maanantai 4. kesäkuuta 2018

Huonosti käyttäytyvät funktiot

Yläkoulussa opitaan, mitä funktio tarkoittaa. Alkuun kirjaimilla laskemisessa on reippaasti sulattelemista, mutta sen jälkeen homma alkaa helpottua. Muutaman lukiokurssin jälkeen kaavaan sijoittamiset, kuvaajan piirtämiset ja derivaatan nollakohdan etsimiset sujuvat kuin vettä vain. Tämä kuitenkin on valheellinen käsitys, joka jättää katseen ulkopuolelle ison osan maailmasta.

Useimmat funktiot nimittäin ovat kaikkea paitsi kivoja.

tiistai 29. toukokuuta 2018

Kesä. Lukuristikko.

Sininen taivas Kumpulan kampuksella.

Taas on se aika vuodesta, jolloin verrataan lukioita, verrataan lukiovertailuja, verrataan lukioiden vertailijoita erilaisiin elämänmuotoihin, vedetään herne nenään netissä koko lukiojärjestelmästä ja niin edelleen. Joka tapauksessa: jotkut saavat lakin, jotkut saavat todistuksen ja jotkut pääsevät lomalle. Ja sehän voi tarkoittaa vain yhtä asiaa: Nollakohdan perinteinen (kyllä se tässä kohtaa on jo traditio) lukuristikko on täällä taas!

Ajan hengen mukaisesti ristikkoa on jälleen kerran leikattu. (Viime kevään ristikot löytyvät täältä ja talviset täältä.) Nyt ristikoita on tasan yksi kappale, ja vaikeustasoltaan olen asemoinut sen lähemmäksi helppoa kuin hankalaa. Tähän malliin ei tarvitse siis etsiä ratkaisuja ohjelmoimalla, mutta niin saa toki tehdä! Jos tuntuu liian helpolta, niin laita kaikki apuvälineet pois ja ratko pelkästään kynällä ja paperilla.

Enemmittä puheitta PAINA TÄSTÄ JA NAUTI. Kun olet valmis, kannattaa vilkaista myös ratkaisua!

Tämän myötä toivotan myös hyvää kesää niille lukijoilleni, joita tällainen toivotus kiinnostaa. Nollakohta päivittyy rauhallisella tahdilla sitä mukaa, kun kokopäivätyöltä ehdin. Olen Varianilla tekemässä softaa sädehoidon suunnitteluun, ja se on pikku matemaatikosta aika jännää se!

tiistai 22. toukokuuta 2018

Vaarallinen veikkaus

Mikä luku tulee jonossa $1, 2, 4, 8, 16, \ldots$ seuraavaksi?

  1. $31$,
  2. $32$,
  3. $212$,
  4. ei mikään edellisistä.

tiistai 8. toukokuuta 2018

Mitä on todennäköisyys?

Todennäköisyyksien yhteenlaskukaava.

Yksi ekan opiskeluvuoden absurdeimmista kokemuksista tapahtui tammikuussa. Oli aivan tavallinen luento, kurssin Todennäköisyyslaskenta I ensimmäinen. Luvassa oli kurssi, jonka ohjelmasta ainakin puolet olisi lukiosta tutun jutun kertaamista.

Niinpä luennoitsija riipusti taululle tuttuja todennäköisyyden ominaisuuksia: todennäköisyys on aina nollan ja ykkösen välillä, tapahtuman ja sen vastatapahtuman todennäköisyyksien summa on $1$, ja niin edelleen. Selvää tavaraa, vaikka useampi lukio-opettaja kannustaakin välttämään yo-kokeen todennäköisyystehtävää.

Sitten luennoitsija totesi, että matemaatikoina yliopistossa meitä toki kiinnostaa, mistä nämä ominaisuudet tulevat. Siispä hän alkoi kirjoittaa todennäköisyydelle oikeaa määritelmää (tässä tiivistettynä):

Olkoon kokoelma perusjoukon $\Omega$ osajoukkoja $\mathcal F$ sigma-algebra. Nyt kuvaus $\mathrm P : \mathcal F \to \mathbb R$ on todennäköisyys, jos
  1. $\mathrm P(A) \geq 0$ kaikilla $A \in \mathcal F$,
  2. $\mathrm P(\Omega) = 1$,
  3. jos $A_i \in \mathcal F$ kaikilla $i \in \mathbb N_+$ ja $A_i \cap A_j \neq \emptyset$ kun $i \neq j$, niin \[ \mathrm P \left( \cap_{i=1}^\infty A_i \right) = \sum_{i=1}^\infty P(A_i). \]
Kolmikko $(\Omega, \mathcal F, P)$ on todennäköisyysavaruus.

Mitä ihmettä juuri tapahtui? Äsken puhuttiin kivoista laskukaavoista, nyt jostain joukko-opin infernaalisesta serkusta!

keskiviikko 18. huhtikuuta 2018

Avoin kirje tv-yhtiöille

Hyvät ohjelmapäälliköt, tuottajat ja muut lukijat: olemme kaikki kuulleet, kuinka tosi-tv tyhmentää kansaa ja laadukkaista tiedeohjelmista leikataan. Selvästi kuitenkin reality-ohjelmat kiinnostavat yleisöä, joten ymmärrän halunne keskittää tuotantoa niihin. En kuitenkaan keksi mitään syytä, miksi tunteet ja tiede olisivat toisensa poissulkevia.

Ajatusta havainnollistaakseni olen kehitellyt joitakin esimerkkejä konsepteista, jotka voisivat vedota niin syvimpään sohvaperunaan kuin paatuneimpaan matemaatikkoon.

Ei elämää

Seitsemän pitkän uran tehnyttä matemaatikkoa kokoontuu viettämään viikon syrjäisellä mökillä. Kullakin heistä on oma päivänsä, jona muut vieraat esittävät omat todistuksensa hänen ikimuistoisimmille lauseilleen.

Kun algebrikot, analyytikot ja loogikot kohtaavat toistensa klassikoiden merkeissä, ei kyyneliltä voi välttyä. Tämä on ehdottomasti vuoden suurin viihdeilmiö.

torstai 5. huhtikuuta 2018

Viime viikon maailmanloppu

Taas yksi avaruuskuva.

Sopivasti pääsiäisen alla muun muassa Helsingin Sanomat uutisoi iloisella otsikolla "Tutkijat laskivat: Maailmankaikkeus saattaa olla jo tuhoutumassa, emmekä edes ehtisi reagoida siihen". Uutinen kertoo tuoreesta tutkimusartikkelista, joka ennustaa juurikin otsikossa kuvaillun maailmanlopun skenaarion.

Itse olisin korostanut asian epätodennäköisyyttä ja taustaa ehkä enemmänkin, mutta minusta ja artikkelin kirjoittajasta vain jälkimmäinen on alansa ammattilainen. Artikkeli sitä paitsi on ihan hyvin kirjoitettu, ja vieläpä linkkaa alkuperäiseen tutkimukseenkin. Jutusta minulla ei siis ole mitään moitittavaa. Sen sijaan jäin miettimään, kuinka epätodennäköinen maailmanloppu oikeasti on.

Selasin siis läpi alkuperäisen tutkimusartikkelin, josta en tietenkään pelkällä lukiofysiikalla pysty sanomaan liikaa. (Sinua on varoitettu: teen varmasti monentasoisia virheitä!)

keskiviikko 28. maaliskuuta 2018

Karin karttakeppitehdas

Karin karttakeppi oyj

Mitä eroa on keskiarvolla ja mediaanilla — ja ennen kaikkea, kumpaa niistä nyt pitäisi katsoa? Varmaankin olet kuullut, että keskiarvojen tuijottaminen on huono idea. Toisaalta keskiarvoista puhutaan niin paljon, ettei mediaanikaan voi olla ihan ylivoimainen.

Kuten maailmassa yleensä, yhtä oikeaa vastausta ei ole. Asian selvittämiseksi siirtykäämme hämyiselle teollisuusalueelle...

Kari omistaa tehtaan, karttakeppitehtaan. Viime vuosikymmenen opetusteknologinen rakennemuutos on johtanut tehtaan toimintojen sopeuttamiseen, toisin sanoen firmassa työskentelee enää parikymmentä ihmistä ja heistäkin osa vajaita tunteja. Lähdetäänpä tutkimaan hieman palkkojen jakautumista eri keskilukujen avulla.