tiistai 6. kesäkuuta 2017

Täydellistä laatoitusta etsimässä

Vessan lattia. Kuusikulmaiset laatat!

Mikäli puhelin unohtuu oven ulkopuolelle, vessanpöntöllä istuskellessa ehtii katsella laattoja. Kun laattojen kuviot alkavat tympiä, voi alkaa pohdiskella kokonaisuuden olemusta. Millä tavoin vessan pinnat pystyy peittämään täydellisesti? Ja ennen kaikkea, miten sen voi tehdä tyylikkäimmin? Matemaatikoilla, noilla käytännön ihmisillä vessaan unohtujilla on vastaus.

Säännölliset monikulmiot

Kolmio, neliö ja kuusikulmio peittävät alueen täydellisesti.

Jo muinaiset kreikkalaiset rakastivat täydellisen säännöllisiä monikulmioita, joissa jokainen sivu ja kulma on yhtä suuri. Kolmiot, neliöt ja kuusikulmiot ovat ainoita säännöllisiä monikulmioita, jotka peittävät pinnan kokonaan ilman rakoja. (Hunajakennot ovat paitsi kauniita, myös matemaattisesti täydellisiä.) Viisikulmio ja kumppanit jättävät joko rakoja tai menevät päällekkäin. Kumpikaan ei liene toivottu ominaisuus vessassa.

Viisikulmio, tuo tyhmä muoto.

Rajoitusta säännöllisyydestä voi venyttää (heh heh) sallimalla erilaiset skaalaukset. Neliöt ja suorakulmiot toimivat kumpikin aivan yhtä hyvin. Joka tapauksessa yksi ongelma säilyy: kuviot ovat aika tylsiä. Pystymme parempaan.

Epäsäännölliset monikulmiot

Roomalaista mosaiikkitaidetta.

Jos laattojen koolla ja muodolla ei ole väliä, vain taivas on rajana. Tämä blogi kuitenkin käsittelee matematiikkaa eikä taidehistoriaa, joten ohitan tämän tapauksen täysin mielenkiinnottomana. Poikkeuksena on islamilainen laatoitustaide, joka kuvien sijaan perustuu kuvioihin — mutta siihen pätevätkin seuraavat kohdat!

Monta säännöllistä monikulmiota

Kaksi erikokoista neliötä vierekkäin toistuvat.

Nyt aletaan päästä asiaan. Ehkä yksinkertaisin tällainen laatoitus koostuu kahdesta erisuuruisesta neliöstä. Laatoitusta kutsutaan myös pythagoralaiseksi, koska sen geometriaa voi hyödyntää Pythagoraan lauseen todistamisessa. Mutta ovatko viivat vinoja vai näenkö vain väärin?

Kolmesta erilaisesta laatasta syntyvä laatoitus.

Yhdistämällä kahta tai useampaa eri monikulmiota saadaan toinen toistaan jännempiä ja mutkikkaampia laatoituksia. Vaka vanha Wikipedia ei jätä tässäkään kylmäksi, vaan sisältää pitkän ja räikeästi väritetyn kuvalistan erilaisista vaihtoehdoista. Tämä kannattaa ottaa mukaan laattakauppaan!

Epäsäännölliset laatoitukset

Keskuskadun Penrose-laatoitus.

Palataanpa sittenkin epäsäännöllisiin monikulmioihin. Jos nimittäin päätetään, että laatoitukseen saa käyttää vain paria erilaista laattaa, saadaan sittenkin matemaattisesti kiinnostavia lattioita. Yksi klassikko näistä on Penrose-laatoituksen versio, josta löytyy esimerkit muun muassa Heurekan pihalta ja Helsingin Keskuskadulta. Se koostuu kahdesta nelikulmiosta, "leijasta" ja "nuolesta" (Keskuskadulla jälkimmäinen on kasattu kolmesta pienestä laatasta). Vaikka syntyvän kuvion osat toistuvat, kokonaisuus ei missään kohtaa toistu tarkalleen samanlaisena.

Toinen nerokas laatoitus syntyy suorakulmaisesta kolmiosta, jonka sivut ovat $1$, $2$ ja $\sqrt 5$ yksikköä pitkiä. Viidestä kolmiosta muodostuu yksi isompi kolmio, ja viidestä sellaisesta taas yksi vielä suurempi, ja niin edelleen. Kuvio ei toistu, koska alkuperäinen kolmio saa kokonaisuudessa äärettömän monta asentoa!

Yhtä ainoaa kolmiota toistava laatoitus.

Sääli, ettei HOAS taida antaa laatoittaa vessaa uudelleen.

Ei kommentteja:

Lähetä kommentti

Kommentit ovat moderoituja — yritän hyväksyä kommenttisi mahdollisimman pian. Voit kirjoittaa kommenttiin LaTeX-koodia tai yksinkertaista HTML-merkintää: lue lisää Kommentointi-sivulta.