Fieldsin mitalit 2022

Mikäli seurasit uutisia viime viikolla, saatoit huomata pienen otsikon "matematiikan Nobeleista". (Jos seurasit esim. luonnontieteisiin erikoistunutta, ilmaista Quanta Magazine -nettilehteä, et voinut olla huomaamatta isoja otsikoita.)

Maailmantilanteen takia Fieldsin mitalit sekä kourallinen muita palkintoja jaettiin tiistaina 5.7. hieman yllättäen... Helsingissä. Alla käyn läpi vastaukset muutamaan kysymykseen:

• Mitkä ihmeen Fieldsin mitalit?
• Onko syytä mennä torille?
• Ketkä ne sitten saivat ja mistä hyvästä?

Vähän kaikki on vektoria

Toissa kerralla löysimme kolme tapaa mitata vektorin pituus. Kaikille kolmelle löytyi käyttötarkoitus, mutta arkielämässä vain yhdestä on hyötyä. Viime kerralla taas huomasimme, että arkinen mitta on kolmikon ainoa, jonka kanssa voi puhua kulmista. Mutta miksi asialla on merkitystä? Minkä vuoksi olen esittänyt pituusmittoja tasavertaisina, ja minkä takia ollut niin innoissani kulmien määrittelystä?

Syy on siinä, että kaikki, jonka parissa työskentelen matemaatikkona, on vektoria.

Jos tulet mukaan vasta tässä kohtaa, suosittelen aloittamaan yllä mainituista osista. Mutta varoituksen sana: en kertonut totuutta ensimmäisessä osassa.

Kahden vektorin kulma

Viime kerralla havaitsimme, että pituuden voi laskea monella tapaa. Pisteestä pisteeseen voi kulkea linnuntietä tai taksilla, ja New Yorkin ruutukaavassa tulokset ovat erittäin erilaiset. Kahdesta erilaisesta pituusmitasta seuraa myös kaksi erilaista ympyrää, ja niistä vain toinen on pyöreä.

Kuitenkin arkielämässä on vain yksi tapa laskea pituus. Remonttihommissa ei hirveästi auta selitellä Manhattan-normia, kun huoneen kulmasta kulmaan pitäisi mitata palkki: ainoa tapa on sivu toiseen plus sivu toiseen ja neliöjuuri.

Jos kaikki pituuden määritelmät olivat muka yhtä päteviä, niin mikä sitten tekee Pythagoraan kaavasta niin ylivoimaisen?

Vektori ja sen pituus

Kuvassa on kolme ympyrää. Kuinka niin?

Kun minä olin nuori, vektorit jakoivat mielipiteitä. Tarkoitan siis, että lukiossa osa piti niistä ja osa ei päässyt jyvälle niiden logiikasta. Fysiikkaa lukeneet muistavat piirrelleensä mallikuviin nuolia ja siten päätelleensä mihin suuntaan laatikko/curlingkivi/veturi/jäätä pitkin liukuvan limupullon nappaava alieni (eikö teidän lukiossa?) liikkuu.

Yliopistomatikassa vektoreita käytetään ehkä yllättävän paljon ja tavoilla, joita ei heti ajattelisi. Meillä painopiste ei ole laatikon liikkeissä vaan ihan muissa jutuissa, joissa ei välttämättä näy pisaraakaan geometriaa. Tässä ja parissa seuraavassa tekstissä

• käymme läpi, mitä vektorit oikein ovat,
• kohtaamme kummallisia juttuja, kuten väitetyt kolme ympyrää, ja
• selvitämme, miksi matemaatikko haluaa nähdä vektoreita kaikessa, mikä ei liiku.

Päättymätön shakki

(Ricardo630/Wikimedia Commons. CC-BY-SA 3.0.)

Viime kerralla esitin ongelman:

Opiskelija haluaa käydä yhtä usein Helsingin yliopistolla ja Aallossa. Hän haluaa pitää yllätyksenä, milloin hän seuraavan kerran eksyy millekin yliopistolle. Jos hän noudattaa jotain kuviota kolmesti peräkkäin, häneen kohdistuu suuri sosiaalinen paine jatkaa samalla kuviolla. Mikäli hän käy kolmesti peräkkäin Aallolla, hänellä ei ole enää asiaa Helsingin yliopistolle. Puolestaan jos hän vuorottelee "HAHAHA", hänen on pakko jatkaa vuorottelua — kun taas "HAHA" ja jotain muuta ei tuota ongelmaa. Millainen sääntö opiskelijan pitäisi keksiä, ettei hän ikinä tee samaa kuviota kolmesti peräkkäin ja silti käy yhtä usein kummallakin yliopistolla?

Tämän ongelman ratkaisu kuuluu siihen joukkoon matematiikkaa, joka on niin yksinkertaista, että se hyppää esiin vähän kaikkialla. Sanalla sanoen kutsuisin sitä kauniiksi matematiikaksi.

Pizza ja sen geometria

(Bionicgrrrl/Flickr. CC-BY-NC-ND 2.0.)

Pizza, tuo elämän valo ja Italian lahja maailmalle. Sen lisäksi, että pizza muodostaa noin neljä kolmannesta opiskelijan ruokaympyrästä, on se myös matemaattisesti erittäin tärkeää:

• Pizzan korkeuden ollessa $a$ ja säteen $z$, sen tilavuus on $\pi zza$.
• Pizzalla voi havainnollistaa kiehtovaa geometrista konseptia.
• Matikan laitoksen ravintolassa on joka viikko pizzaperjantai.

Tänään tämä blogi keskittyy toiseen ja sen kirjoittaja kolmanteen kohtaan. Ensin kuitenkin pitää koukata pienen geometrisen harjoituksen kautta.

22/7

Maaliskuun neljästoista eli jenkkiläisittäin $3.14$ tunnetaan kansainvälisenä piipäivänä: matemaattisen vakion juhlana, johon kuuluu piirakan syöminen. Kovaääninen (muttei välttämättä runsaslukuinen) joukko, joka suosii enemmän tauta $\tau = 2\pi$ puolestaan juhlii omaa lempparivakiotaan kesäkuun 28. päivä.

Vaikka piin desimaaleja onkin hauska opetella, ne ovat hieman epäkäytännöllisiä päässälaskuun, jossa pitäisi päästä supistamaan pieniä lukuja. Siksi mieleen kannattaakin painaa heinäkuun kahdeskymmenestoinen eli $22/7$. Yllättävän helpolla päässälaskulla jakolaskun tulokseksi tulee

\[ 3.142857\ldots \]

kun taas piin arvo on

\[ 3.141592\ldots \]

Ei mitenkään paras arvio, mutta helposti muistettava, päässälaskuun ihan riittävä ja ammoisista ajoista tunnettu. (Mikäli huomaat tarvitsevasi tarkempaa likiarvoa, $355/113$ on ystäväsi.) Ja vaikka päässälasku ei kiinnostaisikaan, piin likiarvopäivä on hyvä syy nauttia jotain piirakkaa muistuttavaa! Tai piimää. Miten haluat.

Täydellistä laatoitusta etsimässä

Mikäli puhelin unohtuu oven ulkopuolelle, vessanpöntöllä istuskellessa ehtii katsella laattoja. Kun laattojen kuviot alkavat tympiä, voi alkaa pohdiskella kokonaisuuden olemusta. Millä tavoin vessan pinnat pystyy peittämään täydellisesti? Ja ennen kaikkea, miten sen voi tehdä tyylikkäimmin? Matemaatikoilla, noilla käytännön ihmisillä vessaan unohtujilla on vastaus.

Ystävänpäivän askartelutuokio

Askartelutuokio! Tänään leikitään Möbiuksen nauhoilla (nimetty ne 1850-luvulla löytäneen August Möbiuksen mukaan), jotka ovat ihastuttavan yksinkertaisia ja samalla tajunnanräjäyttäviä. Jälkimmäisen ystävänpäiväohjeen olen oppinut Matt Parkerin erinomaisesta kirjasta Things to Make and Do in the Fourth Dimension, josta olen vinkannut aiemmin.

Tarvikkeet:

• Ainakin yksi askartelija, koululaisesta ylöspäin
• Yksi A4-paperiarkki, mieluiten söpön värinen. Kahtiataitettu puolikas riittää.
• Sakset ja liimapuikko
• (Kynä)

Kultainen leikkaus

(Capture99/Flickr. CC-BY-NC 2.0.)

Tänään puhutaan kultaisesta leikkauksesta, siitä mitä se on ja siitä, mitä se ei ole.

Virallinen määritelmä

Kultainen leikkaus määritellään kahden pituuden $a$ ja $b$ avulla niin, että niiden suhde on yhtä suuri kuin pidemmän suhde niiden summaan:

\[ \frac{a}{b} = \frac{a+b}{a}. \]

Tätä suhdetta merkitään kreikan kielen kirjaimella $\phi$ (fii), ja sen arvo on

\[ \phi = \dfrac{1 + \sqrt{5}}{2} = 1.618\dots. \]

Tämä määritelmä oli tunnettu jo antiikin Kreikassa ja Eukleides mainitsee sen Alkeissa.

Joululinkkejä

Muutama jouluinen linkki lähinnä vuoden takaa.

Lumihiutaleissa on kuusi sakaraa

Mutta valitettavan moni piirtää kahdeksan, tai jopa viisi! (Jään saa muihinkin muotoihin, mutta ilmakehän paine on yleensä alle tuhat ilmakehää.^[lähde?])

Stand up -matemaatikko Matt Parkerin aloitteesta Twitterin #snowfake-tunniste (rajattu Parkerin mainitseviin) on täynnä hyviä huonoja esimerkkejä. Aperiodical-blogin kuusikulmainen lumihiutalekilpailu tuotti tuloksia.

Lahjapaperit ovat matemaattisesti tylsiä

Aperiodicalin Katie Steckles tutki lahjapaperien symmetrisyyttä ja pettyi. Seitsemästätoista mahdollisesta symmetriasta vain kolmea käytettiin, ja niistäkin lähinnä tylsää toistoa. Koko tarina ja vaihtoehtoisia kuvioita.

Geometrisia joulukoristeita

Platonin kappaleet ovat yllättävän hienoja joulukoristeita (ainakin jos unohdetaan piirroshahmot). Tulosta ja askartele! Tekeminen vaatii jonkun verran hermoja, varsinkin viimeisiä liimauksia tehdessä, ja näissä malleissa on puutteensa.

Itse tuunasin näitä tulostamalla pohjat riittävän suurina ja tekemällä yhteen tahkoon reiän LED-kynttilälle. Pistelin myös pieniä reikiä, joista valo pääsee loistamaan.

Kaikkein tärkein kysymys

XKCD-sarjakuva luo joulumieltä.

Nollakohta muistuttaa, että ankara koristekritiikki ei välttämättä johda joulurauhaan. Blogi päivittyy hieman harvemmin seuraavat pari viikkoa.

Mahdottomat ratkaisut

(Näillä ympyrällä ja neliöllä on vain likimäärin sama pinta-ala.)

Viime kerralla esitellyt kolme klassista ongelmaa työllistivät matemaatikkoja parin vuosituhannen ajan. Niiden ratkaiseminen itsessään ei ollut mahdotonta: jo antiikin kreikkalaiset tiesivät menetelmiä, joilla ne pystyttiin ratkaisemaan tehokkaasti. Näihin ratkaisuihin kuitenkin liittyi liikkuvia janoja, spiraaleja ja muita tekniikoita, joita ei voinut toteuttaa pelkästään harpilla ja viivaimella.

Tehtävä oli selvä: joko nämä ratkaisutavat oli johdettava lähtöoletuksista, tai ongelmat todistettava mahdottomiksi vain niitä käyttäen. Jälkimmäinen tapahtui. Matematiikka on siitä hieno laji, että asioiden todistaminen mahdottomaksi on mahdollista. (Mainittakoon, että tästä huolimatta matematiikan laitokset ympäri maailman saavat ilmeisen paljon postia henkilöiltä, jotka ovat "ratkaisseet" jonkun klassisista ongelmista.)

Kreikkalaisten päänvaivoja

(Säännöllistä seitsemänkulmiota ei voi piirtää käyttäen vain harppia ja viivainta.)

Viime kerralla tutustuimme Eukleideen jäsentämään geometriaan. Vaikka kreikkalaiset ottivatkin ensimmäisinä käyttöön loogisen menetelmän, hekään eivät osanneet ratkaista kaikkia ongelmia. Niiden kanssa painiessaan he loivat paljon uutta, mutta he eivät osanneet päästää irti kaikista rajoituksistaan.

Ensimmäinen isku kreikkalaisille tuli kuitenkin jo aikaisemmin.

Harppi ja viivain

(Tasasivuisen kolmion piirtäminen harpilla ja viivaimella.)

Geometria syttyi kukoistukseensa antiikin Kreikassa. Aiemmat kansat olivat kyllä mitanneet kuvioita ja tehneet oikeaoppisia päätelmiä, mutta geometria ei vielä loistanut tieteenalana. Muinaiset babylonialaiset ja egyptiläiset, kummatkin jo 3000-2000 eaa. alkaen, osasivat laskea kolmion alan ja tunsivat Pythagoraan lauseen. Toisaalta vaikkapa nelikulmion alan laskemiseen oli mitä luovimpia päin paikallista puulajia olevia kaavoja.

Luultavasti kaikkien aikojen tunnetuin geometrikko on Eukleides Aleksandrialainen. Eukleideesta tiedetään hyvin vähän — hän vaikutti vuoden 300 eaa. tienoilla Aleksandriassa, jossa hän ilmeisesti opetti yliopistoa muistuttavassa laitoksessa. Kaikki elämäkerrallinen tieto on kirjattu vasta vuosisatoja myöhemmin. Se, mitä hänestä on jäänyt jäljelle, ovat hänen kirjansa. Hänen tutkielmansa peileistä ja perspektiivistä ovat säilyneet, mutta kartioleikkauksista kertovat työt ovat kadonneet. Hänen päätyönsä on kuitenkin oppikirjaksi luotu Alkeet.

Alkeet (muinaiskreikaksi Stoikheia, latinaksi Elementa) on matematiikan historian bestseller. Sitä käytettiin oppikirjana aina 1900-luvun taitteeseen asti, koska sen 13 kirjaa käsittävät lähes kaiken aikanaan tunnetun matematiikan geometriasta lukuteoriaan. Eukleides ei itse keksinyt kuin joitakin todistuksia: hänen saavutuksensa oli tiedon järjestäminen yhdeksi loogiseksi järjestelmäksi.