sunnuntai 14. maaliskuuta 2021

Paljon iloa osittaisintegroinnista

Pitkän matematiikan oppimäärä yllättää. Mikä aikanaan oli vain näppärä temppu vaikeiden laskujen laskemiseen, onkin avain todella nerokkaaseen ja kauniiseen teoriaan.

Tai ainakin yllätti. Niin pitkälti kuin minä tiedän, oppikirjoissa ei enää puhuta tästä kaverista. Pitkää matikkaa, kuten montaa muutakin ainetta, on viime vuosina kevennetty. Käsinlaskemista on korvattu ohjelmistojen käyttämisellä, joten tätäkään työkalua ei enää tarvita.

Kyse on siis osittaisintegroinnin kaavasta

\[ \int_a^b f(x)g'(x) \,\mathrm dx = \bigg/_{\hspace{-0.6em}a}^{\,b} f(x)g(x) - \int_a^b f'(x)g(x) \,\mathrm dx. \]

Siis mikä, ja miksi tästä on valtavasti iloa?

(Varoituksen sanana: tässä tekstissä pyöritellään integraaleja. Ensi kerralla taas helpompaa kamaa!)

lauantai 10. lokakuuta 2020

Tuomiopäivän algoritmi

Viime kuukaudet ovat paikoin tuntuneet lopun ajoilta. Ilokseni voin kertoa, että tuomiopäiväkin on tiedossa: se on lauantai.

En kuitenkaan tarkoita mitään maallisen tai korkeamman oikeusasteen päätöspäivää, vaan John Conwayn näppärää algoritmia viikonpäivien laskemiseen. Sen avulla pystyy pienellä harjoittelulla sanomaan ihan tuosta vain, mikä päivä 30.11. sattuu olemaankaan (maanantai).

Jostain syystä en ollut opetellut temppua aiemmin, ja eiköhän tältä kielialueelta löydy vielä joku muukin toistaiseksi valistumaton. Eiköhän siis selvitetä, mistä on kyse.

perjantai 4. syyskuuta 2020

Vähän kaikki on vektoria

Toissa kerralla löysimme kolme tapaa mitata vektorin pituus. Kaikille kolmelle löytyi käyttötarkoitus, mutta arkielämässä vain yhdestä on hyötyä. Viime kerralla taas huomasimme, että arkinen mitta on kolmikon ainoa, jonka kanssa voi puhua kulmista. Mutta miksi asialla on merkitystä? Minkä vuoksi olen esittänyt pituusmittoja tasavertaisina, ja minkä takia ollut niin innoissani kulmien määrittelystä?

Syy on siinä, että kaikki, jonka parissa työskentelen matemaatikkona, on vektoria.

Jos tulet mukaan vasta tässä kohtaa, suosittelen aloittamaan yllä mainituista osista. Mutta varoituksen sana: en kertonut totuutta ensimmäisessä osassa.

tiistai 1. syyskuuta 2020

Kahden vektorin kulma

Linnulle ja taksille kahden korttelin matka on hyvin erilainen.

Viime kerralla havaitsimme, että pituuden voi laskea monella tapaa. Pisteestä pisteeseen voi kulkea linnuntietä tai taksilla, ja New Yorkin ruutukaavassa tulokset ovat erittäin erilaiset. Kahdesta erilaisesta pituusmitasta seuraa myös kaksi erilaista ympyrää, ja niistä vain toinen on pyöreä.

Kuitenkin arkielämässä on vain yksi tapa laskea pituus. Remonttihommissa ei hirveästi auta selitellä Manhattan-normia, kun huoneen kulmasta kulmaan pitäisi mitata palkki: ainoa tapa on sivu toiseen plus sivu toiseen ja neliöjuuri.

Jos kaikki pituuden määritelmät olivat muka yhtä päteviä, niin mikä sitten tekee Pythagoraan kaavasta niin ylivoimaisen?

torstai 27. elokuuta 2020

Vektori ja sen pituus

Ympyrä, 45 astetta käännetty neliö ja neliö.

Kuvassa on kolme ympyrää. Kuinka niin?

Kun minä olin nuori, vektorit jakoivat mielipiteitä. Tarkoitan siis, että lukiossa osa piti niistä ja osa ei päässyt jyvälle niiden logiikasta. Fysiikkaa lukeneet muistavat piirrelleensä mallikuviin nuolia ja siten päätelleensä mihin suuntaan laatikko/curlingkivi/veturi/jäätä pitkin liukuvan limupullon nappaava alieni (eikö teidän lukiossa?) liikkuu.

Yliopistomatikassa vektoreita käytetään ehkä yllättävän paljon ja tavoilla, joita ei heti ajattelisi. Meillä painopiste ei ole laatikon liikkeissä vaan ihan muissa jutuissa, joissa ei välttämättä näy pisaraakaan geometriaa. Tässä ja parissa seuraavassa tekstissä

  • käymme läpi, mitä vektorit oikein ovat,
  • kohtaamme kummallisia juttuja, kuten väitetyt kolme ympyrää, ja
  • selvitämme, miksi matemaatikko haluaa nähdä vektoreita kaikessa, mikä ei liiku.

maanantai 17. elokuuta 2020

Lukiomatikan top 3+1

Jatketaanpa vielä uuden lukuvuoden juhlimista toisen top 3 -listan, nimittäin muistelun merkeissä. Tässä tulevat kolme omaa suosikkiani lukiomatematiikasta sekä yksi bonusvinkki lukion aloittajille.

Kirjoitan tätä tietenkin yliopistossa matematiikkaa opiskelevan näkökulmasta, mutta kaikki kolme suosikkia löytyvät jossain muodossa lyhyestäkin matikasta. Yleensäkin tämä on vain oma mielipiteeni, ja ehkä aika on kullannut muistoja ja opetussuunnitelma muutenkin ajanut ohi.

Mitkä ovat omat suosikkisi?

keskiviikko 12. elokuuta 2020

Kolme vinkkiä lukion matikkaan/fysiikkaan/kemiaan

Minä lukemassa Pyramidi 5 -oppikirjaa vektoreista.

Bloggaaja palaa juurilleen.

Taas lähtee uusi lukuvuosi käyntiin! Sen kunniaksi on hyvä aika esittää kolme Taatusti Toimivaa Vinkkiä™, joilla saat täysienpisteidentarroja kokeisiisi*... tai mitä nyt sähköisiin kokeisiin liimataankaan. Joka tapauksessa, tässä tulee kolme ohjetta, jotka jokaisen lukionaloittajan ja varsinkin -lopettajan pitäisi mielestäni tietää.

* Arvosanatakuu: tämän artikkelin hinta (0 €) palautetaan kirjallista valitusta, pankkikortin molempia puolia ja sähköpostin salasanaa vastaan. Oikeat vastaukset eivät sisälly pakettiin.

Nämä vinkit ovat totta kai omia mielipiteitäni, joita olen kerryttänyt sekä lukiolaisena, satunnaisena tukiopettajana että matematiikan opiskelijana. Jaa ihmeessä omia neuvojasi esimerkiksi kommenteissa!

Kaikki kolme vinkkiä liittyvät päässälaskuun. Kyllä, päässälaskuun. GeoGebra-neuvoja joudut etsimään muualta. Voit pitää minua kalkkiksena, mutta ei siitä niin kauaa ole, kun olen itse kirjoittanut ylioppilaaksi. Meillä matikan osastolla sitä paitsi käytetään yhä liitutauluja (koomisuuteen asti) eikä tilanne ole lähivuosina muuttumassa. Siihen on syy.