut hakukoneet tulevat luonnostaan olemaan kallellaan mainostajiin päin, pois kuluttajien tarpeista. [...] Uskomme mainonnan aiheuttavan niin paljon eturistiriitoja, että kilpailukykyisen, läpinäkyvän ja akateemisen hakukoneen olemassaolo on olennaista.
</blockquote>
<p>
Tämä maailman suurimman mainosimperiumin perustajien suusta!
</p>
<p>
Vakavammin ottaen, kyseisessä liitteessä kehittäjät tiesivät jo, kuinka arvokasta yritykselle on olla hakutulosten kärjessä. Ei vaadi suurta ihmislajin tuntemusta arvatakseen, että tällaista systeemiä alettaisiin hyväksikäyttämään aivan välittömästi. Vaikka Googlen algoritmi oli nerokas, siinä oli puutteensa.
</p>
<p>
Se ei nimittäin osannut lukea. Se ei tiennyt, onko linkki myönteinen vai kielteinen, tai onko se alkuunkaan ihmisen kirjoittama. Tilastollisesti useimmat linkit ovat suosituksia, joten sillä oletuksella on kohtalaisen hyvä edetä sokeasti.
</p>
<p>
Eipä siis aikaakaan, kun mainostajat keksivät ovelan tempun: Tuotetaan kasapäin sivuja, jotka pursuavat avainsanoja. Nämä sivut linkittävät toinen toisiinsa, joten algoritmin näkökulmasta ne ovat suosittuja. Lopuksi nämä sivut linkittävät kohteeseen, joka siis saa kunnon boostin näkyvyydelleen hakutuloksissa. Eiväthän tuhannet linkittäjät voi olla väärässä!
</p>
<p>
Lienee sanomattakin selvää, että linkkifarmaus ei toimi nykyään niin hyvin. Lienee niin ikään sanomattakin selvää, että hämärät markkinoijat keksivät yhä uusia tapoja kiertää hakukoneiden pelisääntöjä. Dilemma on siinä, missä menee tasapaino luonnollisen sisällön, hyvän kohdentamisen ja epärehellisen mainonnan välillä.
</p>
<p>
Luonnolliselle tekstille Google ei voi oikein mitään, vaikka heidän ohjeensa muodollisesti kieltävätkin linkkien myymisen. Jos tarpeeksi moni sivu ohimennen viittaa johonkin tuotteeseen, hakukoneen on käytännössä pakko päätellä tuotteen olevan suosittu. Tätä palvelua Johannan yritys kaupittelee täysin avoimesti.
</p>
<p>
Nollakohdan tapauksessa vaikutus ei olisi edes täysin pieni. Sanon suoraan, että blogiksi tämä on aivan mitätön ja näkymätön. Mutta kuten totesin, olen kirjoittanut muutamaan otteeseen rahapeleistä. Se on täysin tarkoituksellista. Minäkin nimittäin yritän harrastaa hakukoneoptimointia, mutta sanan positiivisessa merkityksessä!
</p>
<p>
Kokeile googlata "kannattaako Kaikki tai ei mitään" tai "kannattaako Loton tuplaus". Jopa geneerisempi "Kaikki tai ei mitään" tuo aika usein tekstini hakutulosten ykkössivulle. Kaiken kaikkiaan minut nähdään Googlessa <i>muutaman tuhatta kertaa viikossa</i>. Halusin tai en, olen jonkinasteinen auktoriteetti rahapeliasioissa — ja siksi todellakin linkki Nollakohdassa olisi rahanarvoinen. Ei kolmensadan euron, mutta muutaman kuitenkin.
</p>
<p>
Johannan tavoite ei ollut saada minulta tekstiä, joka houkuttelisi ihmisiä rahapelisivustoille. Voinet hyvin uskoa, ettei minun kirjoittajanlahjoillani muuteta pastaa kullaksi. Mutta Google ei tiedä sitä. Se näkisi vain, kuinka rahapeliauktoriteetin sivulla on suositus.
</p>
<div style="clear: both; text-align: center;">
<img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgFHIl81R5dPaqD30c5xRnZTtQP56KdOf7WJ2oDf0IzCW9dEeRyM3bxP09WJEEHt6i3dVKmuwRIaME-Bz7foL4WhXnfoEpdU-QdK4fnFJKsqT1HrUSIQpJrHSR2X3f8gic9VbUHX5aGfryx/s1600/Gbroken.png" style="max-width:20%;box-shadow:none;border:0;" alt="" />
</div>
<h3>Toistaiseksi viimeinen viesti</h3>
<p>
Vastasin toki Johannalle. Totesin, ettei tarjous kuulosta kovin hyvältä juuri niistä syistä, jotka olen tässä esittänyt. Kerroin myös kirjoittavani aiheesta blogitekstin ja tarjosin mahdollisuutta kommentoida aihetta tai tapausta.
</p>
<p>
En ole saanut vastausta. Ehkä ensi vuonna kuulemme taas.
</p>Petri Laarnehttp://www.blogger.com/profile/02918099887181866034noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-6928022722273734349.post-50457952784965457892018-06-04T08:00:00.000+03:002018-06-04T08:00:00.916+03:00Huonosti käyttäytyvät funktiot<div style="clear: both; text-align: center;">
<img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEggC7DpKpU4W5vmxwr1PfG1iYeaJpLolk7zbSB8rueYed09tktfRC45lwqVT3TwqSBkwMDraYEQ0hCgAg6N_Tg1AyjNpyGQmLenHxXRwE0qNIazMEUc0XZMSiztDDBp81fD-i9ZHYkCFwGG/s1600/FunktioMysteeri.png" style="max-width:90%;box-shadow:none;border:0;" alt="" title="Jokainen funktio on mysteeri ja suuri seikkailu." />
</div>
<p>
Yläkoulussa opitaan, mitä funktio tarkoittaa. Alkuun kirjaimilla laskemisessa on reippaasti sulattelemista, mutta sen jälkeen homma alkaa helpottua. Muutaman lukiokurssin jälkeen kaavaan sijoittamiset, kuvaajan piirtämiset ja derivaatan nollakohdan etsimiset sujuvat kuin vettä vain. Tämä kuitenkin on valheellinen käsitys, joka jättää katseen ulkopuolelle ison osan maailmasta.
</p>
<p>
Useimmat funktiot nimittäin ovat kaikkea paitsi kivoja.
</p>
<a name='more'></a>
<div style="clear: both; text-align: center;">
<img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEingsAlvYw74hqa0cb_YdxfZCGaCSYTp5rcoCMbkhziUIct79lU5P6NLnN0SvwraQWTPn6F4wE_82ECvvyk1ONNIrWvMCvM1vo1I_J5fgKWUuZcpe-cDoeETIHb-87LRRFBocdxwOP2q4dS/s1600/Funktio.png" style="max-width:60%;box-shadow:none;border:0;" alt="Nuoli ympyrästä toiseen, välissä funktiokone." title="Takuu: 3 vuotta tai 10000 kaavaansijoitusta." />
</div>
<p>
Lukion oppikirjassa sanotaan, että funktio on sääntö, joka liittää määrittelyjoukon jokaiseen alkioon $x$ jonkin maalijoukon alkion $y = f(x)$. Aiemmassa opintojen vaiheessa puhutaan usein funktiokoneesta, joka ottaa sisään luvun, tekee sille jotain ja pullauttaa tuloksen ulos.
</p>
<p>
Aika monelle funktio ja kaava ovat sama asia, eikä mikään ihme. Lukiossa käytännössä kaikki funktiot esitetään kivoina kaavoina, joissa seikkailevat $x$:n potenssit sekä muut kumppanit. Kaikkein erikoisin tapaus on paloittain määritelty funktio, jossa kaava riippuu siitä, missä päin lukusuoraa ollaan:
</p>
\[
f(x) = \begin{cases}
x, \quad \text{ kun } x \leq 0,\\
\sin x, \quad \text{ kun } x > 0.
\end{cases}
\]
<p>
Tämännäköiset funktiot, yhdellä tai monella muuttujalla, ovat toki käytännöllisiä ja kivoja. Niitä voi aiheellisesti kutsua <i>hyvin käyttäytyviksi</i> — ja tämä muuten on oikea matemaattinen termi. Tutuista palikoista tutuilla operaatioilla kasatut funktiot ovat melkein aina (joitakin yksittäisiä pisteitä lukuunottamatta) jatkuvia, derivoituvia, integroituvia ja kivasti laskettavia.
</p>
<p>
Mikään laki vain ei vaadi näin olevan: voihan funktiokoneen sisällä olla vaikka mitä! Viimeistään yliopistomatikassa funktion ja kaavan liitto rikotaan. Esimerkiksi nämä ovat ihan yhtä päteviä funktioita kuin kaikki muutkin:
</p>
<ul>
<li>Funktio, joka kääntää kokonaisluvun numerot takaperin. Esimerkiksi $f(123) = 321$.
<li>Funktio, joka jättää luvun desimaaliesitykseen pelkät kakkoset ja korvaa muut numerot nollilla. Esimerkiksi $f(12.2342) = 2.2002$.
<li>Funktio, jonka arvo on $1$ rationaaliluvuille ja $-1$ irrationaaliluvuille. Esimerkiksi $f(1/2) = 1$ ja $f(\pi) = -1$.
</ul>
<p>
Nämä funktiot ovat paljon helpompia kuvailla sanoin kuin kaavoilla! Nämä myöskin ovat keskenään hyvin erilaisia tarkastella. Ensimmäinen on yllättävän helppo tutkia: ei ole vaikeaa uskoa, että $f(f(a)) = a$, oli $a$ mikä kokonaisluku tahansa, tai että palindromiluvuille funktio ei tee mitään. Toisesta on paljon vaikeampi sanoa mitään. Ja kolmas taas...
</p>
<div style="clear: both; text-align: center;">
<img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEijeb40Hfq-rRGe9nPRDaDSnF8PMZEPg3hlD-gPl8vAtWOiJtxahknN3rVEDKuOxyXt5EqLgoI_0nJxikddibjvPSgDCRs803gOLIeNNeJumnFyRHuQQ02zPRaKNYzkbkXsq1QyX1H96heI/s1600/PahaFunktio.png" style="max-width:60%;box-shadow:none;border:0;" alt="Kaksi jatkuvasti katkeavaa viivaa, yksi ykkösen ja toinen miinus ykkösen kohdalla." title="Protip: piirrä tämä lukiolaisen tapaan sovittamalla kaari muutaman yksinkertaisen koepisteen välille." />
</div>
<p>
...sanotaanko, että siitä ja sen kavereista oppii pitämään yliopiston analyysin kursseilla. Se on malliesimerkki huonosti käyttäytyvästä funktiosta. Se ei ole jatkuva missään pisteessä, koska jokaisen rationaaliluvun välissä on irrationaalilukuja ja toisin päin. Koska se ei ole jatkuva, sitä ei voi myöskään derivoida tai integroida. Mutta otapa siitä itseisarvo, ja yllättäen saatkin ihanan vakiofunktion, jolle kaikki äskeiset onnistuvat! Tämä pikku funktio on loistava vastaesimerkki arkeen ja juhlaan — tai ehkä parempi kielikuva on "talossa ja puutarhassa".
</p>
<p>
Hassua kyllä, funktion ei tarvitse edes olla kovin omituisen näköinen johtaakseen syvälle suohon. Otetaanpa semmoinen kaveri kuin $\sin(x^2)$.
</p>
<div style="clear: both; text-align: center;">
<img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEib6s-qov5tHUQf_15Yis47Omx1i9wuEhtnY647wVrx92I3abC1xSTb43wu6fh-5kXu7iK3NZjZCdANYYhtnGjpG8i0aYuDJ6qX2CEMLnQ0MWx0h9PRUUmK6niecz8V9rTsqPjwa7F6zMFh/s1600/SinX2.png" style="max-width:80%;box-shadow:none;border:0;" alt="Sinikäyrä, jonka aallonpituus lyhenee nollasta etäännyttäessä." title="Kuvalähde: Wolfram|Alpha perjantai-iltana." />
</div>
<p>
Ei näytä kovin pahalta taikka vaaralliselta ainakaan nollan lähistöllä. Voin luvata, että se on erittäin kiltisti jatkuva. Pitkää matikkaa tarpeeksi lukeneelle ei tuota mitään vaikeuksia derivoida sitä: ulkofunktion derivaatta kertaa sisäfunktion derivaatta ja tulos on $2x \cos(x^2)$. Mutta mitenkäs on sen integraalin laita? Toisin sanottuna, minkä funktion derivaatta on $\sin(x^2)$?
</p>
<p>
Jos sijoitusmenetelmä on sinulle tuttu, saatat ajatella, ettei tuo niin paha ole. Suosittelen kokeilemaan ennen kuin jatkat lukemista.
</p>
<div style="clear: both; text-align: center;">
<img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj80z4fXIL-QbHfNQgvigtYHtVpHHR3Bc71t8cB02z5rSVuEGe_X7A2ThPgN4vbik8MZPElgBukYKfj9tVslb5mJJb4t__vrwIMyAOkdRJ2b_fHLa_f5QL5DfRg_wpJhUaUc26d1qmY3apq/s1600/Integroimaan.png" style="max-width:70%;box-shadow:none;border:0;" alt="Integroimaan!" title="Tältä sinun pitäisi näyttää JUURI NYT!" />
</div>
<p style="margin-top:4em">
Älä pahastu, jos et osaa. Jos onnistut, olet joko tehnyt virheen tai todistanut parisataa vuotta matemaattista analyysia vääräksi. Ensimmäinen vaihtoehto on huomattavasti todennäköisempi.
</p>
<p>
Jutun juju on nimittäin se, että funktion $\sin(x^2)$ integraalifunktiota ei voi kirjoittaa tuttujen alkeisfunktioiden avulla. (Teknisesti ottaen äärettömän pitkä tapa on olemassa, mutta sellaisia ei lasketa.) Integraalifunktio tunnetaan Fresnelin integraalina, ja sille kyllä tunnetaan koko joukko ominaisuuksia ja likiarvojen laskumenetelmiä. Se ei ole yhtään huonompi kuin oppikirjoista tutut integrointikaavat, sitä vain ei voi kirjoittaa samalla tavalla kuin muita.
</p>
<p>
Tilastoihin tutustunut tietää toisenkin ikävästi integroituvan funktion. Normitetulla normaalijakaumalla on tiheysfunktio
</p>
\[
f(x) = \frac{1}{2\pi} e^{-x^2 / 2}.
\]
<div style="clear: both; text-align: center;">
<img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjidJCHTMDCy54er9O2nT6h269UP3TFziJd9MOv94Jmu-n0W4SJ4QIIFk473LKrJ64_nBM-fMgILun9f0evUzAAd5d6CMrEkZiC7nOJJ4FytLg9y6MK1hfaETyF9BFTM-rp0yNrePX8BOPU/s1600/Normaalijakauma.png" style="max-width:60%;box-shadow:none;border:0;" alt="Normaalijakauman tiheysfunktio." title="Ei taas tätä paranormaalijakauma-juttua." />
</div>
<p>
Tiheysfunktion määritelmään kuuluu, että sen integraali yli koko lukusuoran on tasan $1$. Käyttökelpoisen jakauman määritelmään kuuluu, että integraalifunktion arvot ovat järkevästi laskettavissa. Kumpikin kyllä luonnistuu normaalijakaumalta, mutta integraalin tarkka arvo on
</p>
\[
\int_{-\infty}^x f(x)~dx = \frac 1 2 \left( 1 + \mathrm{erf}\left( \frac{x}{\sqrt 2} \right) \right),
\]
<p>
ja $\mathrm{erf}$ taas kerran jotain, mitä ei voi kirjoittaa äärelliselle määrälle paperia alkeisfunktioiden sekoituksena. Ja nyt puhuttiin <i>normaali</i>jakaumasta, joka kuvaa todella montaa mitattavaa luonnonilmiötä! Entäs sitten vielä oudommat funktiot?
</p>
<p>
On helppoa kuvitella, että edellä ehdottamieni funktioiden lisäksi on vielä paljon kummallisempia ja vaikeammin kuvattavia sääntöjä. Itse asiassa <i>lähes kaikki</i> reaalimuuttujan funktiot ovat tällaisia kuriositeetteja, joita ei voi kirjoittaa kaavana eikä edes pitkällisenä sääntökirjana. Ne vain ovat totaalisen satunnaisia. Tämä on väistämätön seuraus siitä, että reaalilukuja on äärettömästi.
</p>
<p>
Kaikkia mahdollisia funktioita, niin kaavoja kuin kummallisuuksiakin, voi kuitenkin käsitellä, kunhan tietää, mikä on sallittua ja mikä ei — ja siinä nämä patologiset tapaukset ovat paikallaan. Ilman hyviä vastaesimerkkejä ei ilmenisi tarvetta määritellä käsitteitä vedenpitävästi. Analyysi on nykymuodossaan juuri siksi, että aiemmat versiot eivät pystyneet selittämään erikoisia funktioita aukottomasti. Siksi yliopiston analyysin kurssikirja painaa tuhottomasti, vaikkei sisällä juuri mitään uutta lukioon nähden.
</p>
<p>
Jos emme tiedä, mikä on mahdotonta, emme oikeastaan tiedä, mikä on mahdollista. Ja siksi teoreetikot rakastavat huonosti käyttäytyviä funktioita.
</p>
<div style="clear: both; text-align: center;">
<img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgIXLzG6Z0VnT8NS8jZ-2BVc-kmz3D17WauGuhZKDI33zXTd4YSYJEsDpfcnh5IJhZtX7K1Vguw9LCCvFDqOThZ788SR9Ro5CsjE9QNnctVnz48KQh-1rSn8Jev6IW_A4HEscEBC3N8WcZu/s1600/Funktiokone.png" style="max-width:30%;box-shadow:none;border:0;" alt="" title="Uskallatko vääntää vivusta?" />
</div>
Petri Laarnehttp://www.blogger.com/profile/02918099887181866034noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-6928022722273734349.post-80526004220940013832018-05-29T08:00:00.000+03:002018-06-05T07:03:39.186+03:00Kesä. Lukuristikko.<div style="clear: both; text-align: center;">
<img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgDJAvQ7BkqJQtPq5fHUYukF9Mk1pcf48Y_tM9MI-EsPJemMLVGSQy65QychiCKzu2K4_72-SYhlgN65TLYT4RrwdDkOSW2BYHDQJxOMIT-AZrJ_zS_SBEtXLITNYAsTJFQPdgJGc0I1fQX/s1600/Exactum.jpg" style="max-width:90%;box-shadow:none;border:0;" alt="Sininen taivas Kumpulan kampuksella." title="Kampuksella on hyvä sää, jos ja vain jos siellä ei ole opiskelijoita." />
</div>
<p>
Taas on se aika vuodesta, jolloin verrataan lukioita, verrataan lukiovertailuja, verrataan lukioiden vertailijoita erilaisiin elämänmuotoihin, vedetään herne nenään netissä koko lukiojärjestelmästä ja niin edelleen. Joka tapauksessa: jotkut saavat lakin, jotkut saavat todistuksen ja jotkut pääsevät lomalle. Ja sehän voi tarkoittaa vain yhtä asiaa: Nollakohdan perinteinen (kyllä se tässä kohtaa on jo traditio) lukuristikko on täällä taas!
</p>
<p>
Ajan hengen mukaisesti ristikkoa on jälleen kerran leikattu. (Viime kevään ristikot löytyvät <a href="http://www.nollakohta.fi/2017/05/lukuristikoita.html">täältä</a> ja talviset <a href="http://www.nollakohta.fi/2017/12/valoa-kaamokseen-lukuristikoita.html">täältä</a>.) Nyt ristikoita on tasan yksi kappale, ja vaikeustasoltaan olen asemoinut sen lähemmäksi helppoa kuin hankalaa. Tähän malliin ei tarvitse siis etsiä ratkaisuja ohjelmoimalla, mutta niin saa toki tehdä! Jos tuntuu liian helpolta, niin laita kaikki apuvälineet pois ja ratko pelkästään kynällä ja paperilla.
</p>
<p>
Enemmittä puheitta <a style="font-size:x-large;" href="https://drive.google.com/open?id=11RHAX2CcNbHnJF9nUqruHGnudKHTzmYN">PAINA TÄSTÄ JA NAUTI</a>. Kun olet valmis, kannattaa vilkaista myös <a href="https://drive.google.com/open?id=1IZpt6bTlX6rS00Y5Yfwyek2hSJWoSzZS">ratkaisua</a>!
</p>
<p>
Tämän myötä toivotan myös hyvää kesää niille lukijoilleni, joita tällainen toivotus kiinnostaa. Nollakohta päivittyy rauhallisella tahdilla sitä mukaa, kun kokopäivätyöltä ehdin. Olen Varianilla tekemässä softaa sädehoidon suunnitteluun, ja se on pikku matemaatikosta aika jännää se!
</p>
<a name='more'></a>
<hr style="width:80%;margin-top:4em;margin-bottom:2em;" />
<a id="english"></a>
<h3 class="post-title entry-title">Summer. Crossnumber. Fun!</h3>
<p>
Once again, the academic year is drawing to an end, and that can mean only one thing: my (definitely by now) traditional crossnumber! Inspired by the amazing Chalkdust Magazine crossnumber, this puzzle puts your logical skills to good use. (For a previous installment, <a href="http://www.nollakohta.fi/2017/12/valoa-kaamokseen-lukuristikoita.html#english">see here</a>.) This crossnumber is definitely easier than my previous or the Chalkdust one, so you won't need to code your way through — but feel free to do so! If you want an extra challenge, put aside all your calculating devices and try using only your wits (I know you can do it!).
</p>
<p>
Without further ado, <a style="font-size:x-large;" href="https://drive.google.com/open?id=1FF8k-QoU98UNX1mRj1hVdDt_m_BEWXdU">CLICK HERE AND ENJOY</a>! Once you're done, be sure to check the <a href="https://drive.google.com/open?id=1IZpt6bTlX6rS00Y5Yfwyek2hSJWoSzZS">correct solution</a> as well!
</p>
<p>
<b>Correction (30 May):</b> 18D should read "Each digit is the last digit of twice the preceding digit." I've updated the PDF accordingly. Thank you @christianp on Mathstodon!
</p>
Petri Laarnehttp://www.blogger.com/profile/02918099887181866034noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-6928022722273734349.post-33469381868891250312018-05-22T08:00:00.000+03:002018-05-22T08:00:06.845+03:00Vaarallinen veikkaus<p>
Mikä luku tulee jonossa $1, 2, 4, 8, 16, \ldots$ seuraavaksi?
</p>
<ol type="a">
<li>$31$,
<li>$32$,
<li>$212$,
<li>ei mikään edellisistä.
</ol>
<a name='more'></a>
<p style="margin-top:12em">
Vastasit oikein. Näin siitä huolimatta, etten tiedä, mitä vastasit!
</p>
<p>
Veikkaan, että ilmiselvin vastaus on vaihtoehto B. Kakkosen potensseista muodostuu kiva ja käytännöllinen lukujono
</p>
\[
1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, \ldots.
\]
<p>
Toisaalta jos vastasit A, ajattelit kenties toista käytännönläheistä ongelmaa. Piirretään ympyrän kehälle pisteitä. Kuinka moneen osaan ympyrän voi enimmillään jakaa pisteiden välille piirretyillä janoilla?
</p>
<div style="clear: both; text-align: center;">
<img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj6vI6YEOKWq1jEWY_ns299RZ0-o0A-B8YmS1m4tcx_DpVHR9gJy6YantH099K9xkVpTVwk5p7Gh9_EoOiSp6A_Huz-JWIiM7c96bW013ecDa6kPA3F7soRDv4qmIHznitIDjnkq8r40YUL/s1600/A000127.png" style="max-width:70%;box-shadow:none;border:0;" alt="" title="" />
</div>
<p>
Sopivalla pyörittelyllä, jota en tähän lähtenyt selvittämään, saadaan selville, että $k$ pistettä jakaa ympyrän enintään
</p>
\[
\frac{k^4 - 6k^3 + 23k^2 - 18k + 24}{24}
\]
<p>
osaan, ja siitä seuraa lukujono $1, 2, 4, 8, 16, 31, 57, \ldots$. Hetken kyllä voisi luulla, että kakkosen potenssit löytyisivät tästäkin!
</p>
<p>
Vai vastasitko kenties $212$? Erittäin hauska vastaus. Varmaan huomasitkin, että seuraava luku saadaan kertomalla edellisen kukin numero kahdella. Elikkä
</p>
\[
1,\quad 2,\quad 4,\quad 8,\quad 16,\quad 2~12,\quad 4~2~4, \ldots.
\]
<p>
Vaikuttiko vaihtoehto D parhaimmalta? Olen samoilla linjoilla; omasta mielestäni seuraava luku on <i>ehdottomasti</i> $17$. Olihan alusta asti ilmiselvää, että luvut tulevat kaavasta
</p>
\[
-\frac{7 x^5}{60}+\frac{43 x^4}{24}-\frac{61 x^3}{6}+\frac{653 x^2}{24}-\frac{1963 x}{60}+15,
\]
<p>
joka peräkkäisillä luvuilla tuottaa mitä mieltä ylentävimmän jonon $1, 2, 4, 8, 16, 17, -27, \ldots$.
</p>
<p>
Tai ehkä kenties tuhahdit, että kysymys on järjetön ja jokainen vaihtoehto tosi. Aivan oikein tällöinkin. Lukujonossa kolmen pisteen tilalla voi olla ihan mitä vain, eikä sen luonteesta kannata veikata yhtään mitään tuntematta sääntöä taustalla. (Toki vaikkapa $1, 2, 3, \ldots$ voidaan yleensä olettaa ilmiselväksi.) Tätä tekstiä varten hain erinomaisesta <a href="http://oeis.org/search?q=1%2C2%2C4%2C8%2C16&sort=&language=&go=Search">OEIS-tietokannasta</a> kaikki lukujonot, joissa on kysymyksen viisi lukua siinä järjestyksessä. Samasta listauksesta löytyi myös pidempiä kakkosen potenssien rimpsuja, jotka katkesivat hieman odotetusta eroavaan termiin.
</p>
<p>
Siinä se tarinan opetus taisikin olla. Tämän takia matemaattinen todistaminen on tärkeää. Jos vain arvaa muutaman esimerkin perusteella (kuulin kerran tätä kutsuttavan teekkarin induktioksi), jo seuraavan kulman takana saattaakin piillä ikävä yllätys!
</p>
Petri Laarnehttp://www.blogger.com/profile/02918099887181866034noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-6928022722273734349.post-89885983981930678832018-05-08T08:30:00.000+03:002018-05-08T08:30:10.325+03:00Mitä on todennäköisyys?<div style="clear: both; text-align: center;">
<img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgUymu-EaqC1BpyTXk6fNel5rru8IVZ86Y6wXGXBwGOUaDN16RApSIY1vbkhwYlCYM8s2bx4JQqzB3CZUH5kZQ5cDMoeFN1SAr73PHGISFLtR5JYSW0sP1Bn-ACeoQQTupvCYW-s0bnym4Y/s1600/Todaritaulu.png" style="max-width:90%;box-shadow:none;border:0;" alt="Todennäköisyyksien yhteenlaskukaava." title="Mutta milläs perustelet tämän?" />
</div>
<p>
Yksi ekan opiskeluvuoden absurdeimmista kokemuksista tapahtui tammikuussa. Oli aivan tavallinen luento, kurssin <i>Todennäköisyyslaskenta I</i> ensimmäinen. Luvassa oli kurssi, jonka ohjelmasta ainakin puolet olisi lukiosta tutun jutun kertaamista.
</p>
<p>
Niinpä luennoitsija riipusti taululle tuttuja todennäköisyyden ominaisuuksia: todennäköisyys on aina nollan ja ykkösen välillä, tapahtuman ja sen vastatapahtuman todennäköisyyksien summa on $1$, ja niin edelleen. Selvää tavaraa, vaikka useampi lukio-opettaja kannustaakin välttämään yo-kokeen todennäköisyystehtävää.
</p>
<p>
Sitten luennoitsija totesi, että matemaatikoina yliopistossa meitä toki kiinnostaa, mistä nämä ominaisuudet tulevat. Siispä hän alkoi kirjoittaa todennäköisyydelle oikeaa määritelmää (tässä tiivistettynä):
</p>
<blockquote>
Olkoon kokoelma perusjoukon $\Omega$ osajoukkoja $\mathcal F$ sigma-algebra. Nyt kuvaus $\mathrm P : \mathcal F \to \mathbb R$ on todennäköisyys, jos
<ol>
<li>$\mathrm P(A) \geq 0$ kaikilla $A \in \mathcal F$,
<li>$\mathrm P(\Omega) = 1$,
<li>jos $A_i \in \mathcal F$ kaikilla $i \in \mathbb N_+$ ja $A_i \cap A_j \neq \emptyset$ kun $i \neq j$, niin
\[
\mathrm P \left( \cap_{i=1}^\infty A_i \right) = \sum_{i=1}^\infty P(A_i).
\]
</ol>
Kolmikko $(\Omega, \mathcal F, P)$ on todennäköisyysavaruus.
</blockquote>
<p>
Mitä ihmettä juuri tapahtui? Äsken puhuttiin kivoista laskukaavoista, nyt jostain joukko-opin infernaalisesta serkusta!
</p>
<a name='more'></a>
<p>
Luennoitsija vieläpä lisäsi, että tämä on yksi tuoreimmista kandiopintojen aiheista. Suurin osa sisällöstä, muun muassa koko analyysi, on 1800-luvulla valmiiksi taputeltua. Vaikka todennäköisyyksien laskennan historia on yhtä pitkä, kunnon matemaattinen pohja alalle kehitettiin vasta 1930-luvulla mm. neuvostoliittolaisen <b>Andrei Kolmogorovin</b> toimesta.
</p>
<p>
Syy tähän on se, että todennäköisyyden perusteleminen yleisesti on kaikkea paitsi helppoa. Kaikki käytännön jutut kyllä onnistuvat, mutta matemaatikoille ei kelpaa yksityiskohtien ohittaminen raivokkaalla käsien heiluttelulla.
</p>
<p>
Otetaan esimerkki, joka havainnollistaa ongelmaa. Kaivetaan esiin mittanauha, mennään kadulle ja pysäytetään ensimmäinen vastaantulija. Kuinka suurella todennäköisyydellä valittu (ja hieman vaivaantunut) ihminen on 175 cm pitkä?
</p>
<div style="clear: both; text-align: center;">
<img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjRIyi28uJYgIp6-xnrp5CYsKAA0Zcy9UnLLnXwq3iWXDteapfYQUJ6yU2P2au5nl1Ik0b2z1rJyacmjvb_hSV9FqImdIV2rfJ00aRDu_ROfMGXZu_lgfEd8CWS8WundOWP_KdGwcNNMUSq/s1600/Mitataan.png" style="max-width:40%;box-shadow:none;border:0;" alt="Terve, nyt mitataan!" title="Suosittelen välttämään Kumpulan seutua." />
</div>
<p>
175-senttisten ihmisten lukumäärä varmaan löytyy jostain tietokannasta, joten tehtävä ei ole kovin vaikea. Aika usein ihmisen pituus rekisteröidään sentin tarkkuudella, joten oikeammin kysymys on, onko uhrimme 174,5–175,5 senttiä pitkä.
</p>
<p>
Mutta lisätäänpä tarkkuutta. Vetäistään takataskusta kunnollinen mittalaite ja mitataan millin tarkkuudella. Nyt siis sallittu vaihteluväli on 174,95–175,05 senttiä. Selvästi todennäköisyys, että henkilö on millin tarkkuudella 175-senttinen on pienempi kuin sentin tarkkuudella leikittäessä.
</p>
<p>
Piipahdetaanpa sitten fysiikan laitoksella lainaamassa jokin huipputarkka ihmisenmittari ja metrologi sitä käyttämään. Millä todennäköisyydellä Satunnainen Henkilö on <i>ihan tasan</i> 175 senttimetriä pitkä?
</p>
<div style="clear: both; text-align: center;">
<img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhSLnu2cQiCSK9DsLQzTvmvpc_NhnxCYZoR_t4qtVmBiA0J-BqXKx_2gC-abA3Hj0vnwJr5EkbmQePaD-sb8wJW25ec3MHlvIPVQzYpbVg83p9h6LGaJpmDTmmxm44M4PEti6pMvHr98fVs/s1600/Metrologi.png" style="max-width:70%;box-shadow:none;border:0;" alt="METROlogi, ei meteorologi." title="Hetken kuluttua: 'Täälläkö tarvittiin joukkoliikennesuunnittelijaa?'" />
</div>
<p>
Sen perusteella, että todennäköisyys pienenee mittanauhan parantuessa, ei ole vaikea arvata oikeaa vastausta. Se on nolla. Saman ajatusleikin voi tietenkin toistaa mille tahansa pituudelle samoin tuloksin. Kuitenkin jokaisella ihmisellä on pituus<a href="https://fi.wikipedia.org/wiki/L%C3%A4hdesara"><sup>[lähde?]</sup></a>, joten pakkohan niiden lukujen on olla nollaa suurempia. Mikä on vialla?
</p>
<p>
Vaikeus johtuu kolmen asian yhdistelmästä: jokaisella pituudella on oltava todennäköisyys, äärettömän tarkasti mitattavia pituuksia on äärettömän monta, ja pituuksien todennäköisyyden summan pitää olla $1$. Tässä siis oikeastaan halutaan, että $\infty \times 0 = 1$.
</p>
<p>
Jo lukiossa tämä ongelma opitaan kiertämään tiheys- ja kertymäfunktioiden avulla. Tiheysfunktio on ei-negatiivinen funktio, jonka alle jäävä pinta-ala on tasan $1$. Kuitenkaan tiheysfunktion arvo jossakin pisteessä ei tarkoita kyseisen pisteen todennäköisyyttä — se voi jopa olla ykköstä suurempi.
</p>
<div style="clear: both; text-align: center;">
<img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjidJCHTMDCy54er9O2nT6h269UP3TFziJd9MOv94Jmu-n0W4SJ4QIIFk473LKrJ64_nBM-fMgILun9f0evUzAAd5d6CMrEkZiC7nOJJ4FytLg9y6MK1hfaETyF9BFTM-rp0yNrePX8BOPU/s1600/Normaalijakauma.png" style="max-width:60%;box-shadow:none;border:0;" alt="Normaalijakauman tiheysfunktio." title="[Lisää vitsi paranormaalijakaumasta napauttamalla]" />
</div>
<p>
Nyt kuitenkin meillä on pieni teoreettinen ongelma. Jos pituutta mitataan sentin tarkkuudella, jokaiselle pituudelle on todennäköisyys. Jos pituus ajatellaan jatkuvaksi suureeksi, täytyy pyöritellä tiheysfunktiota. Miten nämä kaksi lähestymistapaa voidaan yhdistää yhdeksi käsitteeksi nimeltä todennäköisyys?
</p>
<p>
Tässä kohtaa $\sigma$-algebrat astuvat kehään. Eri tapahtumat voidaan ilmaista joukkoina ja niiden todennäköisyys joukon <i>mittana</i>. Nyt kahdessa tapauksessa kyse onkin vain siitä, ovatko joukot äärellisiä vai äärettömiä. Ainoa ongelma kiinnostuneelle pikku matemaatikolle on se, että mitan käsite tulee vastaan matematiikan kandiohjelman viimeiseksi tarkoitetulla kurssilla.
</p>
<div style="clear: both; text-align: center;">
<img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhi97z0E0Tdfh2I4xdJ0PiQAgKHTqFt4uB267QaWPhxtvDyPtLmIo8OpWrPLsaM3OSSFss5qAt5h71dil9L96aw_Kr7BajpWe7VRIQCxcT-WjQGKGB1YxZVi4Jw__oELk_udp9r4IdEjz4F/s1600/Mitta.png" style="max-width:80%;box-shadow:none;border:0;" alt="Mitta ja integraali - suoraan hornasta!" title="Odotan, että ensi vuoden kurssisivulla on tämä kuva." />
</div>
<p>
Tämä on mielestäni yhtä aikaa todella kiehtovaa ja todella kauhistuttavaa. Suht helposti käsiteltävä, välillä jopa intuitiivinen, asia vaatiikin taustalleen valtavan raskasta matemaattista koneistoa, jonka perusteleminen on maisterikurssien juttu. Käytännössä kaikki muu lukiomatematiikka pystytään todistamaan ensimmäisen opiskeluvuoden aikana.
</p>
<p>
Samalla siinä kuitenkin on jotain kaunista. Helpotkin kysymykset voivat vaatia vaikeita vastauksia, ja matematiikka todella onkin kuin jäävuori, josta alkuun näkyy vain pieni osa. Kaikkein parasta on, että näihin kysymyksiin voi vastata. Ja siksi minut nähdään myös Todennäköisyyslaskenta kakkosella.
</p>
Petri Laarnehttp://www.blogger.com/profile/02918099887181866034noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-6928022722273734349.post-19636348082730166162018-04-18T08:30:00.000+03:002018-04-18T08:30:00.436+03:00Avoin kirje tv-yhtiöille<p>
Hyvät ohjelmapäälliköt, tuottajat ja muut lukijat: olemme kaikki kuulleet, kuinka tosi-tv tyhmentää kansaa ja laadukkaista tiedeohjelmista leikataan. Selvästi kuitenkin reality-ohjelmat kiinnostavat yleisöä, joten ymmärrän halunne keskittää tuotantoa niihin. En kuitenkaan keksi mitään syytä, miksi tunteet ja tiede olisivat toisensa poissulkevia.
</p>
<p>
Ajatusta havainnollistaakseni olen kehitellyt joitakin esimerkkejä konsepteista, jotka voisivat vedota niin syvimpään sohvaperunaan kuin paatuneimpaan matemaatikkoon.
</p>
<h3>Ei elämää</h3>
<p><i>
Seitsemän pitkän uran tehnyttä matemaatikkoa kokoontuu viettämään viikon syrjäisellä mökillä. Kullakin heistä on oma päivänsä, jona muut vieraat esittävät omat todistuksensa hänen ikimuistoisimmille lauseilleen.
</i></p>
<p>
Kun algebrikot, analyytikot ja loogikot kohtaavat toistensa klassikoiden merkeissä, ei kyyneliltä voi välttyä. Tämä on ehdottomasti vuoden suurin viihdeilmiö.
</p>
<a name='more'></a>
<h3>$X$ Factorize Suomi</h3>
<div style="clear: both; text-align: center;">
<img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEja4kIIGs2uivcf9EMe7wLzMFkNNEaklmTZ8s-2yhgGhbWizBnZD7arJ6-uccBmG2qd3otHs-byzRxFYw0dyYTgexwyouxgr-VcYw59P4g9jHha35TzjJKfS0X3lmt_j4q16vtKDvBOhyV1/s1600/XFactorize.png" style="max-width:85%;box-shadow:none;border:0;" alt="Neliön täydentämistä räpäten!" title="(x+1)(x+3)" />
</div>
<p><i>
$X$ Factorize Suomi on päässälaskukilpailu, jossa etsitään laskijoita, jotka rakastavat tekijöihinjakoa, osaavat estimoida, uskovat omiin kykyihinsä ja joissa on sitä tähtipölyä, joka tekee yhtälöiden pyörittelystä siistiä. Ohjelman tuomareina nähdään joukko eturivin Fermi-arvioijia ja 60-luvulta kaivettuja matikanopettajia.
</i></p>
<p>
Kenen joukkueessa on kovimmat nollakohtien löytäjät ja luovimmat neliöntäydentäjät? Vain yksi voi voittaa, ja sen päätät sinä.
</p>
<h3>Bachelor of Science Suomi</h3>
<p><i>
Bachelor of Science Suomi -ohjelmassa päästään tutustumaan nerokkaaseen kandiopiskelijaan ja kahdeksaantoista huikeaan tutkijaan, jotka kilvoittelevat kandityön ohjaajan paikasta. Vain yksi heistä voi saada kandin omalle alalleen. Luvassa on tunteiden paloa, liitutaulun kirskuntaa ja yllättäviä käänteitä.
</i></p>
<p>
Moni elämänvalinta on jälkikäteen muutettavissa, mutta opinnäytteet pysyvät. Maisterivaiheeseen siirtyvän opiskelijan pohdinta sovellettujen ja teoreettisten matematiikan alojen välillä herättää tunteita ja mielipiteitä jokaisessa. Päätöksensä tehneen kandin myöhempää elämää voidaan seurata <i>Ensitreffit graduseminaarissa</i> -ohjelmassa.
</p>
<h3>Bayes vs. Fisher</h3>
<div style="clear: both; text-align: center;">
<img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj8ExtokmrD_TzFrr-885dTLfCYKrX-97ezMYhh6z6g5UxFdZCqdvakPlaK2sYRqlnWDr8b3wL2WQ8Map-_MHUJAHJJGbsOinXn4cq6Y-jmgVcHcr1ZD5ZNoATd3E4GK86yZjjfyEVYMW5N/s1600/BayesVsFisher.jpg" style="max-width:85%;box-shadow:none;border:0;" alt="Mitä luokkaa uskotte todennäköisyyden olevan?" title="Voittaja pääsee arpomaan matkan Englantiin, Tilastokeskukseen tai Survomoon." />
</div>
<p><i>
Bayes vs. Fisher on koko perheen viihteellinen tietovisa, jossa tilastotiede jaetaan kahtia. Trendikkäät bayeslaiset ja käytännönläheiset frekventistit ottavat toisistaan mittaa leikkimielisessä kilpailussa koko tieteenalan hallinnasta.
</i></p>
<p>
Tässä ohjelmassa koko kotisohvallinen saa osallistua todennäköisyyksien arviointiin ja tilastojen tulkintaan.
</p>
<h3>Ryhmä Tau</h3>
<p><i>
Permutaatiopoppoo säntää auttamaan! Pienet $S_3$-ryhmän permutaatiot elävät tavallista funktioiden elämää, kunnes vastaanotin hälyttää. Silloin heistä tulee pelastuspartio, joka rientää hätää kärsivien kansalaisten avuksi. Alkiot muodostavat aliryhmiä ja sivuluokkia, joiden avulla he selviävät mistä vain.
</i></p>
<p>
Hyväntuulinen animaatiosarja opettaa lapsille (ja miksei aikuisillekin) yhteistyön ja algebran merkitystä.
</p>
<h3>Softaperunat</h3>
<div style="clear: both; text-align: center;">
<img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgo3CgRNfZeCs_L0cAB7zVpfAOQKUr57Z0q2wbEvT7i3btk9fF6q-eqSd5-Gtrbu7UeWWn_JL8q_-A0lSEI5QdIL_RVC7KjmR24-N29G4xStGp0WkATU2cB292IPzf2hHXbK63S3M3CWo94/s1600/Softaperunat.png" style="max-width:85%;box-shadow:none;border:0;" alt="Sanonko kenellä oli syntax error kun mitä teki?!" title="Ja lukiossa kiellettiin ylikäyttämästä puolipistettä!" />
</div>
<p><i>
Joka päivä tuhannet opiskelijat suorittavat ohjelmoinnin peruskursseja mikroluokissa. Mutta mitä jos tietokoneet katselisivatkin heitä? Mitä ne näkisivät? Nyt selviää, mitä mieltä fuksit oikeasti olivat viikon harjoitustehtävistä.
</i></p>
<p>
Tässä on varmastikin maailman samastuttavin tosi-tv-ohjelma. Huomautus: Kokeneempien koodaajien kielenkäytön johdosta sarjaa <strike>ei suositella</strike> suositellaan myös perheen pienemmille, jotka pohtivat tulevaa uravalintaansa.
</p>
<p style="margin-top:4em;">
Toivottavasti nämä ehdotukset inspiroivat tulevaa tuotantoanne. Olen mielelläni yhteydessä sekä konseptien jatkokehittelyä että varsinkin lisensointisopimusten solmimista varten. Ystävällisin terveisin,
</p>
<p>
<i>Petri Laarne</i>
</p>
<hr style="margin-top:4em;width:70%;">
<p>
Keksitkö jotain vielä hauskempaa? Jaa se kommenteissa!
</p>Petri Laarnehttp://www.blogger.com/profile/02918099887181866034noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-6928022722273734349.post-22822325492615114892018-04-05T08:30:00.000+03:002018-04-05T08:30:42.408+03:00Viime viikon maailmanloppu<div style="clear: both; text-align: center;">
<img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjxOHmsf1e9UeVSp35v88ebcjdPONbDxYrToLapt4ql26nOtQUMzcqLpvsD-bRANs4tECuHlurXlOpsR0lIWeBYARe055R09W1oMgih2poP3HxaCkAjFfcysRXMdculKmW2MV_yuGa2SyyX/s1600/Maailmanloppu.png" style="max-width:90%;box-shadow:none;border:0;" alt="Taas yksi avaruuskuva." title="Tämännäköisiä kuvia on aika helppo tehdä, okei?" />
</div>
<p>
Sopivasti pääsiäisen alla muun muassa Helsingin Sanomat uutisoi iloisella otsikolla "<a href="https://www.hs.fi/tiede/art-2000005619043.html">Tutkijat laskivat: Maailmankaikkeus saattaa olla jo tuhoutumassa, emmekä edes ehtisi reagoida siihen</a>". Uutinen kertoo tuoreesta tutkimusartikkelista, joka ennustaa juurikin otsikossa kuvaillun maailmanlopun skenaarion.
</p>
<p>
Itse olisin korostanut asian epätodennäköisyyttä ja taustaa ehkä enemmänkin, mutta minusta ja artikkelin kirjoittajasta vain jälkimmäinen on alansa ammattilainen. Artikkeli sitä paitsi on ihan hyvin kirjoitettu, ja vieläpä linkkaa alkuperäiseen tutkimukseenkin. Jutusta minulla ei siis ole mitään moitittavaa. Sen sijaan jäin miettimään, kuinka epätodennäköinen maailmanloppu oikeasti on.
</p>
<p>
Selasin siis läpi <a href="https://journals.aps.org/prd/abstract/10.1103/PhysRevD.97.056006">alkuperäisen tutkimusartikkelin</a>, josta en tietenkään pelkällä lukiofysiikalla pysty sanomaan liikaa. (Sinua on varoitettu: teen varmasti monentasoisia virheitä!)
</p>
<a name='more'></a>
<h3>Ei läheskään kaiken teoria</h3>
<p>
Pohjimmiltaan kaikki koostuu hiukkasista. Atomit koostuvat protoneista ja neutroneista — jotka itsessään koostuvat ylös- ja alas-kvarkeista — sekä elektroneista. Näiden lisäksi on kuitenkin kourallinen muita hauskoja hiukkasia, jotka ilmenevät erilaisissa prosesseissa ja välittävät voimia. Kollektiivisesti näitä kutsutaan alkeishiukkasiksi, vaikka onkin mahdollista, että ne koostuvat jostain vielä pienemmästä — sitä vain ei nykytekniikalla voi tietää. (Hyvä opas tietomme aukkoihin on hiljattain vinkkaamani <a href="http://www.nollakohta.fi/2018/03/lukuvinkki-we-have-no-idea.html">We Have No Idea</a>.)
</p>
<p>
Tällä hetkellä hiukkasten ominaisuudet selittää parhaiten <i>standardimalli</i>, alkeishiukkasten vastine jaksolliselle järjestelmälle. Se on 1900-luvun fysiikan suuri saavutus ja selittää lähes kaiken hiukkasista... mutta vain lähes. Muun muassa sellaiset pikkupikkujutut kuin pimeä energia/aine ja painovoima ovat vielä ulkopuolella. Parempaa teoriaa odotellessa standardimalli täyttää kuitenkin käytännön tarpeet mainiosti.
</p>
<div style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://xkcd.com/1862/"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhS9WX6mJGWGYB-BhpYDyI5YpMdlhl4U_CAlf6L3RJNgknaGJkqid6OY9Trkq0NSa0_DjIIzXXGNA-BnYLHfV-FNNGMAuy5LbLUwnM_P4m0qY5n_U0V79VR0rZjBl2OLyF9gdf99Rjf4m0W/s1600/Standardimalli.png" style="max-width:70%;box-shadow:none;border:0;" alt="Yksi arkki riittää! Mukana paristot! Tilaa heti!" title="Liiallisella käytöllä saattaa olla laksatiivisia vaikutuksia." /></a>
</div>
<p>
Hiukkasten maailmassa kaikki on toisin kuin isossa mittakaavassa: siellä nimittäin vaikuttaa kvanttimekaniikka, johon kuuluu jatkuva satunnaisuus. Hiukkaset ovatkin sekä hiukkasia että aaltoja. Mitään mittausta ei voi tehdä tarkasti. Hiukkanen saattaa siirtyä esteen toiselle puolelle. Tyhjiöön ilmestyy jatkuvasti uusia hiukkasia, jotka katoavat samassa silmänräpäyksessä kuin tulevat.
</p>
<p>
(Mainittakoon muuten, että parhaatkin maanpäälliset tyhjiömme ovat ulkoavaruuden tyhjiöön verrattuna kuin Sokos joulun alla. Ei siis kirjaimellisesti täynnä mummoja, vaan... no, ymmärrät varmaan.)
</p>
<p>
Standardimallin taustalla on kvanttikenttäteoria, joka selittää hiukkaset eräänlaisten kenttien viritystiloina. Kuten jokainen teinin nähnyt tietää, asioilla on tapana etsiä mahdollisimman vähäenerginen tila. Vesi ja teinin ryhti valuvat alaspäin, koska siten ne minimoivat potentiaalienergiansa Maan painovoimassa. Mutta entäpä jos teini tai kenttä onkin vain kuopassa, jonka vierellä olisi syvempi kuoppa?
</p>
<div style="clear: both; text-align: center;">
<img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEit_Ky0JYd6CmSXqDkjRkXvNdv03dZoB-7JWsIuFDgAVa00Fq0RCwftG4g-M4xjpUuhBBg-7IiBOcRaThBB_kPyOaaJgHW4Q3n22orPVAo00xePzI7b3HU891_EEqIpuKUWoK0ZqcAE9q3f/s1600/Teini1.png" style="max-width:70%;box-shadow:none;border:0;" alt="Teini röhnöttää kuopassa." title="Kuvitus ei missään nimessä perustu omiin kokemuksiin." />
</div>
<p>
Jos teini toimii kvanttimekaanisesti, hän saattaa jossain kohtaa vain hypätä kummun läpi ja luisua yhä alemman energian tilaan.
</p>
<div style="clear: both; text-align: center;">
<img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiIywjEbbMeHAG5wxe3qpfusvHiHuCFH-zEbPTPUAQPVgZ8zZNIRmnV7ZujGOjo8TpgOP5HxGHi_-67kIfuX1vcGCfOrfulSlzdbuQ2FETjY0RmCPLjUKdEfDCiPrGVghZXsfEY83tBs3sI/s1600/Teini2.png" style="max-width:70%;box-shadow:none;border:0;" alt="Teini retkottaa syvemmässä kuopassa." title="Fyysikot kutsuvat ilmiötä ES-tunneloitumiseksi." />
</div>
<p>
Jos näin käy teinille, kukaan ei ylläty. Mutta jos niin käy hiukkaset muodostavalle kentälle, kaikki yllättyvät. Silloin nimittäin hiukkasiin pätevät luonnonlait menevät uusiksi, ja se ei tee vanhanaikaisille hiukkasille hyvää. Syntyy valonnopeudella laajeneva kupla, joka tuhoaa edetessään kaiken.
</p>
<p>
Tämä on se mekanismi, jolla Higgsin bosoni ja hiukkaskiihdyttimet aiheuttavat maailmanlopun. Maapalloon tosin mäjähtää avaruudesta joka hetki paljon energisempiäkin hiukkasia, jotka eivät ole (toistaiseksi) aiheuttaneet apokalypsiä. Yllättävää kyllä, tämän Hollywood-fysiikan taustalla on silti ihan oikeaa tiedettä!
</p>
<h3>Ei niin todennäköinen loppu</h3>
<p>
Meidän kannaltamme olennainen asia on tapahtuman todennäköisyys. Kuinka paljon elinaikaa universumilla on jäljellä? Tämä on sen verran olennainen kysymys, että vastaus löytyy artikkelista parinkymmenen sivun tiukkojen perustelujen jälkeen.
</p>
<div style="clear: both; text-align: center;">
<img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgkV6s-aoRmRfldX-xcBGEySNzlRkivuzh1-z54Ao-dw03fzBqyUXelPrLTZWPuhb_y1QRIuZDZtTYcHTNBSZ0059LsBepore_CITFH7VqMo0sdY28fl-G2acOEzTy-1OvYGxQGN-QkxeIs/s1600/Tiedelukeminen.png" style="max-width:85%;box-shadow:none;border:0;" alt="" title="4. Toista, kunnes lähdeluettelosi on tarpeeksi vakuuttava." />
</div>
<p>
Lukuarvo on... (rummunpärinää... kiusallisen pitkä odotus... juontaja kääntyy kameraan päin...)
</p>
\[
10^{139^{+102}_{-51}}~\text{vuotta}.
\]
<p>
Suomeksi se tarkoittaa sitä, että kohtalaisella varmuudella universumin eliniänodote on ainakin $10^{139-51} = 10^{88}$ vuotta. Tähän mennessä ikää on kertynyt rapiat $10^{10}$ vuotta. Siispä ennustetusta ajasta on kulunut nyt yksi 1000­00000­00000­00000­00000­00000­00000­00000­00000­00000­00000­00000­00000­00000­00000­00000-osa.
</p>
<p>
Kuten television paneeliohjelmassa sanotaan, ei pidä olla huolissaan.
</p>
<p>
Koska kvanttimaailma on satunnainen, mikään ei periaatteessa estä tuomiopäivän heilahdusta tapahtumasta nyt, tai toissapäivänä, tai kuusikymmentä miljoonaa vuotta sitten tiistaina. Tutkijat kuitenkin arvioivat myös todennäköisyyden sille, että tuntemamme maailma olisi tuhoutunut tähän päivään mennessä. Koska tähän päivään mennessä on kulunut miljardeja vuosia ja tuhatkin vuotta on siinä skaalassa kärpäsenkakka, samalla saadaan roima yliarvio lopun todennäköisyydelle lähiaikoina.
</p>
<p>
Tutkijoiden ylin arvio todennäköisyydelle on $10^{-314}$. Tämä tarkoittaa lukua, jossa on nolla, pilkku, 313 nollaa ja ykkönen. Elikkä siis 0,00000­00000­00000­00000­00000­00000­00000­00000­00000­00000­00000­00000­00000­00000­00000­00000­00000­00000­00000­00000­00000­00000­00000­00000­00000­00000­00000­00000­00000­00000­00000­00000­00000­00000­00000­00000­00000­00000­00000­00000­00000­00000­00000­00000­00000­00000­00000­00000­00000­00000­00000­00000­00000­00000­00000­00000­00000­00000­00000­00000­00000­00000­1.
</p>
<p>
Tämä luku ei välttämättä ole täysin intuitiivinen, joten palataanpa kymmenpotenssimuotoon. Lottovoiton todennäköisyys on osapuilleen $10^{-7}$. Koska $314 \approx 45 \cdot 7$, todennäköisyys sille, että maailma olisi ehtinyt loppua tähän mennessä on suunnilleen sama kuin se, että voittaisit vuoden ajan joka viikko Lotossa, yhdellä rivillä per kierros. Se ei kuulosta enää niin todennäköiseltä, ja kyseessä oli vain pahin mahdollinen skenaario!
</p>
<p>
Jos muuten aiot tehdä tämän tempun, suosittelen pelaamaan mieluummin Eurojackpotia. Kierroksia ei tule kovin montaa vähempää — ja rivin korkeampi hinta tarkoittaa isompia kuluja — mutta kierroskohtaiset voitot ja hupaisan kansainvälisen selkkauksen riski ovat huomattavasti suurempia.
</p>
<div style="clear: both; text-align: center;">
<img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgMebzwsnSA6xOjXD73AzNbi_87WGwMwEJwqg2kHSi2uuNcTieSOx3nZsgQpDtI-ReD1BQYsS2RtCBDWuaB2c3_bVp2YhFA9GHpM1s7ZpUZ2KqIqeXdmVMsUW2xIjuiMns6ZEjdC3I3LHjL/s1600/Lottoaja.png" style="max-width:80%;box-shadow:none;border:0;" alt="Miksi pelaat edelleen?" title="Tässähän hupaisa peli, mikäs tämän nimi taas olikaan..." />
</div>
<h3>Kaiken mahdollisen teoria</h3>
<p>
Mutta mistä se otsikon "Maailmankaikkeus saattaa jo olla tuhoutumassa" sitten tulee? Syypää on äärettömyys. Maailmankaikkeus, jonka me näemme, on äärellinen, koska valolla on äärellinen nopeus. Kauempaa lähtenyt valo ei ole vielä <i>ehtinyt</i> tänne. Toisaalta näkyvä osa on isompi kuin alkuun luulisi, koska maailmankaikkeus paisuu kuin pullataikina ja siksi kaukaiset jutut ovat joskus olleet lähempänä. Mutta kuinka iso <i>koko</i> maailmankaikkeus on, sitä ei kukaan tiedä (vielä).
</p>
<div style="clear: both; text-align: center;">
<img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhDgI0fOcsdhJhD_YS_ojc52nZFio97qqeYX-R1YjQFnv623Ufw6MScB7GXq_NUr7bwfrK0ox9afeuoDquX4w077XG2dKDetQJVog-f-Lswwgi4emibx0qqF0v8b-mMgoL32SLyhyphenhyphenfhG4Xn/s1600/KokoUniversumi.png" style="max-width:50%;box-shadow:none;border:0;" alt="Koko universumi on kilpikonnan muotoinen." title="Planck-satelliitin kuva viime vuodelta." />
</div>
<p>
Jos universumi on äärettömän suuri, jossain nurkassa maailmanloppu on alkanut. Äärimmäisen pieni todennäköisyys kertaa ääretön on näet edelleen ääretön. Eri asia on, saavuttaako tyhjiökupla koskaan meitä, tai onko universumi todella ääretön vaiko vain valtava.
</p>
<p>
Hiljattain edesmennyt fyysikko <b>Stephen Hawking</b> piti mahdollisena, että universumeja — äärettömiä tai äärellisiä — on äärettömän monta erilaista, kaikki eri luonnonlaein tai hieman poikkeavin satunnaisin tapahtumin. Koska mitä tahansa voi tapahtua kunhan tarpeeksi monta sattumaa kohtaa, seuraus on, että kaikki on mahdollista. (Vielä kun universumien välillä voisi siirtyä...)
</p>
<p>
Erään esitelmän jälkeen Hawkingilta kysyttiin, mitä hän ajattelee <b>Zayn Malikin</b> erosta One Direction -poikabändistä. "Viimeinkin tärkeä kysymys," Hawking aloitti, ja sitten totesi, että jos maailmankaikkeuksia todella on useita, jossakin niistä Zayn vielä kuuluu bändiin — ja vieläpä on onnellisesti naimisissa kysyjän kanssa.
</p>
<p>
Älä ikinä väitä, etteikö teoreettinen fysiikka vastaisi elämän olennaisiin kysymyksiin.
</p>
<div style="clear: both; text-align: center;">
<img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiBoNZ-JeUaHDN6urRdnJeModmnb4ynEzibTD5PyTXpVGgf_GJchPCZEgP-Ve1w5Ab_B4U5w6ktK2CyIVOLnhOSzlCExJ9M5xZakG0V8mYW8lC1Rx8bEDsMV6ULcXr64F2NpMoSoZ6-YFML/s1600/Hawking.png" style="max-width:80%;box-shadow:none;border:0;" alt="- Jossain universumissa siis kaikki pitävät matikasta JA ruotsista! - Ääretön kertaa pieni luku, ei kertaa nolla." title="Siinä universumissa Hawking myös voittaa kaikki vetonsa." />
</div>
Petri Laarnehttp://www.blogger.com/profile/02918099887181866034noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-6928022722273734349.post-35595120170667041672018-03-28T08:30:00.000+03:002018-03-28T08:30:07.509+03:00Karin karttakeppitehdas<div style="clear: both; text-align: center;">
<img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg4bZm27ubmA8Pgw825N7px6tDGRwElKYj3kQGAiFVX5tOVbJpNAiUlNbes2P_Nth9GJiKcN3FDy6YPk6-kvGo-4c0NW4FB9r-zWtLutnBoP-EWrxgTIDEBjrEWGFaBBMQIAdjnrkOJV-Oh/s1600/KarinTehdas.png" style="max-width:90%;box-shadow:none;border:0;" alt="Karin karttakeppi oyj" title="Kaikki, jotka tiedätte kenestä puhun: näiden kuvien tilalla pitäisi todellakin olla kalvopiirustukset." />
</div>
<p>
Mitä eroa on keskiarvolla ja mediaanilla — ja ennen kaikkea, kumpaa niistä nyt pitäisi katsoa? Varmaankin olet kuullut, että keskiarvojen tuijottaminen on huono idea. Toisaalta keskiarvoista puhutaan niin paljon, ettei mediaanikaan voi olla ihan ylivoimainen.
</p>
<p>
Kuten maailmassa yleensä, yhtä oikeaa vastausta ei ole. Asian selvittämiseksi siirtykäämme hämyiselle teollisuusalueelle...
</p>
<p>
<b>Kari</b> omistaa tehtaan, karttakeppitehtaan. Viime vuosikymmenen opetusteknologinen rakennemuutos on johtanut tehtaan toimintojen sopeuttamiseen, toisin sanoen firmassa työskentelee enää parikymmentä ihmistä ja heistäkin osa vajaita tunteja. Lähdetäänpä tutkimaan hieman palkkojen jakautumista eri keskilukujen avulla.
</p>
<a name='more'></a>
<h3>Keskiarvo</h3>
<p>
Keskiarvon laskeminen on kaikille tuttua: palkkojen summa jaetaan palkansaajien määrällä.
</p>
<p>
Karin firmassa keskipalkka on 2650 euroa. Ei kai ihan huonommin matalalle teollisuudelle? Mutta otetaanpa toinen luku: muiden työntekijöiden kuin toimitusjohtaja Karin keskipalkka on... 2160 euroa. Puoli tonnia vähemmän!
</p>
<p>
Tämä havainnollistaa hyvin sitä, että äärimmäiset arvot voivat vaikuttaa keskiarvoon tuntuvasti. Lukujen vertaaminen kertoo myös siitä, että vanha kapitalisti tietää, mistä kate tulee — ja mitä sillä voi tehdä. (Harjoitus: kuinka suuri Karin palkka on?)
</p>
<div style="clear: both; text-align: center;">
<img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjrlJLAYb8OlTLeCxQVhVA7vQmb9SZ88KZxv-2ndH9JXS7M1DvOp2EB7VUOpprPp0Wg0yo_rJ4dwgnBA4wdKaAq1yzD0B2ajxb7q0bT7yodo-uc3gdyxMi1xmwS5VOYycKFT0izA11MpMbv/s1600/SigmaAlgebra.png" style="max-width:80%;box-shadow:none;border:0;" alt="Yliopistolaiset kohtalaisen kiinnostuneita sigma-algebroista. Kuvassa hyvin innostunut matemaatikko." title="Pitäkää humanistibileenne!" />
</div>
<p>
Tilastokeskus <a href="http://stat.fi/til/perh/2016/perh_2016_2017-05-26_tie_001_fi.html">tietää kertoa</a>, että keskimäärin suomalaisessa lapsiperheessä on 1,85 lasta. Kuitenkin tavanomaisella asuinalueella ympärilleen katsellessa näkee vain kokonaisia lapsia. Keskiarvon ei ilmiselvästi tarvitse olla mahdollinen arvo!
</p>
<p>
Sama pätee palkkarakenteeseen. Yksikään Karin työntekijöistä ei saa 2160 euron palkkaa. Kohta selviää, miksei.
</p>
<h3>Tyyppiarvo</h3>
<p>
Moodi on Helsingin yliopiston tilastotieteen ainejärjestö. Tyyppiarvo taas on <a href="http://tyyppiarvo.com/">sen järjestölehti</a>.
</p>
<p>
Moodi eli tyyppiarvo myöskin tarkoittaa aineiston yleisintä lukua. <i>Keskimääräisessä</i> lapsiperheessä saattaa olla 1,85 lasta, mutta saman tilaston mukaan <i>useimmin</i> lapsiperheessä on tasan yksi lapsi.
</p>
<p>
Palkat tosin taitavat usein riippua niin monesta tekijästä, että harvemmin kahdella työntekijällä on sama liksa. Karin lafkassa näin ei ainakaan ole, joten tyyppiarvosta ei ole mitään hyötyä. Siksi moodi on jäänyt tunnusluvuissa vähän samaan asemaan kuin Moodi ry opiskelijahuoneiden jaossa: kellarin hämärään nurkkaan. (Mutta ilmapiiri on sitäkin mahtavampi!)
</p>
<div style="clear: both; text-align: center;">
<img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjRB2gx_7iTIbhcB7U_OfL5ikLSSUI58cR2x-t67X7m3BQMHJPWoJccNYKjqQOlDWS3oeefnaSgcd5RNKqLoD7gV3IuZgkBoU8XxnvIozu40dDbJ2QYWTak-z1YL7li7yW3bs_Zw4N4fxvB/s1600/Survomo.png" style="max-width:80%;box-shadow:none;border:0;" alt="Puhkikulunut sohva ja huonoa huumoria." title="Silti kaikkein paras opiskelijahuone!" />
</div>
<h3>Mediaani</h3>
<p>
Mediaani saadaan laittamalla palkat suuruusjärjestykseen ja valitsemalla keskimmäinen. Se siis kertoo, missä palkkojen puoliväli menee: puolet saa vähemmän ja puolet enemmän.
</p>
<p>
Karin tehtaassa palkkojen mediaani on 1750 euroa. Se kertookin jo karumman kuvan: ainakin puolet työntekijöistä saa enintään tuon suuruista palkkaa.
</p>
<p>
Mediaania käytetään usein keskiarvon sijasta, koska ääripäät eivät vaikuta siihen samalla tavalla. Mediaani on kirjaimellisesti keskellä aineistoa ja siksi kuvaa paremmin "tyypillistä" arvoa. Sekään ei kuitenkaan ole täydellinen, koska luvut eivät välttämättä ole tasaisesti jakautuneita.
</p>
<h3>Persentiilit ja histogrammit</h3>
<p>
Jos mediaani kerran kertoo puolestavälistä, mieleen tulee, voisiko sitä yleistää. Vilkaisu nettiotsikoihin kertoo, että kyllä voi: klikkaa nähdäksesi, paljonko rikkain prosentti tienaa!
</p>
<p>
Yksi todella hyödyllinen tapa on jatkaa suuruusjärjestykseen pistetyllä palkkalistalla, mutta jakaa se neljänneksiin. Kuvan muodossa tämä esitetään usein viiksilaatikoilla, joissa viikset esittävät koko palkkajakauman ja laatikko sen alueen, jolla keskimmäiset kaksi neljäsosaa palkoista ovat.
</p>
<div style="clear: both; text-align: center;">
<img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjWLTL13JVo1VAkDrCULfgY_axWqC-EDCoYiY-pRROpX6_M7ZTiYRwK9yLXZEgGWuYGyFiGui8pZQSOyMdd4ooLcgSCGp9-iSzdA9L43tL-E2i5kbXrrKydmmOVO11r1YSQdlt_MXFGQQxl/s1600/Laatikko.png" style="max-width:60%;box-shadow:none;border:0;" alt="Laatikon päällä on melko pitkä viiksi." title="xkcd.com/1798" />
</div>
<p>
Saman voi esittää toisellakin tavalla, nimittäin histogrammina. Histogrammi on hieno nimitys pylväskaaviolle, jossa vaaka-akseli on jaettu tasaisiin paloihin ja pylvään korkeus kertoo, kuinka moni palkansaaja kuuluu palaseen. Jos Karin tehtaan palkkalista jaetaan palasiin, joiden leveys on 500 euroa, saadaan tämännäköinen kuva...
</p>
<div style="clear: both; text-align: center;">
<img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgk_UEBlR0O-263O_U8zDY1HY1aYhTAZCr7-FmMwtz449mq89ekX9LBKQSWDyl1BOQOXWBMin289bibHUoe17ntT-rvMSA-nbTD_Or294tw6JQ6MzheHE5TgFIEuZ3-7Nk4zk3GNic-IYiC/s1600/Histogrammi.png" style="max-width:70%;box-shadow:none;border:0;" alt="Kaksi rypästä ja kaukana pidemmällä yhden hengen pylväs." title="Aika normaali jakauma." />
</div>
<p>
...ja nyt ainakin on ilmeistä, minkälainen henkilöstörakenne firmassa on! Kari maksaa sorvaajille vähän, keskijohdolle ja myynnille kohtuu runsaasti ja itselleen sitten pikkaisen extraa eläkekassaan. Vaikka matemaatikot liitutauluja vielä ostavatkin, alkaa karttakeppimaakarin olla hyvä aika feidata.
</p>
<p>
Tarinan matemaattinen opetus on yksinkertainen: ei ole yhtä oikeaa keskilukua. Sen sijaan ne kaikki ovat yleensä jotenkin väärässä. Liian usein monimutkaisia asioita yritetään tiivistää yhteen ainoaan lukuarvoon, ja silloin menetetään paljon. Vai mitä sanot allaolevista kuvaajista? Jokaisen keskiarvo ja mediaani on 3.
</p>
<div style="clear: both; text-align: center;">
<img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjX_pIf6pH_FC4wlmhI27ETqSgrjOScvMSjcZOmunFMibkuBeZJVeDelYJ5IwVPrJQanIjrNgthZ7wLDHdBExiec3-qaGxK5F0_IJZMtJBL76hiEQ6_npouUR6AnyOBRSQ6YjbTmI7KQrMI/s1600/SamatLuvut.png" style="max-width:90%;box-shadow:none;border:0;" alt="Tasainen jako, ääripäihin keskittynyt jako, kellokäyrän mallinen jako." title="Kari siteeraa Frank Zappaa ja muistuttaa: I'm Only in It for the Money." />
</div>Petri Laarnehttp://www.blogger.com/profile/02918099887181866034noreply@blogger.com2tag:blogger.com,1999:blog-6928022722273734349.post-60413539954734513582018-03-13T08:30:00.000+02:002018-03-13T08:30:46.979+02:00Lukuvinkki: We Have No Idea<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg1Jz-3iLXC-y0rrs7z3vPLWfexPjchIb2vLSwrcQrMWWTWm1wcg2fv6W0qWYd_6vVfiVUFe6p_Pto1gw7OGdoRUiImvpPbUOdVRov56StnmNIUlsTm3rmURSa9oAwvhISFnXJ0FKkhEcG6/s1600/WeHaveNoIdea.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg1Jz-3iLXC-y0rrs7z3vPLWfexPjchIb2vLSwrcQrMWWTWm1wcg2fv6W0qWYd_6vVfiVUFe6p_Pto1gw7OGdoRUiImvpPbUOdVRov56StnmNIUlsTm3rmURSa9oAwvhISFnXJ0FKkhEcG6/s1600/WeHaveNoIdea.jpg" alt="" width="80%" /></a>
</div>
<p>
Viimeisimmästä lukuvinkistä on kohtalaisesti aikaa ja tenttiviikon jäljiltä pidempi blogaus vasta hautumassa, joten eiköhän oteta käsittelyyn kirja! Tänään vuorossa on <b>Jorge Chamin</b> ja <b>Daniel Whitesonin</b> <i>We Have No Idea</i> (Riverhead Books, 2017).
</p>
<p>
Kirjan aiheena on maailmankaikkeuden fysiikka (ei juurikaan matematiikkaa) ja jos pidit <b>Randall Munroen</b> <i>What If?/Entäs jos?</i> -kirjasta, pidät tästäkin. Siinä missä Munroe vastaili hypoteettisiin kysymyksiin ja samalla sivusi jänniä puolia maailmasta, Cham ja Whiteson kertovat siitä, mitä emme vielä tiedä — ja matkan varrella aika monesta tunnetusta jutusta. Mitä on pimeä aine? Kuinka suuri universumi on? Mitä "aika" ja "avaruus" ylipäätään tarkoittavat?!
</p>
<p>
Parempia oppaita näihin eksistentiaalisiin kysymyksiin saa hakea. Whiteson on hiukkasfysiikan professori, Cham suosittu akateemisen elämän popularisoija. Lopputulos on loistava sekoitus tiukkaa asiaa selkeästi selitettynä ja mitä hulvattomimmilla esimerkeillä havainnollistettuna. Juuri mitään taustatietoja ei tarvita, mutta lukiofysiikankin läpikäynyt löytää paljon uutta. Tätä voin rehellisesti suositella jokaiselle, jota maailmankaikkeus kiinnostaa eikä kielimuuri aiheuta ongelmaa.
</p>
<a name='more'></a>
<p>
Yhtäläisyydet What Ifin kanssa eivät muuten lopu teemaan. Munroe siirtyi robottien parissa puuhailusta nettisarjakuva <a href="https://xkcd.com">xkcd</a>:n tekijäksi. Cham puolestaan tutki robotiikkaa tohtoriopiskelijana ja siinä sivussa alkoi piirtää <a href="http://phdcomics.com/">PHD Comicsia</a>, sarjakuvaa akateemisesta elämästä (tai elämän puutteesta). Sen seurauksena tämäkin kirja on täynnä loistavaa ja humoristista kuvitusta.
</p>
<p>
Yksi puute kirjassa tosin on. Sitä on aivan mahdoton suomentaa.
</p>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgFJgyqzHpVGeuq153n17fP5G-Bn1WfMl613WyZQExlVYK0x5F8soKfp0yP0n7FVrkHMNSs1jVtGPgvYhDI5USr76XXa1g78BKY-t1JlL-KsHbuQEbip8oJ0p9F0a0Qyz22S6LUmeEw0aN_/s1600/Massively.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgFJgyqzHpVGeuq153n17fP5G-Bn1WfMl613WyZQExlVYK0x5F8soKfp0yP0n7FVrkHMNSs1jVtGPgvYhDI5USr76XXa1g78BKY-t1JlL-KsHbuQEbip8oJ0p9F0a0Qyz22S6LUmeEw0aN_/s1600/Massively.jpg" style="max-width:80%;" alt="- How many puns about mass do you think we'll have in this chapter? - A massive amount!" /></a>
</div>Petri Laarnehttp://www.blogger.com/profile/02918099887181866034noreply@blogger.com0