Avoin kirje tv-yhtiöille

Hyvät ohjelmapäälliköt, tuottajat ja muut lukijat: olemme kaikki kuulleet, kuinka tosi-tv tyhmentää kansaa ja laadukkaista tiedeohjelmista leikataan. Selvästi kuitenkin reality-ohjelmat kiinnostavat yleisöä, joten ymmärrän halunne keskittää tuotantoa niihin. En kuitenkaan keksi mitään syytä, miksi tunteet ja tiede olisivat toisensa poissulkevia.

Ajatusta havainnollistaakseni olen kehitellyt joitakin esimerkkejä konsepteista, jotka voisivat vedota niin syvimpään sohvaperunaan kuin paatuneimpaan matemaatikkoon.

Ei elämää

Seitsemän pitkän uran tehnyttä matemaatikkoa kokoontuu viettämään viikon syrjäisellä mökillä. Kullakin heistä on oma päivänsä, jona muut vieraat esittävät omat todistuksensa hänen ikimuistoisimmille lauseilleen.

Kun algebrikot, analyytikot ja loogikot kohtaavat toistensa klassikoiden merkeissä, ei kyyneliltä voi välttyä. Tämä on ehdottomasti vuoden suurin viihdeilmiö.

Poliittinen torniodraama

Aikojen alussa, jolloin Neuvostoliitto näytti ikuiselta ja markalla sai litratolkulla lyijyllistä bensiiniä, oli kaukana Lapissa pieni jalasmökki. Mökkiin oli kokoontunut salamyhkäinen joukko ihmisiä kolmen puutapin ympärille. Yhdessä tapeista oli kuusikymmentäneljä erikokoista rengasta täydellisessä suuruusjärjestyksessä.

Hahmot alkoivat siirtää renkaita yksi kerrallaan tapista toiseen, aina pienemmät isompien päällä pitäen. Kun koko pino olisi siirretty toiseen tappiin, maailma järkkyisi: Paavo Väyrynen jättäisi politiikan lopullisesti!

Se näillä mystisillä hahmoilla myös on tarkoituksena. (Kuten olet saattanut lukea uutisista, he eivät ole ainoita.) Miten heidän tulisi siirtää renkaita, jotta tavoite täyttyisi mahdollisimman nopeasti? Kuinka kauan Paavolla on aikaa jäljellä? Ja ennen kaikkea: mitä ihmettä tämänkin tarinan kirjoittaja on hengitellyt?

Ensimmäisiin kahteen ratkaisu saattaa löytyä pienellä päättelyllä, joten otapa tauko lukemisesta! Kannattaa tosin kokeilla neljällä renkaalla, ja muista säännöt: vain yhtä rengasta voi liikuttaa kerrallaan eikä yksikään rengas saa olla itseään pienemmän renkaan päällä.

22/7

Maaliskuun neljästoista eli jenkkiläisittäin $3.14$ tunnetaan kansainvälisenä piipäivänä: matemaattisen vakion juhlana, johon kuuluu piirakan syöminen. Kovaääninen (muttei välttämättä runsaslukuinen) joukko, joka suosii enemmän tauta $\tau = 2\pi$ puolestaan juhlii omaa lempparivakiotaan kesäkuun 28. päivä.

Vaikka piin desimaaleja onkin hauska opetella, ne ovat hieman epäkäytännöllisiä päässälaskuun, jossa pitäisi päästä supistamaan pieniä lukuja. Siksi mieleen kannattaakin painaa heinäkuun kahdeskymmenestoinen eli $22/7$. Yllättävän helpolla päässälaskulla jakolaskun tulokseksi tulee

\[ 3.142857\ldots \]

kun taas piin arvo on

\[ 3.141592\ldots \]

Ei mitenkään paras arvio, mutta helposti muistettava, päässälaskuun ihan riittävä ja ammoisista ajoista tunnettu. (Mikäli huomaat tarvitsevasi tarkempaa likiarvoa, $355/113$ on ystäväsi.) Ja vaikka päässälasku ei kiinnostaisikaan, piin likiarvopäivä on hyvä syy nauttia jotain piirakkaa muistuttavaa! Tai piimää. Miten haluat.

Klikkiotsikot, ufokolumnit ja Markovin ketju

(Iltalehti, Ilta-Sanomat ja Markov.)

Tuntuuko sinusta siltä, että klikkiotsikot toistavat itseään? Että nettiuutiset ovat toinen toistaan turhempia ja järjettömämpiä? Että verkkotoimittajat on hiljalleen korvattu satunnaista tekstiä suoltavilla koneilla?

Tekstiä tuottavista koneista ehkä yksinkertaisin ja hauskin on Markovin ketju. Menetelmän kehitti venäläismatemaatikko Andrei Markov (1856–1922) viime vuosisadan alussa, tosin joitakin sen sovelluksia tunnettiin aiemminkin. Kyseessä on taas yksi esimerkki yksinkertaisesta menetelmästä, jota voi matematiikan voimin soveltaa lukemattomiin asioihin.

Pieniä suuria todistuksia

Matematiikka on parhaimmillaan erittäin tiivis tiede. Väitteen voi todistaa vääräksi esittämällä lyhyen vastaesimerkin ja useimmat perussäännöt voidaan todistaa muutamalla lauseella. Tämä heijastuu myös matemaattisiin artikkeleihin.

Yksi tunnettu esimerkki lyhyestä todistuksesta julkaistiin vuonna 1966. Kiitos avointen julkaisuarkistojen, se on vapaasti luettavissa. Kyseessä on juurikin vastaesimerkki, ja vapaahko käännökseni menee näin:

Vastaesimerkki Eulerin konjektuuriin [valistuneeseen arvaukseen] samojen potenssien summasta

Suora haku CDC 6600 -tietokoneella tuotti lausekkeen \[ 27^5 + 84^5 + 110^5 + 133^5 = 144^5 \] pienimpänä tapauksena, jossa neljä viidettä potenssia tuottavat viidennen potenssin. Tämä on vastaesimerkki Eulerin konjenktuuriin, jonka mukaan täytyy laskea yhteen ainakin $$n$$ $$n$$:tä potenssia $$n$$:n potenssin saavuttamiseksi, kun $$n>2$$.

Puoli sivua, ja siitäkin puolet otsikkoon ja yhden lähteen luetteloon! Yksi esimerkki riittää todistamaan, ettei ehto olekaan voimassa — neljän luvun yhteenlaskeminen riitti, vaikka 1700-luvulla Leonhard Euler veikkasi tarvittavan viisi.^[1]

Ehkä lyhyimpänä todistuksena voitaisiin pitää John Conwayn ja Alexander Soiferin vuonna 2005 julkaistua artikkelia. Se käsittelee tasasivuisen kolmion peittämistä pienemmillä kolmioilla. Jos ison kolmion sivun pituus on $$n$$, pieniä kolmioita tarvitaan $$n^2$$ (tarkista vaikka itse!) kappaletta. Artikkeli tarkastelee tilannetta, jossa ison kolmion sivu ei olekaan tasaluku.

Voiko $$n^2 + 1$$ tasakylkistä yksikkökolmiota peittää tasakylkisen kolmion, jonka sivu $$>n$$, vaikkapa $$n+\epsilon$$?

$$n^2+2$$ voi: [kaksi kuvaa]

Koko tarina on luettavissa niin ikään vapaasti. Kirjoittajien tavoitteena oli tehdä ennätys artikkelin lyhyydessä, mutta julkaisija ei lämmennyt ajatukselle. Lyhyen väännön jälkeen teksti julkaistiin täytemateriaalina... lehden pidentämänä versiona.

---

^[1] Vitsin mukaan matemaattiset löydöt nimetään toisen löytäjän mukaan, koska muuten lähes kaikki olisi nimetty Eulerin mukaan. Lista hänen mukaansa nimetyistä asioista on kieltämättä pitkä, mutta sitä voinee odottaa historian ehkä tuotteliammalta matemaatikolta.

Väliraportti ja lupaus tulevasta

Pidän sarjoista sekä matemaattisessa mielessä että blogin kannalta. Sarjan kirjoittaminen on palkitsevaa, koska muutamalla istumalla saa aikaiseksi parin viikon edestä tekstiä, ja aihetta voi käsitellä monelta kantilta lyhyissä paloissa. Tähän mennessä olen käsitellyt rahapelien todennäköisyyksiä sekä äärettömyyksiä, ja ensi viikosta lähtien keskityn jonkin aikaa numerotaitoihin.

Aihelistalla odottaa monia yksittäisiäkin juttuideoita, mutta ne saavat jäädä vielä hetkeksi — yhdestä kirjasta syntyi liian monta ideaa. Otan mieluusti vastaan palautetta tästä lähestymistavasta, ensimmäisestä kuukaudesta ja muusta mitä mieleen tulee. Myös siitä, ovatko matikkavitsit huonoja vai todella huonoja. Tässä yksi, joka liittyy erittäin löyhästi ensi viikon teemaan.

— Missä kuukaudessa on 28 päivää?
— Kaikissa niistä.

Kiinnostavista luvuista

Lievä kevennys matemaatikkohuumorin merkeissä. Anteeksi jo etukäteen.

Väite: Kaikki luvut ovat kiinnostavia.

Todistus: Tehdään vastaoletus: on olemassa pienin (ei-negatiivinen) tylsä luku. Mutta hei, sehän olisi aika kiinnostavaa!

Tsemppiä kaikille, jotka huomenna istuvat matematiikan ylioppilaskokeessa! Toivottavasti tulee kiinnostavia tehtäviä!