Fieldsin mitalit 2022

Mikäli seurasit uutisia viime viikolla, saatoit huomata pienen otsikon "matematiikan Nobeleista". (Jos seurasit esim. luonnontieteisiin erikoistunutta, ilmaista Quanta Magazine -nettilehteä, et voinut olla huomaamatta isoja otsikoita.)

Maailmantilanteen takia Fieldsin mitalit sekä kourallinen muita palkintoja jaettiin tiistaina 5.7. hieman yllättäen... Helsingissä. Alla käyn läpi vastaukset muutamaan kysymykseen:

• Mitkä ihmeen Fieldsin mitalit?
• Onko syytä mennä torille?
• Ketkä ne sitten saivat ja mistä hyvästä?

Nollan ja ykkösen valtava väli

Kaikki tietävät, että lukuja on äärettömästi. (No okei, eivät kaikki, mutta tällä oletuksella menen.) Tämä äärettömyys ei ole vain leveää vaan myös syvää: pelkästään nollan ja ykkösen välissä on aika monta lukua.

Otetaan vaikka nollan ja ykkösen keskiarvo $\frac 1 2$. Ja tämän ja nollan keskiarvo $\frac 1 4$. Ja siitä saadaan $\frac 1 8$. Ja niin edelleen, loputtoman pitkään, aina nollaa lähestyen muttei sitä ikinä tavoittaen. Siispä pelkästään nollan ja ykkösen välissä on äärettömän monta rationaalilukua!

Sana "ääretön" kuitenkin vihjaa ongelmallisesti, että kyse olisi yhdestä, intuitiivisesta asiasta. Todellisuudessa ääretön ei ole kumpaakaan, mokoma rontti.

Piin loputtomat desimaalit

three.onefouronefivenine.com

Pii, tuo matematiikan kansikuvakasvo. Suunnilleen kaikki tietävät, että piin desimaalit jatkuvat loputtomiin ilman mitään kuviota. Jotkut opettelevat sitä ulkoa huvikseen. Jotkut syövät piirakkaa kansainvälisenä piipäivänä (epäkansainväliseen malliin 14.3., tosin itse suosin heinäkuuta).

Paitsi että pii on irrationaalinen eli loputon ja toistumaton, se on transsendentti. Se meinaa, että sitä ei voi laskea minkään helpon (tekniselle helpon määritelmälle) polynomin avulla. Siksi sen laskemiseen on monia kiinnostavampia tapoja. Tapoja, joiden ansiosta desimaaleja tunnetaan biljoonittain.

Tämä on yksi niistä harvoista matemaattisista aiheista, joissa käytännön tarpeet tyydytettiin kokonaan jo vuosisatoja sitten. Miljoonilla desimaaleilla ei tee yhtään mitään, ei edes sadoilla. Linnunradan kokoisen ympyrän halkaisijan voisi laskea protonin tarkkuudella käyttäen vain neljääkymmentä desimaalia. Tämäkin vastaa pelkästään teoreettisten tähtitieteilijöiden ja ehkä Elon Muskin tarpeisiin.

Kuitenkin piin laskemisen tarina tarjoaa kiinnostavan poikkileikkauksen matematiikan historiasta.

Päättymätön shakki

(Ricardo630/Wikimedia Commons. CC-BY-SA 3.0.)

Viime kerralla esitin ongelman:

Opiskelija haluaa käydä yhtä usein Helsingin yliopistolla ja Aallossa. Hän haluaa pitää yllätyksenä, milloin hän seuraavan kerran eksyy millekin yliopistolle. Jos hän noudattaa jotain kuviota kolmesti peräkkäin, häneen kohdistuu suuri sosiaalinen paine jatkaa samalla kuviolla. Mikäli hän käy kolmesti peräkkäin Aallolla, hänellä ei ole enää asiaa Helsingin yliopistolle. Puolestaan jos hän vuorottelee "HAHAHA", hänen on pakko jatkaa vuorottelua — kun taas "HAHA" ja jotain muuta ei tuota ongelmaa. Millainen sääntö opiskelijan pitäisi keksiä, ettei hän ikinä tee samaa kuviota kolmesti peräkkäin ja silti käy yhtä usein kummallakin yliopistolla?

Tämän ongelman ratkaisu kuuluu siihen joukkoon matematiikkaa, joka on niin yksinkertaista, että se hyppää esiin vähän kaikkialla. Sanalla sanoen kutsuisin sitä kauniiksi matematiikaksi.

Matemaatikko meni mäkkäriin

(Calgary Reviews/Flickr. CC-BY 2.0.)

Kuvittele täysin hypoteettinen tilanne, jossa matematiikan opiskelija pistäytyy kansainvälisen pikaruokaketjun toimipisteeseen. Kyseinen opiskelija on lukenut tätä blogia ja inspiroitunut eläkeläisestä, joka maksaa käteisellä. Nälkäinen kun on, matemaatikkomme haluaa ostaa mahdollisimman monta kananugettia (jollekin "kanan" määritelmälle) — mahdollisimman vaikeasti.

Kekseliäänä nuorena hän on huomannut, että nugetteja myydään neljän, kuuden, yhdeksän ja kahdenkymmenen kappaleen laatikoissa. Siksi hän pyytää yksitoista nugettia.

Entten tentten teelikamentten

(THOR/Flickr. CC-BY 2.0.)

Lukion lukuteorian helmeä kongruenssia sovelletaan jo alakoulussa, nimittäin välitunneilla. Vanha kunnon arvontaloru Entten tentten pohjautuu ihan kokonaan kellotaululaskentaan ja siksi sitä onkin helppo hyväksikäyttää pienellä vaivalla. Loru itsessään on vanhaa ja kiinnostavaa perua (artikkeli) ja alueittain erilainen. Tässä käytän sitä muotoa, jonka itse olen muinoin oppinut:

Entten tentten teelika mentten
Hissun kissun vaapula vissun
Eelin keelin klot
Viipula vaapula vot
Eskon saun pium paum
Nyt sinä lähdet tästä pelistä pois
(Pum pam pelistä pois)

Ystävälliset luvut

(Maths Gear myy näitäkin umpinörttejä esineitä.)

Jos täydelliset luvut ovat erinomaisuudessaan yksinäisiä, niin ystävälliset luvut ovat niiden täydellinen vastakohta: kaksikko. Nekin on tunnettu pythagoralaisten ajoista asti — vuosisatoja myöhemmin elänyt kirjoittaja antaa kunnian Pythagoraalle itselleen — ja niihinkin on yhdistetty ylimääräistä symboliikkaa.

Ajatus on taas kerran yksinkertainen. $220$ on jaollinen itsensä lisäksi luvuilla $1$, $2$, $4$, $5$, $10$, $11$, $20$, $22$, $44$, $55$ ja $110$. Niiden summa on $284$. Sen jakajat puolestaan ovat $1$, $2$, $4$, $71$ ja $142$ — ja niiden summa on $220$. Aika söpöä hei!

Melkein kaikki olennainen alkuluvuista

Alkuluvut ovat lukujen teorian olennaisin rakennuspalikka, joihin viittaan itsekin tämän tästä. Kuitenkaan niiden ominaisuudet eivät ole itsestäänselviä, joten tässä on kevyt referenssi/pikakertaus siihen, miksi alkuluvut ovat Iso Juttu. Joukossa pitäisi olla uusia tiedonmurusia lukion lukuteorian käyneillekin. Ota hyvä asento, niin aloitetaan!

Pienten lukujen lait

Isojen lukujen laki on vakavamielinen ja tärkeä todennäköisyyksien pääsääntö: todennäköisyydet toimivat vasta isossa mittakaavassa. Tuhannesta kolikonheitosta noin puolet on kruunia, kahdesta heitosta puolestaan on paha mennä sanomaan. Pienten lukujen laki, tai itse asiassa kaksi lakia, on vähemmän vakava mutta niin ikään olennainen:

1. Pieniä lukuja ei ole riittävästi vastaamaan niihin kohdistettuja odotuksia.
2. Vaikka kaksi lukua näyttäisivät samalta, asia ei välttämättä ole niin!

– Richard Guy

Guy esitteli nämä lukuisilla esimerkeillä kahdessa artikkelissa, joihin linkitän tämän tekstin lopussa. Annan kuitenkin muutaman esimerkin ihan itse.

Täydellisten lukujen mysteeri

(Luvun 28 täydellisyys visuaalisemmassa muodossa.)

Mikäli sortuisin inhimillistämään lukuja, näkisin täydelliset luvut turhamaisena kaksosparina, joka ei katso omia napojaan pidemmälle. Vertaus on enemmän kuin hieman ontuva, mutta siitä viis täydellisen luvun käsite on huikea: todella yksinkertainen, todella muinainen ja edelleen arvoituksellinen.

Lukua sanotaan täydelliseksi, mikäli se on itseään pienempien tekijöidensä summa. Esimerkiksi $28$ on täydellinen, koska se on jaollinen luvuilla $1$, $2$, $4$, $7$ sekä $14$, ja näiden summa on $1+2+4+7+14=28$. Tämä tiedettiin jo antiikin Kreikassa.

Jos tämä kuulostaa hyvältä ainekselta numerologiahuuhailulle, olet aivan oikeassa: täydellisiin lukuihin on liitetty mystisiä ominaisuuksia kautta historian. Miksi muutenkaan Kuu kiertäisi Maan 28 päivässä ja kristinuskon Jumala käytti luomiseen kuusi päivää? Näillä luvuilla on onneksi myös oikeasti matemaattisesti kiehtoviakin ominaisuuksia.

(Epä)käytännöllinen kolikkomaksu

Eläkepäiväsi ovat koittaneet ja voit viimeinkin siirtyä täysipäiväiseksi kassajonojen tukkijaksi. Aseinasi ovat tarkka tarjoussilmä, käteisellä täytetty lompakko ja annos matemaattista tiedonhalua. Vuosia tukka putkella kortillamaksamisen jälkeen on hyvä hengähtää ja miettiä uudelleen tapaa, jolla luopuu rahoistaan.

Ensinnäkin vaihtoraha on auttamattomasti passé. Älylliset virikkeet ovat tärkeitä ja niitä ei kassakone tarjoa. Siispä maksu on suoritettava tasarahalla. Entäpäs menetelmä, jolla latelet kolikot tiskiin? Klassinen "aloita isoista ja etene pienempiin" toimii, mutta on vähän tylsä... mitä jos yrittäisitkin maksaa ostokset käyttämällä kunkinsuuruista kolikkoa enintään kerran?

Iltapäivälehti tarttuu mukaan 1,60 € hinnalla, joka on helppo jakaa euroon, viisikymmensenttiseen ja kymmensenttiseen. Suklaalevyn 2,25 € hoituu kaksieuroisella, kahdellakymmenellä ja viidellä sentillä. Pienet ostokset sujuvat kuin tanssi (nivelten rajoissa), kunnes vastaan tulee pahin kaikista: kissanhiekkatarjous. Kaksi pussia yhdeksällä eurolla. Jono takanasi pitenee roimasti, kun yrität valita kolikkosi viitosen seuraksi — mutta et onnistu. Yhdeksää euroa ei voi maksaa käyttämättä samanlaista kolikkoa kahdesti.

Julkisia salaisuuksia

(Eric Sonstroem/Flickr. CC-BY 2.0.)

Viime kerralla tutustuimme salakirjoitukseen. Kaikissa viimekertaisissa menetelmissä oli kuitenkin se ongelma, että kummallakin osapuolella täytyy olla sama avain. Nykypäivän käyttötarkoituksiin se ei yksinkertaisesti kelpaa — jokainen suojattu nettiyhteys tarvitsee uuden avaimen sinun ja täysin tuntemattoman toimijan välille. Suojaamattoman yhteyden yli avainta ei voi sellaisenaan lähettää ilmeisistä syistä.

Vaihtoehtoja on kaksi: joko perustaa joka kylälle avainkioskeja, joilla pitää käydä aina Facebookiin halutessaan — tai käyttää ovelaa matematiikkaa. Blogin teemasta on pääteltävissä, kumpaan reittiin tutustumme: julkisen avaimen salakirjoitukseen, joka pystyy siirtämään avaimen turvallisesti pahisten nenän edestä.

Matematiikan epätäydellisyys

(Mario Calvo, 500px. CC-BY-NC 3.0.)

Kylässä asuu ja työskentelee yksi parturi. Kukaan kyläläisistä ei leikkaa hiuksiaan itse, vaan parturi leikkaa kaikkien hiukset. Kuka leikkaa parturin hiukset?

Mikään ei piristä päivää niin kuin pieni paradoksi. Paitsi jos olet Gottlob Frege, paradoksin kertoo Bertrand Russell ja se tarkoittaa sitä, että jo painossa olevassa, vuosia kestäneessä työssäsi on virhe. Frege oli yksi matematiikan lakien formalisointia yrittäneistä, ja tämä virhe sai Russellin kirjoittamaan viime kerralla mainitun oman yrityksensä. Frege puolestaan kiirehti lisäämään loppuhuomautuksen siitä, ettei hänen järjestelmänsä toimikaan täydellisesti. (Russell esitti paradoksin teknisemmin termein, mutta ydinajatus on sama.)

Kaikki yritykset tiivistää matematiikan perusteet olivat epäonnistuneet. Aina oli jokin aukko, josta paradoksi tai puute pääsi livahtamaan. Oliko yritys tuhoon tuomittu? Vastaukseksi osoittautui kyllä.

Matematiikan perustukset

"Lause $1+1=2$ on ajoittain hyödyllinen." (Principia Mathematica, 2. nide, sivu 86.)

Matematiikan pätevyys tulee suoraan sen loogisesta rakenteesta. Jokainen matemaattinen lause on tulos todistuksesta, jossa alkuoletuksista päästään loogisten päättelysääntöjen avulla lopputulokseen. Mutta mistä alkuoletukset tulevat?

Lähes aina oletukset ovat aiempien todistuksien tuotteita, mutta matematiikan perustuksina toimivat aksioomat, ennalta tosiksi sovitut asiat. Aksiooman on oltava täysin ilmiselvä, koska sen vääräksi osoittaminen osoittaisi myös kaikki sitä käyttävät todistukset vääriksi. Toisaalta valitut aksioomat eivät saa johtaa ristiriitaan, koska silloin koko järjestelmä on epäpätevä.

Ideaalista olisi käyttää mahdollisimman vähän aksioomia ja osoittaa loput asiat niistä seuraaviksi. Yrityksiä ainakin on ollut — samoihin lopputuloksiin pääsee monenlaisilla valinnoilla. Tällä kerralla tutustumme kahteen merkittävään aksioomajärjestelmään, jotka pyrkivät tuomaan järjestystä geometriaan ja laskemiseen. Ensi kerralla puolestaan näemme, miksi matematiikka ei koskaan tule olemaan täydellistä.

Normaaleja lukuja

\[ 1,2,2,1,1,2,1,2,2,1,2,2,\dots \]

Keksitkö kaavan? (Vastaus seuraavassa kappaleessa.) Kolakoskin sarja on loputon lukujono, joka koostuu pelkästään ykkösistä ja kakkosista. Sen kehitti alkujaan Rufus Oldenburger vuonna 1939, mutta tunnetuksi sen teki William Kolakoski vuonna 1965 julkaistussa artikkelissaan. Siitä lähtien on ihmetelty, onko jonossa yhtä paljon ykkösiä ja kakkosia.

Mahdottomat ratkaisut

(Näillä ympyrällä ja neliöllä on vain likimäärin sama pinta-ala.)

Viime kerralla esitellyt kolme klassista ongelmaa työllistivät matemaatikkoja parin vuosituhannen ajan. Niiden ratkaiseminen itsessään ei ollut mahdotonta: jo antiikin kreikkalaiset tiesivät menetelmiä, joilla ne pystyttiin ratkaisemaan tehokkaasti. Näihin ratkaisuihin kuitenkin liittyi liikkuvia janoja, spiraaleja ja muita tekniikoita, joita ei voinut toteuttaa pelkästään harpilla ja viivaimella.

Tehtävä oli selvä: joko nämä ratkaisutavat oli johdettava lähtöoletuksista, tai ongelmat todistettava mahdottomiksi vain niitä käyttäen. Jälkimmäinen tapahtui. Matematiikka on siitä hieno laji, että asioiden todistaminen mahdottomaksi on mahdollista. (Mainittakoon, että tästä huolimatta matematiikan laitokset ympäri maailman saavat ilmeisen paljon postia henkilöiltä, jotka ovat "ratkaisseet" jonkun klassisista ongelmista.)

Eräs iso luku

Menneen puolentoista viikon aikana olemme leikkineet äärettömyydellä sekä suuressa että pienessä merkityksessä. Ääretön on tavoittamattomissa, jotain mitä ei voi edes yrittää konkreettisesti ajatella. Paljon parempi tapa räjäyttää mielensä on tutkia jotakin pienempää, vaikkapa Grahamin lukua.

Yksinkertaisuudessaan kaunis todistus

Seuraavan erinomaisen todistuksen on luonut Dov Jarden. Vapaasti suomennettuna se menee näin:

Yksinkertainen todistus, että irrationaaliluku korotettuna irrationaaliseen potenssiin voi olla rationaalinen.

$$\sqrt{2}^{\sqrt{2}}$$ on joko rationaalinen tai irrationaalinen. Jos se on rationaalinen, väite on tosi. Jos se on irrationaalinen, $$(\sqrt{2}^{\sqrt{2}})^{\sqrt{2}} = 2$$ todistaa väitteen.

Tämä on aivan nerokas tapa todistaa väite. Riippumatta siitä, onko $$\sqrt{2}^{\sqrt{2}}$$ rationaalinen, lauseke saadaan muokattua väistämättä rationaaliseksi:

1. Tiedetään, että $$\sqrt{2}$$ on irrationaalinen --- sitä ei voi kirjoittaa murtolukuna.
2. Tällöin $$\sqrt{2}^{\sqrt{2}}$$ on irrationaaliluku korotettuna irrationaaliseen potenssiin.
3. Jos $$\sqrt{2}^{\sqrt{2}}$$ on rationaalinen, väite on tosi.
4. Jos se ei ole, $$\sqrt{2}^{\sqrt{2}}$$ on irrationaalinen.
5. Tällöin $$(\sqrt{2}^{\sqrt{2}})^{\sqrt{2}}$$ on irrationaaliluku korotettuna irrationaaliseen potenssiin.
6. Se on kuitenkin rationaaliluku $$\sqrt{2}^2 = 2$$. Väite on tosi.

Kyseessä on eksistenssitodistus, joka todistaa väitteen, muttei ota kantaa kummalla ylläolevista tavoista. Tällaisten ratkaisujen takia pidän matemaattisesta todistamisesta!

---

• Muilla keinoilla voidaan osoittaa, että $$\sqrt{2}^{\sqrt{2}}$$ on irrationaalinen. Se on myöskin transkendentti: se ei ole minkään rationaalikertoimisen polynomin nollakohta.

Kuusi kertaa kuusi on kuusi

Aloitetaan pienellä hypyllä lukuteorian ihmeelliseen maailmaan. Kokeile ottaa kaksi kuutoseen päättyvää (kokonais)lukua, ihan niin isoja tai pieniä kuin haluat, ja kerro ne keskenään. Mihin numeroon tulos päättyy? (Jos otit niin isot luvut, että laskimesi sanoo OVERFLOW, kokeile vähän pienemmillä luvuilla.)