Siili, mansikka ja vektori

Ah, vektorit, nuo pitkän matematiikan kauhut ja fyysikkojen lempilelut. Osalle lukiolaisista vektorit tuntuvat hieman vaikeilta, osalle luonnollisimmalta jutulta paahtoleivän ja langattoman netin jälkeen. Henkilökohtainen kokemukseni on, että pelien koodaileminen yläkoulussa siirsi minut vakaasti jälkimmäiseen ryhmään, joten nyt yritän selittää saman näin nettitekstin välityksellä.

Sivumennen sanoen ymmärrän lukiolaisten tuskan. Olen paraikaa kurssilla, jossa suunnilleen kaikki on vektoria... muun muassa funktiot. Kyllä vaan, $f(x) = x + (\sin x)^2$ on vektori jossain ääretönulotteisessa avaruudessa. Tämän sisäistäminen vaatii jo jonkinlaista luottamusta määritelmien voimaan... enkä enää ihmettele, miksi matemaatikkojen ainejärjestö on nimeltään Matrix.

Mutta eipä harhauduta nyt moisiin ajatuksiin (ne sopivat toiseen kertaan), vaan aloitetaan kysymällä mikä vektori oikein on — ilman yliopistotason selitystä. Aion olla niin radikaali, etten koskaan edes kerro vastausta. Näytän vain esimerkkejä ja sitten leikimme niillä. Aletaanpa väsätä peliä siileistä ja mansikoista.

Lukuvinkki: Joulupukin kiistämätön olemassaolo

Joulusesonki on jo puolessavälin, joten kaiketi minunkin on hyvä aika kääntää blogin kurssia kohti Korvatunturin vuosittaista logistiikkaoperaatiota. Mikään ei korota joulumieltä paremmin kuin koko juhlan analysointi tiukan matemaattisesti, ja siihen tilaisuuteen tarttuu Hannah Fryn ja Thomas Oléron Evansin näppäränkokoinen kirja The Indisputable Existence of Santa Claus (Doubleday, 2016). (Tämänvuotinen painos kirjasta on vieläpä iloisen joulunpunainen!)

Sataanneljäänkymmeneen sivuun on pakattu huikea paketti matematiikan sovelluksista jouluisiin teemoihin. Enkä nyt tarkoita mitään tylsää peruskamaa, vaan esimerkiksi

• peliteoreettista lähestymistä joululahjojen ostoon,
• tapa tehdä työpaikan lahjaringistä tasapuolinen ja
• strategia sukulaisten rökittämiseen Monopolissa.

Kappaleet voisivat melkein olla tästä blogista revittyjä, paitsi paljon hauskempia ja hiotumpia. Siksi suosittelenkin tätä pukinkonttiin nuorelle tai miksei vanhemmallekin lukijalle, joka saattaisi pitää edes aavistuksen verran matematiikan soveltamisesta jouluun. Suomennosta ei tietääkseni ole — ja näkökulma on niin brittiläinen, ettei se oikein toimisikaan. Kielitaito onkin vaatimus lukijalle, mutta laatuaan ainoa sellainen.

Jos kaipaat matemaattisia lahjaideoita, minulla on kohtalainen lista muista hyvistä kirjoista, joista löytyy jotain joka matemaatikolle. Ja voihan olla, että tätäkin blogia kannattaa pitää silmällä joulumatikan tarpeen tyydyttämiseksi...

Matemaatikko nimeltä Bourbaki

Moni matemaatikko työskentelee koko uransa kapealla alalla — mutta jotkut pystyvät loikkimaan aiheesta toiseen. Joidenkin nimi jää historiaan nerokkaan löydön myötä — harvat tulevat tunnetuiksi kirjoista, joista tulee alojensa merkkiteoksia ja välttämättömiä oppikirjoja. Ranskalainen Nicolas Bourbaki (1935–) kuuluu kummassakin jälkimmäiseen leiriin.

Hänen nimissään ei juuri ole teoreemoja eikä häntä ole palkittu yhdelläkään suurella palkinnolla. Kuitenkin jokaisen itseään kunniottavan yliopistokirjaston matematiikan osastolta löytyy useampi Bourbakin teos. Hän ei myöskään rajoitu yhteen alaan, vaan on vuosien varrella tuottanut merkkiteoksia useammalla matematiikan saralla.

Päättymätön shakki

(Ricardo630/Wikimedia Commons. CC-BY-SA 3.0.)

Viime kerralla esitin ongelman:

Opiskelija haluaa käydä yhtä usein Helsingin yliopistolla ja Aallossa. Hän haluaa pitää yllätyksenä, milloin hän seuraavan kerran eksyy millekin yliopistolle. Jos hän noudattaa jotain kuviota kolmesti peräkkäin, häneen kohdistuu suuri sosiaalinen paine jatkaa samalla kuviolla. Mikäli hän käy kolmesti peräkkäin Aallolla, hänellä ei ole enää asiaa Helsingin yliopistolle. Puolestaan jos hän vuorottelee "HAHAHA", hänen on pakko jatkaa vuorottelua — kun taas "HAHA" ja jotain muuta ei tuota ongelmaa. Millainen sääntö opiskelijan pitäisi keksiä, ettei hän ikinä tee samaa kuviota kolmesti peräkkäin ja silti käy yhtä usein kummallakin yliopistolla?

Tämän ongelman ratkaisu kuuluu siihen joukkoon matematiikkaa, joka on niin yksinkertaista, että se hyppää esiin vähän kaikkialla. Sanalla sanoen kutsuisin sitä kauniiksi matematiikaksi.

Metropulma

(Kallerna/Wikimedia Commons. CC-BY-SA 3.0.)

Kuvitellaanpa taas yksi hypoteettinen tilanne.

Nuori opiskelija asuu Ruoholahdessa. Hän pitää yhtä lailla teoreettisesta filosofiasta ja soveltavasta sähkötekniikasta, ja siksi mieluusti hengailee vuorotellen yliopistolaisten ja teekkarien kanssa. Päättääkseen, keiden kanssa hän viettää päivänsä, hän menee metroasemalle ja ottaa ensimmäisen saapuvan metron. Jos se menee länteen (siksi tilanne on hypoteettinen), hän päätyy Aallolle — jos itään, hän on hetkessä yliopistolla.

Metroja tulee kumpaankin suuntaan tasaisesti viiden minuutin välein (oikea aikataulu eroaa tästä pulmasta). Kuitenkin opiskelijamme löytää itsensä Aallolta vain kerran viikossa. Miksi näin tapahtuu?