Miltä näyttää satunnainen funktio?

Tämänhetkinen tutkimusprojektini käsittelee fysiikan yhtälöitä, jotka kuvaavat aaltoliikettä. Yhtälöt itsessään etenevät kuin kellokoneisto ilman mitään satunnaisuutta, mutta minäpä tutkinkin, mitä tapahtuu jos lähtötilanne on satunnaisesti valittu. Viritän siis kuvitteelliselle vedenpinnalle satunnaisesti valitun muodon, käynnistän kellon ja katson, miten aallot alkavat loiskua.

(Oikeasti en tosin katsele mitään... työskentelen täysin teoreettisesti kynällä ja paperilla. En ohjelmoi simulaatioita eikä minua päästettäisi lähellekään aaltotankkia.)

Mutta miltä ylipäätään näyttää satunnaisesti valittu lähtötilanne? Millainen on satunnainen funktio? Tapoja sellaisen rakentamiseen on monta, joten eiköhän kurkata niistä muutamaan.

Paljon iloa osittaisintegroinnista

Pitkän matematiikan oppimäärä yllättää. Mikä aikanaan oli vain näppärä temppu vaikeiden laskujen laskemiseen, onkin avain todella nerokkaaseen ja kauniiseen teoriaan.

Tai ainakin yllätti. Niin pitkälti kuin minä tiedän, oppikirjoissa ei enää puhuta tästä kaverista. Pitkää matikkaa, kuten montaa muutakin ainetta, on viime vuosina kevennetty. Käsinlaskemista on korvattu ohjelmistojen käyttämisellä, joten tätäkään työkalua ei enää tarvita.

Kyse on siis osittaisintegroinnin kaavasta

\[ \int_a^b f(x)g'(x) \,\mathrm dx = \bigg/_{\hspace{-0.6em}a}^{\,b} f(x)g(x) - \int_a^b f'(x)g(x) \,\mathrm dx. \]

Siis mikä, ja miksi tästä on valtavasti iloa?

(Varoituksen sanana: tässä tekstissä pyöritellään integraaleja. Ensi kerralla taas helpompaa kamaa!)

Teekkarin ja teoreetikon ylin ystävä

Matemaatikkona olemiseen kuuluu myös kulttuurista tuntemusta kuten alalla olijoiden yhteistä sanastoa. Yksi tärkeimmistä tällaisista sanoista on käsienheiluttelu. Se viittaa siihen, mitä tilastotieteilijät, fyysikot ja teekkarit parhaiten tekevät eli tarkkojen perustelujen sivuuttamiseen.

Vaikka sanaa toki voi käyttää myös loukkauksena, mielestäni käsienheiluttelussa ei ole mitään pahaa. Tosimaailmassa nimenomaan täytyy ohittaa yksityiskohtia ja tehdä valistuneita arvauksia, jos aikoo saada jotain aikaiseksi. Ja joskus käsienheiluttelu johtaa jonkin suuremman äärelle. Tässä tapauksessa se vie syvälle funktioiden ymmärtämiseen tavalla, josta niin diplomi-insinööri kuin akateemikkokin tykkää.

Matemaatikkona työelämässä: Varian Medical Systems

(Varianin moderni sädehoitokone Meilahden Syöpäklinikalla.)

Havaitsin tammikuisten rekrymessujen ohjelmasta firman, josta en ollut aiemmin kuullut. Se teki lääketieteellistä tekniikkaa ja vieläpä minulle tutuilla ohjelmointityökaluilla. Erittäin käymisen arvoinen ständi, ajattelin. Toukokuussa sitten astuinkin firman palkkalistoille kuluneen kesän ajaksi!

Koska tämä on blogi matematiikasta ja työelämä kiinnostanee monia, ajattelin esittää muutaman vinjetin siihen, millainen oli ensimmäinen kesätyöni matemaatikkona (ainakin melkein, kuten alla näet). Kaiken kukkuraksi kovinkaan moni ei tiedä, että Suomesta löytyy tällaistakin huippuosaamista — taikka sitä, että Varian rekrytoi ahkerasti.

(Huomautus: En ole saanut tästä tekstistä kompensaatiota eikä sitä ole tarkistettu. En voi käsitellä läheskään kaikkea näkemääni, enkä ota kantaa tekniikoiden tai tuotteiden kliiniseen kelpoisuuteen.)

Huonosti käyttäytyvät funktiot

Yläkoulussa opitaan, mitä funktio tarkoittaa. Alkuun kirjaimilla laskemisessa on reippaasti sulattelemista, mutta sen jälkeen homma alkaa helpottua. Muutaman lukiokurssin jälkeen kaavaan sijoittamiset, kuvaajan piirtämiset ja derivaatan nollakohdan etsimiset sujuvat kuin vettä vain. Tämä kuitenkin on valheellinen käsitys, joka jättää katseen ulkopuolelle ison osan maailmasta.

Useimmat funktiot nimittäin ovat kaikkea paitsi kivoja.