Piin loputtomat desimaalit

three.onefouronefivenine.com

Pii, tuo matematiikan kansikuvakasvo. Suunnilleen kaikki tietävät, että piin desimaalit jatkuvat loputtomiin ilman mitään kuviota. Jotkut opettelevat sitä ulkoa huvikseen. Jotkut syövät piirakkaa kansainvälisenä piipäivänä (epäkansainväliseen malliin 14.3., tosin itse suosin heinäkuuta).

Paitsi että pii on irrationaalinen eli loputon ja toistumaton, se on transsendentti. Se meinaa, että sitä ei voi laskea minkään helpon (tekniselle helpon määritelmälle) polynomin avulla. Siksi sen laskemiseen on monia kiinnostavampia tapoja. Tapoja, joiden ansiosta desimaaleja tunnetaan biljoonittain.

Tämä on yksi niistä harvoista matemaattisista aiheista, joissa käytännön tarpeet tyydytettiin kokonaan jo vuosisatoja sitten. Miljoonilla desimaaleilla ei tee yhtään mitään, ei edes sadoilla. Linnunradan kokoisen ympyrän halkaisijan voisi laskea protonin tarkkuudella käyttäen vain neljääkymmentä desimaalia. Tämäkin vastaa pelkästään teoreettisten tähtitieteilijöiden ja ehkä Elon Muskin tarpeisiin.

Kuitenkin piin laskemisen tarina tarjoaa kiinnostavan poikkileikkauksen matematiikan historiasta.

Matemaatikko nimeltä Bourbaki

Moni matemaatikko työskentelee koko uransa kapealla alalla — mutta jotkut pystyvät loikkimaan aiheesta toiseen. Joidenkin nimi jää historiaan nerokkaan löydön myötä — harvat tulevat tunnetuiksi kirjoista, joista tulee alojensa merkkiteoksia ja välttämättömiä oppikirjoja. Ranskalainen Nicolas Bourbaki (1935–) kuuluu kummassakin jälkimmäiseen leiriin.

Hänen nimissään ei juuri ole teoreemoja eikä häntä ole palkittu yhdelläkään suurella palkinnolla. Kuitenkin jokaisen itseään kunniottavan yliopistokirjaston matematiikan osastolta löytyy useampi Bourbakin teos. Hän ei myöskään rajoitu yhteen alaan, vaan on vuosien varrella tuottanut merkkiteoksia useammalla matematiikan saralla.

Aika on vaikeaa

(Alex The Shutter/Flickr. CC-BY-NC 2.0.)

Taas on se aika vuodesta, kun käydään kiivasta keskustelua kesäajan tarpeettomuudesta. Tämä teksti ei ota siihen kantaa, vaan esittelen monta muutakin syytä, miksi aikaa — ehkä maailman ennustettavimmalta tuntuvaa asiaa — on lähes mahdotonta käsitellä.

Erityisen tärkeää tämä on ohjelmoijille: jokaisen vähänkään vakavammin koodaavan tulisi tietää, miksei aikajuttuja kannata yrittää kehittää itse. Ikävä kyllä läheskään kaikki eivät tunne edes yleisimpiä kompastuskiviä; enkä kyllä siitä voi moittiakaan. Siksi perussääntö on tämä: Jätä ajan käsittely ammattilaisille. Ei, et ole ammattilainen.

Kesäaika on ongelmista yleisin

Mikä olisikaan iloisempaa kuin ajanjakson 2:59-4:01 kestävän kaksi minuuttia tai viettää tunti laatuaikaa kello 3:00-3:00? Kesäajan johdosta paikallinen aika ei ole jatkuvaa. On pisteitä, joita ei ole olemassa: esimerkiksi 26.3.2017 klo 3:30. Toisaalta on pisteitä, jotka eivät ole yksikäsitteisiä: vaikkapa 29.10.2017 klo 3:15 tarkoittaa kahta ajanhetkeä.

Ohjelmat joutuvat sietämään takaperin kulkevaa kelloa, yöjunat pysähtyivät sunnuntaina tunniksi ja niin edelleen. Onneksi sentään vaihdokset on ajoitettu viikonloppuöiksi.

Vaarin laskutikku

Arkistojen kätköistä löytyi isoisäni vanha laskutikku (kiitos vaari ja eno!). Tikun tarina ulottuu yli viiden vuosikymmenen taakse, jolloin laskutikun opettelu kuului kauppaopiston matematiikkaan. Hankinta tehtiin kuulemma "enemmän tai vähemmän edullisesti" koulun kautta kuten nykyäänkin nokkahuilujen ja laskimien tapaan.

Kyseinen tikku onkin varsin perusmalli: sillä pystyy kerto- ja jakolaskuihin sekä yksinkertaisiin muunnoksiin. Laajemmista malleista löytyy asteikkoja logaritmien ja vaikkapa trigonometrian tarpeisiin. Aikana ennen taskulaskinta tikku oli taulukkokirjoja ja päässälaskua nopeampi tapa suhteellisen tarkkoihin laskelmiin. Nykyään tikuista on käytössä lähinnä erikoislaskimia: ehkä yksinkertaisimpana mallina parkkikiekon keskikulutuslaskuri.

Mitä tämän tikun hyödyllisyyteen muuten tulee: ilmeisesti vaarini ei koskaan tarvinnut taitoa. Mekaaniset ja sittemmin sähköiset laskimet hoitivat homman nopeammin ja varmemmin, enkä kyllä suosittelisikaan tikkua laskimen tilalle. Sitä ei kuitenkaan koskaan tiedä, tarvitseeko sähköttömässä maailmanlopun tulevaisuudessa laskea kertolaskuja, joten vilkaistaanpa, kuinka tikku toimii!

Täydellisten lukujen mysteeri

(Luvun 28 täydellisyys visuaalisemmassa muodossa.)

Mikäli sortuisin inhimillistämään lukuja, näkisin täydelliset luvut turhamaisena kaksosparina, joka ei katso omia napojaan pidemmälle. Vertaus on enemmän kuin hieman ontuva, mutta siitä viis täydellisen luvun käsite on huikea: todella yksinkertainen, todella muinainen ja edelleen arvoituksellinen.

Lukua sanotaan täydelliseksi, mikäli se on itseään pienempien tekijöidensä summa. Esimerkiksi $28$ on täydellinen, koska se on jaollinen luvuilla $1$, $2$, $4$, $7$ sekä $14$, ja näiden summa on $1+2+4+7+14=28$. Tämä tiedettiin jo antiikin Kreikassa.

Jos tämä kuulostaa hyvältä ainekselta numerologiahuuhailulle, olet aivan oikeassa: täydellisiin lukuihin on liitetty mystisiä ominaisuuksia kautta historian. Miksi muutenkaan Kuu kiertäisi Maan 28 päivässä ja kristinuskon Jumala käytti luomiseen kuusi päivää? Näillä luvuilla on onneksi myös oikeasti matemaattisesti kiehtoviakin ominaisuuksia.

Ihminen ja luvut

Katso ylläolevaa kuvaa. Montako ympyrää on vasemmalla puolella? Entä oikealla?

Veikkaan, että ensimmäiseen kysymykseen oli helppo vastata pelkästään vilkaisemalla, kun taas jälkimmäistä varten jouduit laskemaan. Yleisesti ottaen ihminen pystyy tunnistamaan lukumääriä vilkaisemalla aina muutamaan (sanotaan neljään) asti. Tämä kyky ei vaikuttaisi olevan ihmisten yksinoikeus, vaan useiden eläinten on havaittu pystyvän samanlaiseen lukutajuun, josta tietenkin saattaa olla hyötyä eloonjäämiselle.

Salakirjoituksen lyhyt historia

(Matt_Crypto/Wikimedia Commons. PD.)

Ihmiset tuntuvat tykkäävän salaisuuksista. Tällä kertaa en tarkoita sitä, minkäväriset villasukat paljastuvat joulupaketista tai arvuuttelua, kenen kanssa naapuri palasi pikkujouluista, vaan sellaisia juttuja kuin kauppasopimuksen ehdot tai tulevan hyökkäyksen ajankohta. Ilmeisesti näiden salassapysymisestä on jonkinlaista strategista hyötyä. (Kuten tietysti naapurinkin tapauksessa.)

Salakirjoitus on iloista matemaattista kissa ja hiiri -leikkiä: toinen osapuoli yrittää saada viestinsä salattua ja toinen purettua ne. Sivutuotteena syntyy uutta matematiikkaa ja tietokoneen kaltaisia työkaluja, joista on hyötyä esimerkiksi kissavideoiden katsomisessa täydellisen salattua yhteyttä pitkin.

Gödelin kansalaisuuskoe

Vanha tuttumme Kurt Gödel (1906-1978) rikkoi matematiikan perustuksia, mutta myös eli monivaiheisen elämän. Hän syntyi Itävalta-Unkariin, mutta ensimmäisen maailmansodan jäljiltä hänestä tuli tsekki. Etnisenä saksalaisena hän haki ja sai Itävallan kansalaisuuden. Itävalta puolestaan liitettiin vuonna 1938 osaksi Saksaa ja Gödelistä tuli siis kansalaisuudeltaan saksalainen.

Olot Wienissä ja muualla kävivät koko ajan tukalammiksi. Ympäri Saksan juutalaistaustaiset matemaatikot ja heihin liian läheisissä väleissä olleet — Gödel mukaan lukien — menettivät työnsä. Saksan opetusministerin kerrotaan kysyneen David Hilbertiltä, kuinka Göttingenin matematiikan laitos pärjäsi puhdistusten jälkeen. Vastaus oli napakka: siellä ei enää ollut matematiikkaa.

Gödel muutti Princetoniin Yhdysvaltoihin juuri ennen sodan syttymistä. Hän haki Yhdysvaltain kansalaisuutta, ja hänen kuulustelustaan tuli legenda. Gödel valmistautui kokeeseen aivan liian huolellisesti — hän muun muassa tutki perustuslakia löytääkseen siitä sisäisiä ristiriitoja, mielestään jopa onnistuen siinä. Seuraava kuvaus on todistajana olleen Oskar Morgensternin kirjoittama.

Kuulustelija: Mistä olette kotoisin, herra Gödel?

Gödel: Mistäkö olen kotoisin? Itävallasta.

Kuulustelija: Minkä tyyppinen hallitus Itävallassa oli?

Gödel: Tasavalta, mutta perustuslaki salli sen muuttamisen lopulta diktatuuriksi.

Kuulustelija: Se on todella paha juttu. Niin ei voisi tapahtua tässä maassa.

Gödel: Oi, kylläpäs voi, voin todistaa sen teille.

Todistajat Morgenstern ja Einstein (juuri se) kalpenivat. Ystävällinen kuulustelija kuitenkin tajusi tilanteen, vaihtoi nopeasti puheenaihetta ja Gödel sai kansalaisuuden. Tarina ei kerro, minkä virheen Gödel uskoi löytäneensä.

Hilbertin lausahdus

(Wolfgang Beyer/Wikimedia Commons/CC-BY-SA 3.0)

Viime vuosisadan huippumatemaatikko David Hilbertin erään opiskelijan kerrotaan loikanneen matematiikasta runouteen. Kun Hilbert kuuli tästä, hän sanoi:

Hyvä niin, hänellä ei ollut tarpeeksi luovuutta matemaatikoksi.

Maailma on pieni

(m4tik - 128db/Flickr/CC-BY-NC 2.0, kmhkmh/Wikimedia Commons/CC-BY 3.0, muokkaukset kirjoittajan.)

Elokuvaharrastajat tuntevat 90-luvulla keksityn pelin "Six Degrees of Kevin Bacon". Näyttelijä Kevin Bacon on työskennellyt hyvin laajasti ja monen ihmisen kanssa, joten hän saattaa oikeutetusti sanoa tuntevansa useimmat Hollywoodissa ainakin välillisesti tuttavan tuttavina. Baconin ja toisen näyttelijän elokuvallisen välimatkan päättelemisestä tuli hauska peli harrastajille.

Samanlainen konsepti oli juuri tullut yleiseen tietoon elokuvan Six Degrees of Separation (1993) myötä. Se leikitteli ajatuksella, että jokainen maailman ihminen tuntee toisensa enintään viiden tuttavan välityksellä. Tämä idea puolestaan oli jo vuosikymmeniä vanha, vaikka se ei ihan täysin voikaan pitää paikkaansa eristyneiden yhteisöjen takia.

Aihe on saanut matemaattista huomiota viime vuosisadalta lähtien, ja maailma on osoittautunut yllättävän pieneksi. Sitä ennen kuitenkin pitää mainita, että matemaatikot ovat pelanneet samanlaista peliä jo pitkään. Sitä kutsutaan Erdös-luvuksi.

Matematiikan epätäydellisyys

(Mario Calvo, 500px. CC-BY-NC 3.0.)

Kylässä asuu ja työskentelee yksi parturi. Kukaan kyläläisistä ei leikkaa hiuksiaan itse, vaan parturi leikkaa kaikkien hiukset. Kuka leikkaa parturin hiukset?

Mikään ei piristä päivää niin kuin pieni paradoksi. Paitsi jos olet Gottlob Frege, paradoksin kertoo Bertrand Russell ja se tarkoittaa sitä, että jo painossa olevassa, vuosia kestäneessä työssäsi on virhe. Frege oli yksi matematiikan lakien formalisointia yrittäneistä, ja tämä virhe sai Russellin kirjoittamaan viime kerralla mainitun oman yrityksensä. Frege puolestaan kiirehti lisäämään loppuhuomautuksen siitä, ettei hänen järjestelmänsä toimikaan täydellisesti. (Russell esitti paradoksin teknisemmin termein, mutta ydinajatus on sama.)

Kaikki yritykset tiivistää matematiikan perusteet olivat epäonnistuneet. Aina oli jokin aukko, josta paradoksi tai puute pääsi livahtamaan. Oliko yritys tuhoon tuomittu? Vastaukseksi osoittautui kyllä.

Matematiikan perustukset

"Lause $1+1=2$ on ajoittain hyödyllinen." (Principia Mathematica, 2. nide, sivu 86.)

Matematiikan pätevyys tulee suoraan sen loogisesta rakenteesta. Jokainen matemaattinen lause on tulos todistuksesta, jossa alkuoletuksista päästään loogisten päättelysääntöjen avulla lopputulokseen. Mutta mistä alkuoletukset tulevat?

Lähes aina oletukset ovat aiempien todistuksien tuotteita, mutta matematiikan perustuksina toimivat aksioomat, ennalta tosiksi sovitut asiat. Aksiooman on oltava täysin ilmiselvä, koska sen vääräksi osoittaminen osoittaisi myös kaikki sitä käyttävät todistukset vääriksi. Toisaalta valitut aksioomat eivät saa johtaa ristiriitaan, koska silloin koko järjestelmä on epäpätevä.

Ideaalista olisi käyttää mahdollisimman vähän aksioomia ja osoittaa loput asiat niistä seuraaviksi. Yrityksiä ainakin on ollut — samoihin lopputuloksiin pääsee monenlaisilla valinnoilla. Tällä kerralla tutustumme kahteen merkittävään aksioomajärjestelmään, jotka pyrkivät tuomaan järjestystä geometriaan ja laskemiseen. Ensi kerralla puolestaan näemme, miksi matematiikka ei koskaan tule olemaan täydellistä.

Keskiaikainen käännöskukkanen

Kreikkalainen matematiikka kukoisti kirkkaimmillaan ennen ajanlaskumme alkua, minkä jälkeen taso alkoi laskea. Jotkut pitävät matemaatikko Hypatian traagista kuolemaa vuonna 415 lopullisena päätöksenä kreikkalaiselle matematiikalle. Rooman valtakunnan rappeutuessa sivistyksen painopiste siirtyi itään, Bysantin kautta arabeille. Suuri osa kreikkalaisista teksteistä on säilynyt vain arabiankielisten käännösten ansiosta, ja ne palasivat Eurooppaan vasta keskiajan lopulta alkaen.

Sitä ennen kreikkalaiseen oppiin kuitenkin yhdistettiin tietoa muualta maailmasta — suurin lisäys oli intialainen lukujärjestelmä, joka yhdisti aiempien merkintätapojen parhaat puolet ja nollan. Yksi eri puolilta tulleiden oppien yhdistäjä oli 800-luvulla elänyt Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi, jonka kuvaus intialaisesta merkinnästä levisi myöhemmin Eurooppaan. Hän kirjoitti astronomiasta ja maantieteestä, mutta hänen tunnetuin työnsä käsittelee toisen asteen yhtälöitä. Kirja esittää esimerkkejä ja ratkaisumenetelmiä geometrisine todistuksineen, minkä vuoksi häntä on kutsuttu algebran isäksi. Eikä suotta.

Al-Khwarizmin pääteoksen pitkää nimeä (vapaasti suomennettuna Lyhyt kirja laskemisesta täydentämällä ja tasapainottamalla) en lähde translitteroimaan, mutta avainsana siinä on "palauttaminen; täydentäminen", al-jabr. Kirjoittajan ja teoksen nimet kääntyivät hieman puutteellisesti Euroopassa, muuttuen omiksi sanoikseen. Puhuessamme algoritmeista ja algebrasta viittaamme siis suoraan 800-luvun matemaatikkoon!

Lisää liikkeen mahdottomuudesta

(Kuva: Niccie King (Flickr). CC-BY 2.0.)

Mainitsin syyskuussa lyhyesti 450 eaa. tienoilla filosofoineen Zenon Elealaisen todistuksesta, jonka mukaan liike on mahdotonta. Palataan tutkimaan asiaa vähän tarkemmin, koska Zenon ei esittänyt ainoastaan yhtä todistusta väitteelleen. Antiikin kreikkalaisilla ei ollut muodollista määritelmää jatkuvuudelle ja raja-arvoille, vaikka niiden intuitiivisesta ymmärryksestä on paljon viitteitä myös matemaattisissa teksteissä — he muun muassa määrittivät joidenkin pyörähdyskappaleiden tilavuuksia lähes integrointia muistuttavalla menetelmällä.

Mahdottomat ratkaisut

(Näillä ympyrällä ja neliöllä on vain likimäärin sama pinta-ala.)

Viime kerralla esitellyt kolme klassista ongelmaa työllistivät matemaatikkoja parin vuosituhannen ajan. Niiden ratkaiseminen itsessään ei ollut mahdotonta: jo antiikin kreikkalaiset tiesivät menetelmiä, joilla ne pystyttiin ratkaisemaan tehokkaasti. Näihin ratkaisuihin kuitenkin liittyi liikkuvia janoja, spiraaleja ja muita tekniikoita, joita ei voinut toteuttaa pelkästään harpilla ja viivaimella.

Tehtävä oli selvä: joko nämä ratkaisutavat oli johdettava lähtöoletuksista, tai ongelmat todistettava mahdottomiksi vain niitä käyttäen. Jälkimmäinen tapahtui. Matematiikka on siitä hieno laji, että asioiden todistaminen mahdottomaksi on mahdollista. (Mainittakoon, että tästä huolimatta matematiikan laitokset ympäri maailman saavat ilmeisen paljon postia henkilöiltä, jotka ovat "ratkaisseet" jonkun klassisista ongelmista.)

Kreikkalaisten päänvaivoja

(Säännöllistä seitsemänkulmiota ei voi piirtää käyttäen vain harppia ja viivainta.)

Viime kerralla tutustuimme Eukleideen jäsentämään geometriaan. Vaikka kreikkalaiset ottivatkin ensimmäisinä käyttöön loogisen menetelmän, hekään eivät osanneet ratkaista kaikkia ongelmia. Niiden kanssa painiessaan he loivat paljon uutta, mutta he eivät osanneet päästää irti kaikista rajoituksistaan.

Ensimmäinen isku kreikkalaisille tuli kuitenkin jo aikaisemmin.

Harppi ja viivain

(Tasasivuisen kolmion piirtäminen harpilla ja viivaimella.)

Geometria syttyi kukoistukseensa antiikin Kreikassa. Aiemmat kansat olivat kyllä mitanneet kuvioita ja tehneet oikeaoppisia päätelmiä, mutta geometria ei vielä loistanut tieteenalana. Muinaiset babylonialaiset ja egyptiläiset, kummatkin jo 3000-2000 eaa. alkaen, osasivat laskea kolmion alan ja tunsivat Pythagoraan lauseen. Toisaalta vaikkapa nelikulmion alan laskemiseen oli mitä luovimpia päin paikallista puulajia olevia kaavoja.

Luultavasti kaikkien aikojen tunnetuin geometrikko on Eukleides Aleksandrialainen. Eukleideesta tiedetään hyvin vähän — hän vaikutti vuoden 300 eaa. tienoilla Aleksandriassa, jossa hän ilmeisesti opetti yliopistoa muistuttavassa laitoksessa. Kaikki elämäkerrallinen tieto on kirjattu vasta vuosisatoja myöhemmin. Se, mitä hänestä on jäänyt jäljelle, ovat hänen kirjansa. Hänen tutkielmansa peileistä ja perspektiivistä ovat säilyneet, mutta kartioleikkauksista kertovat työt ovat kadonneet. Hänen päätyönsä on kuitenkin oppikirjaksi luotu Alkeet.

Alkeet (muinaiskreikaksi Stoikheia, latinaksi Elementa) on matematiikan historian bestseller. Sitä käytettiin oppikirjana aina 1900-luvun taitteeseen asti, koska sen 13 kirjaa käsittävät lähes kaiken aikanaan tunnetun matematiikan geometriasta lukuteoriaan. Eukleides ei itse keksinyt kuin joitakin todistuksia: hänen saavutuksensa oli tiedon järjestäminen yhdeksi loogiseksi järjestelmäksi.

Miksi ympyrässä on 360 astetta?

(Noin 1800 eaa. peräisin oleva babylonialainen savitaulu, jossa on suorakulmaisen kolmion sivujen pituuksia. Wikimedia Commons.)

Yksi kokonainen on 100 prosenttia, 100 senttiä on euro taikka metri ja 1000 metriä on kilometri. Lukujärjestelmämme perustuu kymmeneen ja sen kerrannaisiin. Kuitenkin tunnissa on 60 minuuttia ja ympyrässä 360 astetta. Mistä tällainen poikkeus?