tiistai 31. tammikuuta 2017

Gödelin kansalaisuuskoe

Rakennus Institute for Advanced Studiesin kampuksella.

Vanha tuttumme Kurt Gödel (1906-1978) rikkoi matematiikan perustuksia, mutta myös eli monivaiheisen elämän. Hän syntyi Itävalta-Unkariin, mutta ensimmäisen maailmansodan jäljiltä hänestä tuli tsekki. Etnisenä saksalaisena hän haki ja sai Itävallan kansalaisuuden. Itävalta puolestaan liitettiin vuonna 1938 osaksi Saksaa ja Gödelistä tuli siis kansalaisuudeltaan saksalainen.

Olot Wienissä ja muualla kävivät koko ajan tukalammiksi. Ympäri Saksan juutalaistaustaiset matemaatikot ja heihin liian läheisissä väleissä olleet — Gödel mukaan lukien — menettivät työnsä. Saksan opetusministerin kerrotaan kysyneen David Hilbertiltä, kuinka Göttingenin matematiikan laitos pärjäsi puhdistusten jälkeen. Vastaus oli napakka: siellä ei enää ollut matematiikkaa.

Gödel muutti Princetoniin Yhdysvaltoihin juuri ennen sodan syttymistä. Hän haki Yhdysvaltain kansalaisuutta, ja hänen kuulustelustaan tuli legenda. Gödel valmistautui kokeeseen aivan liian huolellisesti — hän muun muassa tutki perustuslakia löytääkseen siitä sisäisiä ristiriitoja, mielestään jopa onnistuen siinä. Seuraava kuvaus on todistajana olleen Oskar Morgensternin kirjoittama.

Kuulustelija: Mistä olette kotoisin, herra Gödel?

Gödel: Mistäkö olen kotoisin? Itävallasta.

Kuulustelija: Minkä tyyppinen hallitus Itävallassa oli?

Gödel: Tasavalta, mutta perustuslaki salli sen muuttamisen lopulta diktatuuriksi.

Kuulustelija: Se on todella paha juttu. Niin ei voisi tapahtua tässä maassa.

Gödel: Oi, kylläpäs voi, voin todistaa sen teille.

Todistajat Morgenstern ja Einstein (juuri se) kalpenivat. Ystävällinen kuulustelija kuitenkin tajusi tilanteen, vaihtoi nopeasti puheenaihetta ja Gödel sai kansalaisuuden. Tarina ei kerro, minkä virheen Gödel uskoi löytäneensä.

perjantai 27. tammikuuta 2017

Kultainen leikkaus

Spiraaliportaat

(Capture99/Flickr. CC-BY-NC 2.0.)

Tänään puhutaan kultaisesta leikkauksesta, siitä mitä se on ja siitä, mitä se ei ole.

Virallinen määritelmä

Kultainen leikkaus määritellään kahden pituuden $a$ ja $b$ avulla niin, että niiden suhde on yhtä suuri kuin pidemmän suhde niiden summaan:

\[ \frac{a}{b} = \frac{a+b}{a}. \]

Tätä suhdetta merkitään kreikan kielen kirjaimella $\phi$ (fii), ja sen arvo on

\[ \phi = \dfrac{1 + \sqrt{5}}{2} = 1.618\dots. \]

Tämä määritelmä oli tunnettu jo antiikin Kreikassa ja Eukleides mainitsee sen Alkeissa.

torstai 26. tammikuuta 2017

Hilbertin lausahdus

Viime vuosisadan huippumatemaatikko David Hilbertin erään opiskelijan kerrotaan loikanneen matematiikasta runouteen. Kun Hilbert kuuli tästä, hän sanoi:

Hyvä niin, hänellä ei ollut tarpeeksi luovuutta matemaatikoksi.

tiistai 24. tammikuuta 2017

Maailma on pieni

Erdös valkokankaalla

(m4tik - 128db/Flickr/CC-BY-NC 2.0, kmhkmh/Wikimedia Commons/CC-BY 3.0, muokkaukset kirjoittajan.)

Elokuvaharrastajat tuntevat 90-luvulla keksityn pelin "Six Degrees of Kevin Bacon". Näyttelijä Kevin Bacon on työskennellyt hyvin laajasti ja monen ihmisen kanssa, joten hän saattaa oikeutetusti sanoa tuntevansa useimmat Hollywoodissa ainakin välillisesti tuttavan tuttavina. Baconin ja toisen näyttelijän elokuvallisen välimatkan päättelemisestä tuli hauska peli harrastajille.

Samanlainen konsepti oli juuri tullut yleiseen tietoon elokuvan Six Degrees of Separation (1993) myötä. Se leikitteli ajatuksella, että jokainen maailman ihminen tuntee toisensa enintään viiden tuttavan välityksellä. Tämä idea puolestaan oli jo vuosikymmeniä vanha, vaikka se ei ihan täysin voikaan pitää paikkaansa eristyneiden yhteisöjen takia.

Aihe on saanut matemaattista huomiota viime vuosisadalta lähtien, ja maailma on osoittautunut yllättävän pieneksi. Sitä ennen kuitenkin pitää mainita, että matemaatikot ovat pelanneet samanlaista peliä jo pitkään. Sitä kutsutaan Erdös-luvuksi.

perjantai 20. tammikuuta 2017

Matematiikan epätäydellisyys

Madridilainen parturiliike.

(Mario Calvo, 500px. CC-BY-NC 3.0.)

Kylässä asuu ja työskentelee yksi parturi. Kukaan kyläläisistä ei leikkaa hiuksiaan itse, vaan parturi leikkaa kaikkien hiukset. Kuka leikkaa parturin hiukset?

Mikään ei piristä päivää niin kuin pieni paradoksi. Paitsi jos olet Gottlob Frege, paradoksin kertoo Bertrand Russell ja se tarkoittaa sitä, että jo painossa olevassa, vuosia kestäneessä työssäsi on virhe. Frege oli yksi matematiikan lakien formalisointia yrittäneistä, ja tämä virhe sai Russellin kirjoittamaan viime kerralla mainitun oman yrityksensä. Frege puolestaan kiirehti lisäämään loppuhuomautuksen siitä, ettei hänen järjestelmänsä toimikaan täydellisesti. (Russell esitti paradoksin teknisemmin termein, mutta ydinajatus on sama.)

Kaikki yritykset tiivistää matematiikan perusteet olivat epäonnistuneet. Aina oli jokin aukko, josta paradoksi tai puute pääsi livahtamaan. Oliko yritys tuhoon tuomittu? Vastaukseksi osoittautui kyllä.

keskiviikko 18. tammikuuta 2017

Matematiikan perustukset

Symbolista merkintätapaa käyttävä todistus lauseelle 1 + 1 = 2.

"Lause $1+1=2$ on ajoittain hyödyllinen." (Principia Mathematica, 2. nide, sivu 86.)

Matematiikan pätevyys tulee suoraan sen loogisesta rakenteesta. Jokainen matemaattinen lause on tulos todistuksesta, jossa alkuoletuksista päästään loogisten päättelysääntöjen avulla lopputulokseen. Mutta mistä alkuoletukset tulevat?

Lähes aina oletukset ovat aiempien todistuksien tuotteita, mutta matematiikan perustuksina toimivat aksioomat, ennalta tosiksi sovitut asiat. Aksiooman on oltava täysin ilmiselvä, koska sen vääräksi osoittaminen osoittaisi myös kaikki sitä käyttävät todistukset vääriksi. Toisaalta valitut aksioomat eivät saa johtaa ristiriitaan, koska silloin koko järjestelmä on epäpätevä.

Ideaalista olisi käyttää mahdollisimman vähän aksioomia ja osoittaa loput asiat niistä seuraaviksi. Yrityksiä ainakin on ollut — samoihin lopputuloksiin pääsee monenlaisilla valinnoilla. Tällä kerralla tutustumme kahteen merkittävään aksioomajärjestelmään, jotka pyrkivät tuomaan järjestystä geometriaan ja laskemiseen. Ensi kerralla puolestaan näemme, miksi matematiikka ei koskaan tule olemaan täydellistä.

maanantai 16. tammikuuta 2017

Muutama päässälaskuvinkki

Funktiolaskin, kynä ja paperia.

Koska edellinen tekstini koevinkeistä sai suhteellisen paljon huomiota, käsittelen vielä toistakin koulussa ja muuallakin hyödyllistä aihetta: päässälaskun jaloa taitoa. Päässälaskutaito on mitä ilmeisimmin heikentynyt aika rajusti viime vuosina, mikä on valtava sääli. Mielestäni päässälaskutaidon ja matematiikan ymmärtämisen välillä on jonkinlainen suhde.

Tunnustan olevani päässälaskuintoilija, jolla on kohtalaisen hyvä numeropää. En koskaan hankkinut yhtälöitä pyörittävää älylaskinta, vaan luotin itseeni ja kuvan laskimeen, jolle varmaan nauretaan lyhyessäkin matikassa. (Lainasin CAS-laskimen tarkistusavuksi ylioppilaskokeeseen, mikä kyllä kannatti.) Vaikka en olisi kieltämässä älylaskimia, kannatan kyllä niiden välttämistä. Päässälasku ja peruslaskimeen rajoittuminen parantavat numeropäätä valtavasti.

Enemmittä puheitta, mennään asiaan. Päässälaskulla tarkoitan tässä sekä puhtaasti päässä tapahtuvaa että paperia hyödyntävää toimintaa. Vinkit ovat omiani, painottuvat jonkun verran pitkään matikkaan, eikä niillä ole takuuta.

torstai 12. tammikuuta 2017

Maisemia fraktaaleista

Tietokoneella piirretty luminen vuoristomaisema.

(Terragen-ohjelmalla luotu vuoristo. Levyznin/Wikimedia Commons/PD.)

Viime kerralla löysimme fraktaaleita luonnosta. Tällä kertaa teemmekin saman toisin päin: löydämme luontoa fraktaaleista!

tiistai 10. tammikuuta 2017

Kuinka pitkä on Suomen rannikko?

Olisi voinut opiskella maantiedettä.

(Blogisti mittaa rantaa 110 kilometriä sisämaassa.)

Suomen rannikko on erittäin monta kilometriä pitkä, mutta mikä on tarkka luku? (Oletetaan, että aika pysäytetään mittaamisen ajaksi, jottei aalloista tai maan kohoamisesta tarvitse välittää.) Ympäristökeskus antaa luvuksi muutaman tuhatta kilometriä mannerrantaa ja nelisenkymmentä tuhatta saaret huomioiden, mutta väitän luvun olevan kelpoisuudestaan huolimatta kaukana tarkasta. Suomen rannikko nimittäin muistuttaa fraktaalia.

perjantai 6. tammikuuta 2017

Muutama koevinkki

Y-akselin leikkauspiste määritettynä x-akselille, ja asiaan kuuluva punakynämerkintä.

Loppiainen meinaa laskeutumista takaisin arkeen ja abiturienteille koestressin kehittymistä. Vaikka yritän välttää kouluaiheita, tässä muutama (kantapään kautta opittu) vinkkini kaikenikäisille kokeentekijöille. Näillä on napsittu kymppejä ja älliä, joten ne ovat toimineet ainakin minulle. (Ei takuuta.)

Muistutus: En ole opettaja. Nämä havainnot ovat opiskelijan näkökulmasta.

Määrittelyehdot ja tarkkuus

Kuvitellaan, että kokeessa on seuraava tehtävä:

Määritä yhtälön $x^4 = 2, \, x > 0$ ratkaisut.

Huono vastaus olisi $x \approx \pm 1.19$. Ensinnäkin, tehtävänannon mukaan $x$ ei voi olla negatiivinen. Toisekseen, odotetaanko tehtävässä likiarvoa? Matematiikka (ainakin pitkä) on sen verran eksakti tiede, että tarkka arvo on hyvä oletus, ellei toisin määrätä. Siis: $x = \sqrt[4]{2}$.

Määrittelyehto voi olla muuallakin kuin tehtävänannossa. Mikäli ratkaistaisiin epäyhtälöä

\[ \frac{x-1}{x} < 1 \]

pitäisi itse muistaa kieltää tapaus $x=0$. Nollalla ei jaeta ilman erityisen painavaa syytä, eikä yleensä silloinkaan.

tiistai 3. tammikuuta 2017

Kaoottinen ilmakehä

Pilvi ja siihen mahdollisesti liittyviä yhtälöitä.

Sääennusteet ovat käytetyimpiä ennusteita ja ehkä rajuimpia yksinkertaistuksia. Meteorologien ja tehokkaiden tietokoneiden yhteistyön tulos tiivistetään kartalle pilvisymboleiksi ja lämpötiloiksi. Samalla menetetään tietoa ennusteiden sisäisestä epävarmuudesta ja monimutkaisuudesta. En ole missään nimessä pätevä kommentoimaan ennusteiden fysiikkaa, mutta tutustutaan isoimpiin matemaattisiin periaatteisiin.