Paljon iloa osittaisintegroinnista

Pitkän matematiikan oppimäärä yllättää. Mikä aikanaan oli vain näppärä temppu vaikeiden laskujen laskemiseen, onkin avain todella nerokkaaseen ja kauniiseen teoriaan.

Tai ainakin yllätti. Niin pitkälti kuin minä tiedän, oppikirjoissa ei enää puhuta tästä kaverista. Pitkää matikkaa, kuten montaa muutakin ainetta, on viime vuosina kevennetty. Käsinlaskemista on korvattu ohjelmistojen käyttämisellä, joten tätäkään työkalua ei enää tarvita.

Kyse on siis osittaisintegroinnin kaavasta

\[ \int_a^b f(x)g'(x) \,\mathrm dx = \bigg/_{\hspace{-0.6em}a}^{\,b} f(x)g(x) - \int_a^b f'(x)g(x) \,\mathrm dx. \]

Siis mikä, ja miksi tästä on valtavasti iloa?

(Varoituksen sanana: tässä tekstissä pyöritellään integraaleja. Ensi kerralla taas helpompaa kamaa!)

Vähän kaikki on vektoria

Toissa kerralla löysimme kolme tapaa mitata vektorin pituus. Kaikille kolmelle löytyi käyttötarkoitus, mutta arkielämässä vain yhdestä on hyötyä. Viime kerralla taas huomasimme, että arkinen mitta on kolmikon ainoa, jonka kanssa voi puhua kulmista. Mutta miksi asialla on merkitystä? Minkä vuoksi olen esittänyt pituusmittoja tasavertaisina, ja minkä takia ollut niin innoissani kulmien määrittelystä?

Syy on siinä, että kaikki, jonka parissa työskentelen matemaatikkona, on vektoria.

Jos tulet mukaan vasta tässä kohtaa, suosittelen aloittamaan yllä mainituista osista. Mutta varoituksen sana: en kertonut totuutta ensimmäisessä osassa.

Kahden vektorin kulma

Viime kerralla havaitsimme, että pituuden voi laskea monella tapaa. Pisteestä pisteeseen voi kulkea linnuntietä tai taksilla, ja New Yorkin ruutukaavassa tulokset ovat erittäin erilaiset. Kahdesta erilaisesta pituusmitasta seuraa myös kaksi erilaista ympyrää, ja niistä vain toinen on pyöreä.

Kuitenkin arkielämässä on vain yksi tapa laskea pituus. Remonttihommissa ei hirveästi auta selitellä Manhattan-normia, kun huoneen kulmasta kulmaan pitäisi mitata palkki: ainoa tapa on sivu toiseen plus sivu toiseen ja neliöjuuri.

Jos kaikki pituuden määritelmät olivat muka yhtä päteviä, niin mikä sitten tekee Pythagoraan kaavasta niin ylivoimaisen?

Vektori ja sen pituus

Kuvassa on kolme ympyrää. Kuinka niin?

Kun minä olin nuori, vektorit jakoivat mielipiteitä. Tarkoitan siis, että lukiossa osa piti niistä ja osa ei päässyt jyvälle niiden logiikasta. Fysiikkaa lukeneet muistavat piirrelleensä mallikuviin nuolia ja siten päätelleensä mihin suuntaan laatikko/curlingkivi/veturi/jäätä pitkin liukuvan limupullon nappaava alieni (eikö teidän lukiossa?) liikkuu.

Yliopistomatikassa vektoreita käytetään ehkä yllättävän paljon ja tavoilla, joita ei heti ajattelisi. Meillä painopiste ei ole laatikon liikkeissä vaan ihan muissa jutuissa, joissa ei välttämättä näy pisaraakaan geometriaa. Tässä ja parissa seuraavassa tekstissä

• käymme läpi, mitä vektorit oikein ovat,
• kohtaamme kummallisia juttuja, kuten väitetyt kolme ympyrää, ja
• selvitämme, miksi matemaatikko haluaa nähdä vektoreita kaikessa, mikä ei liiku.

Erään hakukonehuijauksen anatomia

Yksi päätöksistäni heti bloggaamista aloittaessani oli esiintyä omalla nimelläni ja olla helposti tavoitettavissa. Jos vilkaiset Kuka olen? -sivuani, löydät liudan erilaisia tapoja saada asiasi tietooni. Tämä on ollut pelkästään hyvä päätös, koska sitä kautta olen päässyt kirjoittamaan muuallekin: viimeksi minulla oli suuri kunnia kirjoittaa Fermi-arvioista aineenopettajien Dimensio-lehdessä.

Tällä kertaa en kuitenkaan puhu näistä mahtavista tilaisuuksista. (Joita siis otan mielelläni vastaan!) Sen sijaan puhun siitä yhdestä, josta kieltäydyin. Ja koska tämä on blogi matematiikasta, tähän tarinaan kietoutuu yksi maailman merkittävimmistä algoritmeista. Ja kuten jokaiseen hyvään juttuun, tähänkin liittyy matriiseja.

Siili, pikseli ja matriisi

(Valokuva: Kalle Gustafsson/Flickr. CC-BY 2.0.)

Viime kerralla kehitimme pelin, jossa siili napsii mansikoita. Siinä kuitenkin puhuimme ainoastaan pelimekaniikoista; nyt vuorossa on pelin siirtäminen ruudulle. Sitä ennen tarvitaan pieni selitys tietokonegrafiikan toiminnasta.

Nykytietokoneessa on kaksi suoritinta, jotka tekevät yhtäaikaisesti töitä. Ensimmäinen on yleispätevä ja pystyy monenlaisiin temppuihin. Se voi käsitellä tekstiä tai simuloida siilin nälkäistä mahaa. Toinen suoritin puolestaan keskittyy pelkästään grafiikkaan ja osaa lähinnä laskea vektoreilla. Ennen kaikkea se osaa laskea niillä valtavan paljon nopeammin kuin tavallinen suoritin.

Siili, mansikka ja vektori

Ah, vektorit, nuo pitkän matematiikan kauhut ja fyysikkojen lempilelut. Osalle lukiolaisista vektorit tuntuvat hieman vaikeilta, osalle luonnollisimmalta jutulta paahtoleivän ja langattoman netin jälkeen. Henkilökohtainen kokemukseni on, että pelien koodaileminen yläkoulussa siirsi minut vakaasti jälkimmäiseen ryhmään, joten nyt yritän selittää saman näin nettitekstin välityksellä.

Sivumennen sanoen ymmärrän lukiolaisten tuskan. Olen paraikaa kurssilla, jossa suunnilleen kaikki on vektoria... muun muassa funktiot. Kyllä vaan, $f(x) = x + (\sin x)^2$ on vektori jossain ääretönulotteisessa avaruudessa. Tämän sisäistäminen vaatii jo jonkinlaista luottamusta määritelmien voimaan... enkä enää ihmettele, miksi matemaatikkojen ainejärjestö on nimeltään Matrix.

Mutta eipä harhauduta nyt moisiin ajatuksiin (ne sopivat toiseen kertaan), vaan aloitetaan kysymällä mikä vektori oikein on — ilman yliopistotason selitystä. Aion olla niin radikaali, etten koskaan edes kerro vastausta. Näytän vain esimerkkejä ja sitten leikimme niillä. Aletaanpa väsätä peliä siileistä ja mansikoista.

Satu opiskelijakylän apoteekkarista

(Dan Backman/Flickr. CC-BY 2.0.)

Olipa kerran kaukaisella yliopistolla pieni ja iloinen opiskelijakylä. Kylässä asui monen monta opiskelijaa ja olipa siellä puoti ja apoteekkikin. Joka perjantai-ilta nuoret ja vähän vanhemmatkin tieteenharjoittajat kävivät kaupassa, ja seuraavana aam... iltapäivänä he kömpivät apteekkiin hankkimaan apuja eilisillan kolhuihin.

Apteekkaria mietitytti kovasti, kuinka paljon kunakin päivänä pitäisi olla rohtoja valmiina hyllyssä. Onneksi hän ja kauppias olivat jo vanhastaan ystäviä, joten he sopivat yhteistyöstä ja avunannosta tässä pulmassa. Apteekkari sanoi:

— Katsos, kun opiskelija toikkaroi vaapukkamehusta päissään, tarvitsee hän kohta särkylääkkeitä ja laastareita. Kuplajuomaa lipitellyt fuksi puolestaan valittaa kipeää masuaan ja pyytää vatsalääkettä. Jos kerrot minulle, miten paljon kutakin mehua kulloinkin myyt, osaan varautua seuraavana päivänä.