torstai 22. helmikuuta 2018

Piin loputtomat desimaalit

Pii, tuo matematiikan kansikuvakasvo. Suunnilleen kaikki tietävät, että piin desimaalit jatkuvat loputtomiin ilman mitään kuviota. Jotkut opettelevat sitä ulkoa huvikseen. Jotkut syövät piirakkaa kansainvälisenä piipäivänä (epäkansainväliseen malliin 14.3., tosin itse suosin heinäkuuta).

Paitsi että pii on irrationaalinen eli loputon ja toistumaton, se on transsendentti. Se meinaa, että sitä ei voi laskea minkään helpon (tekniselle helpon määritelmälle) polynomin avulla. Siksi sen laskemiseen on monia kiinnostavampia tapoja. Tapoja, joiden ansiosta desimaaleja tunnetaan biljoonittain.

Tämä on yksi niistä harvoista matemaattisista aiheista, joissa käytännön tarpeet tyydytettiin kokonaan jo vuosisatoja sitten. Miljoonilla desimaaleilla ei tee yhtään mitään, ei edes sadoilla. Linnunradan kokoisen ympyrän halkaisijan voisi laskea protonin tarkkuudella käyttäen vain neljääkymmentä desimaalia. Tämäkin vastaa pelkästään teoreettisten tähtitieteilijöiden ja ehkä Elon Muskin tarpeisiin.

Elon Musk tahtoo vain rakennella raketteja.

Kuitenkin piin laskemisen tarina tarjoaa kiinnostavan poikkileikkauksen matematiikan historiasta.

Antiikki

Jokaisen hyvän tarinan tavoin tämäkin alkaa muinaisista kreikkalaisista. Geometria oli monelle täkäläiselle ajattelijalle kovin läheinen aihe, joten piitäkin tuli siinä sivussa käytettyä. Kyseessä ei kuitenkaan ollut mikään meille tuttu lukuarvo, koska kukaan ei oikein ollut laskenut sitä. Erilaisia likiarvoja, kuten $25/8 = 3.125$ kyllä oli käytetty historian alusta asti.

Huomautettakoon tässä, että kreikkalaiset eivät kutsuneet ympyrän halkaisijan ja piirin suhdetta nimellä $\pi$. Kreikkalainen aakkonen otettiin tähän tarkoitukseen vasta muutama vuosisata sitten.

Ensimmäinen oikeasti piitä arvioinut oli Arkhimedes — sama heppu, joka nykyään muistetaan Syrakusan kaduilla heurekan huutelemisesta pelkkä kylvystä kostea parta paikkoja peittämässä. Hänen menetelmänsä oli tuttuun tapaan nerokas ja yksinkertainen: Säännöllisen monikulmion ympärysmitta on helppo laskea, koska se koostuu pelkistä tasasivuisista kolmioista.

Jos siis ympyrän sekä sisä- että ulkopuolelle piirtää kuusikulmion, saa kaksi ympärysmittaa, joiden välissä ympyrän piirin on pakko olla. Mitä monikulmaisempia kulmiot ovat, sitä lähemmäs ne likistyvät toisiaan ja sitä tarkempi arviosta tulee. Arkhimedes käytti 96-kulmioita saadakseen luvuksi

\[ \frac{223}{71} < \pi < \frac{22}{7}, \]

jossa on jo kaksi oikeaa desimaalia: $3.14$. (Helppous-tarkkuus-suhteeltaan $22/7$ on ehdottomasti paras murtoluku piin arviointiin.) Tämä tapahtui parisataa vuotta ennen ajanlaskun alkua, ja muutama vuosisata myöhemmin kiinalaiset matemaatikot pistivät vielä paremmaksi. He pääsivät seitsemän desimaalin tarkkuuteen yli 12 000-sivuisilla kuvioilla.

Liian huono vitsi.

Uusi aika

Seuraavaa askelta saatiin odottaa renessanssin jälkeiseen aikaan. Tuolloin nimittäin alkoi kantautua positiivista pöhinää uudelta matematiikan alalta nimeltä analyysi. Joitakin insinöörejä saattaa kiinnostaa derivointi ja integrointi, mutta piin kannalta sarjat ovat ehdottomasti siistein juttu.

Sarja tarkoittaa yksinkertaisesti summaa, jossa lasketaan yhteen äärettömän monta lukua. Temppu on siinä, että termit pienenevät eteenpäin mentäessä. Jos pieneneminen on tarpeeksi nopeaa, summa lähestyy jotakin äärellistä lukua. Ei ole esimerkiksi kovin vaikeaa huomata, että $\frac 1 2 + \frac 1 4 + \frac 1 8 + \cdots = 1$.

Neliö, joka on jaettu puolikkaaseen, neljännekseen ja niin edelleen.

Kaikki tutut jännät funktiot voi esittää sarjoina. Piin kannalta erityisen kiinnostavia ovat trigonometriset funktiot, koska kummatkin liittyvät ympyröihin. Yksi harvinaisen helppo tapa laskea piitä pohjautuu tangentin käänteisfunktioon. Sattuu olemaan niin, että $\tan(\pi/4) = 1$, joten $\pi$ on neljä kertaa $\tan^{-1} 1$. Sille saa puolestaan helposti muistettavan kaavan:

\[ \pi = 4\left( 1 - \frac 1 3 + \frac 1 5 - \frac 1 7 + \frac 1 9 - \cdots \right) = 4\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{2k+1}. \]

Tässä tosin on se pikkuinen puute, että termejä saa laskea aika monta päästäkseen hyvään arvioon. Voit kokeilla kuinka pitkälle itse jaksat! Samantyyppisiä kaavoja on lukemattomasti ja ei ole vaikea löytää paljon nopeammin toimivaa menetelmää. 1600-luvun puolenvälin jälkeen Isaac Newton pääsi 15 desimaaliin ja vuosisadan taitteessa sadan raja rikkoutui.

Newtonin tuntevat kaikki. Hänet muistetaan matematiikassa huikeasta peruukistaan, mahdottomasta luonteestaan sekä differentiaalilaskennan keksimisestä. Jälkimmäisestä hän tosin jakaa kunnian Gottfried Leibnizin kanssa, koska pöytälaatikossa säilyttäminen on huono tapa julkaista löytö. Keskimmäisen ominaisuutensa johdosta hän veti asiasta herneen nenäänsä ja ajautui karvaaseen kiistaan Leibniziä vastaan. Lopulta Royal Societyn (puheenjohtaja: I. Newton) täysin puolueeton komitea totesi, että Newton oli nero ja Leibniz voro.

Gottfried kylläkin veti pidemmän korren, sillä hänen merkintätapansa oli se, joka vakiintui. Niin, ja hänen peruukkinsa oli kiistämättä vielä mahtavampi.

Tana. Kele.

Piin laskijoista on pakko mainita myös William Shanks, 1800-luvulla elänyt opettaja ja harrastelijamatemaatikko, joka tykkäsi laskea likiarvoja matemaattisille vakioille. Vuonna 1873 hän julkaisi tunnetuimman työnsä, piin likiarvon huikean 707 desimaalin tarkkuudella. Ajattele, aikana ilman taskulaskinta! Tehtävään upposi päivä jos toinenkin.

Temppu olisi tehnyt Shanksista kohtalaisen tunnetun, mutta harmi kyllä hänet muistetaan ikävämmästä asiasta: 528. desimaali on väärin. Hän ohitti vahingossa kaksi summan termiä ja siksi kaikki myöhemmätkin desimaalit ovat väärin. Lohdullisesti jo 527 desimaalia riitti maailmanennätykseen.

- Eikö tuossa... - Tiedän kyllä mitä teen!

Alkuun mokaa ei kylläkään tiennyt kukaan.

Nykyaika

Shanksin virhe tajuttiin nimittäin vasta 40-luvulla, kun laskukoneella varustettu matemaatikko pisti ennätyksen uusiksi ja huomasi, etteivät numerot täsmänneetkään edellisen enkan kanssa. Tietokoneiden kuvaan tuleminen tarkoitti, että vuosikymmentä myöhemmin ennätys huiteli jo tuhansissa. Reilu vuosikymmen lisää ja puhuttiin miljoonista.

Vaikkei desimaaleista mitään hyötyä olekaan, ne sentään ovat hyvä tapa testata tietokoneiden laskentatehoa ja luotettavuutta. Jos kone laskee kymmenen miljoonaa desimaalia oikein, ehkä se toimii ainakin sinne päin. Ja käyttäväthän ihmiset laskutehoa tyhmempiinkin juttuihin...

Bitcoin on uskottava valuutta!

Viimeisin iso löytö tehtiin 90-luvulla. Tutkijakolmikko Bailey-Borwein-Plouffe keksi piille hämmästyttävän yksinkertaisen näköisen kaavan:

\[ \pi = \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{16^k} \left( \frac{4}{8k+1} - \frac{2}{8k+4} - \frac{1}{8k+5} - \frac{1}{8k+6} \right). \]

Kaavan löytäminen kuvaa hyvin, miten tietokoneet ovat muuttaneet matematiikan tekemistä. Alkuperäisen havainnon teki tietokoneohjelma, joka on suunniteltu etsimään tämäntyyppisiä tuloksia. Vasta sen jälkeen ihmiset raapivat päätään todistaakseen, että kaava todella toimii. Todistus ei ole edes pitkä taikka monimutkainen! On pieni ihme, että se odotti löytäjäänsä näin kauan.

Tässäkin menetelmässä idea on summata loputtoman monta termiä yhteen. Kiinnostavan twistin asiaan tekee kuitenkin nimittäjässä oleva $16$. Siinä missä meille kymmenkantaiset luvut ovat helppoja, tietokoneet rakastavat kakkosen monikertoja. Kuuteentoista numeroon perustuvaa järjestelmää kutsutaan heksadesimaaliksi ja se näyttää hieman erilaiselta. (Lisää erilaisista lukujärjestelmistä.) Pii alkaisi heksana

\[ \mathrm{3.243f}\ldots \text{ eli } 3 \cdot 16^0 + 2 \cdot 16^{-1} + 4 \cdot 16^{-2} + 3 \cdot 16^{-3} + 15 \cdot 16^{-4}. \]

Pienellä pyörittelyllä kaavan saa muotoon, joka antaa minkä tahansa piin desimaalin — paitsi kymmenkannan sijasta heksadesimaalina. Tämä on järisyttävä ominaisuus. Shanksin laskelma meni pieleen, koska hän teki laskuvirheen aiemmissa vaiheissa. Tämä kaava ei tarvitse niitä aiempia vaiheita. Desimaaleja tiedetään vasta parikymmentä biljoonaa kappaletta, mutta tämän ansiosta tunnetaan bittejä kolmannensadan biljoonannen desimaalin suunnalta!

Eikä tämä edes ole hullua

On myös ihmisiä, joiden mielestä koko tämä laskeskelu on täysin eksynyttä puuhaa.

Vuonna 1897 muuan lääkäri ja matematiikan harrastelija esitti kotiosavaltionsa Indianan edustajainhuoneelle lakiehdotuksen, joka sisälsi menetelmän ympyrän neliöintiin — siis siihen, että harpilla ja viivaimella voisi piirtää ympyrän ja neliön, joilla on sama pinta-ala. Jalomielisenä nerona hän oli valmis lahjoittamaan keksintönsä osavaltiolle, joka hyötyisi siitä opetuksessa ja lisenssituloissa.

Tämä esitys tunnetaan siitä, että sen mukaan $\pi = 3.2$, tasan. Se tunnetaan myös siitä, että osavaltion edustajainhuone hyväksyi sen yksimielisesti. Lohdullisesti osavaltion senaatti ei ollut niin suopea, vaan naurettava tekele unohdettiin kaikessa hiljaisuudessa.

Luulisi, että virheellinen arvo olisi helppo huomata esimerkiksi mittanauhalla. Samoin koko ympyrän neliöimisen idea oli osoitettu mahdottomaksi alle pari vuosikymmentä ennen tapausta. Mutta tietyille luonteenlaaduille matematiikan sana "mahdoton" tarkoittaa luovuttamista: kyllä $1+1=3$ jos vain tarpeeksi yrittää! Lainatakseni lakiesityksen tekstiä:

Muistettakoon, että nämä tunnetut ongelmat on tieteilijöiden keskuudessa kauan sitten sivuutettu ratkaisemattomina mysteereinä ja ihmisen käsityskyvyn ylittävinä.

Vieläkin, aikana jona satelliitit kiertävät Maata tarkkaan lasketuilla radoilla ja kantoraketit laskeutuvat valtamerilautoille, näin hiljattain "artikkelin", joka väitti piin olevan tasan $17 - 8\sqrt 3 \approx 3.144$. Kumpi nyt sitten on järkevämpää: laskea oikeaa arvoa niin pitkälle kuin sielu sietää, vai päättää kaikkien muiden olleen alusta asti väärässä?

Urheiluauto avaruudessa.

Psst... Jos tykkäsit tästä, saatat tykätä myös Nollakohdan upouudesta Facebook-sivusta! Tykätä, tiedätkö. Hehe.

Ei kommentteja:

Lähetä kommentti

Kommentit ovat moderoituja — yritän hyväksyä kommenttisi mahdollisimman pian. Voit kirjoittaa kommenttiin LaTeX-koodia tai yksinkertaista HTML-merkintää: lue lisää Kommentointi-sivulta.