Miltä näyttää satunnainen funktio?

Tämänhetkinen tutkimusprojektini käsittelee fysiikan yhtälöitä, jotka kuvaavat aaltoliikettä. Yhtälöt itsessään etenevät kuin kellokoneisto ilman mitään satunnaisuutta, mutta minäpä tutkinkin, mitä tapahtuu jos lähtötilanne on satunnaisesti valittu. Viritän siis kuvitteelliselle vedenpinnalle satunnaisesti valitun muodon, käynnistän kellon ja katson, miten aallot alkavat loiskua.

(Oikeasti en tosin katsele mitään... työskentelen täysin teoreettisesti kynällä ja paperilla. En ohjelmoi simulaatioita eikä minua päästettäisi lähellekään aaltotankkia.)

Mutta miltä ylipäätään näyttää satunnaisesti valittu lähtötilanne? Millainen on satunnainen funktio? Tapoja sellaisen rakentamiseen on monta, joten eiköhän kurkata niistä muutamaan.

Fieldsin mitalit 2022

Mikäli seurasit uutisia viime viikolla, saatoit huomata pienen otsikon "matematiikan Nobeleista". (Jos seurasit esim. luonnontieteisiin erikoistunutta, ilmaista Quanta Magazine -nettilehteä, et voinut olla huomaamatta isoja otsikoita.)

Maailmantilanteen takia Fieldsin mitalit sekä kourallinen muita palkintoja jaettiin tiistaina 5.7. hieman yllättäen... Helsingissä. Alla käyn läpi vastaukset muutamaan kysymykseen:

• Mitkä ihmeen Fieldsin mitalit?
• Onko syytä mennä torille?
• Ketkä ne sitten saivat ja mistä hyvästä?

Paljon iloa osittaisintegroinnista

Pitkän matematiikan oppimäärä yllättää. Mikä aikanaan oli vain näppärä temppu vaikeiden laskujen laskemiseen, onkin avain todella nerokkaaseen ja kauniiseen teoriaan.

Tai ainakin yllätti. Niin pitkälti kuin minä tiedän, oppikirjoissa ei enää puhuta tästä kaverista. Pitkää matikkaa, kuten montaa muutakin ainetta, on viime vuosina kevennetty. Käsinlaskemista on korvattu ohjelmistojen käyttämisellä, joten tätäkään työkalua ei enää tarvita.

Kyse on siis osittaisintegroinnin kaavasta

\[ \int_a^b f(x)g'(x) \,\mathrm dx = \bigg/_{\hspace{-0.6em}a}^{\,b} f(x)g(x) - \int_a^b f'(x)g(x) \,\mathrm dx. \]

Siis mikä, ja miksi tästä on valtavasti iloa?

(Varoituksen sanana: tässä tekstissä pyöritellään integraaleja. Ensi kerralla taas helpompaa kamaa!)

Tuomiopäivän algoritmi

Viime kuukaudet ovat paikoin tuntuneet lopun ajoilta. Ilokseni voin kertoa, että tuomiopäiväkin on tiedossa: se on lauantai.

En kuitenkaan tarkoita mitään maallisen tai korkeamman oikeusasteen päätöspäivää, vaan John Conwayn näppärää algoritmia viikonpäivien laskemiseen. Sen avulla pystyy pienellä harjoittelulla sanomaan ihan tuosta vain, mikä päivä 30.11. sattuu olemaankaan (maanantai).

Jostain syystä en ollut opetellut temppua aiemmin, ja eiköhän tältä kielialueelta löydy vielä joku muukin toistaiseksi valistumaton. Eiköhän siis selvitetä, mistä on kyse.

Vähän kaikki on vektoria

Toissa kerralla löysimme kolme tapaa mitata vektorin pituus. Kaikille kolmelle löytyi käyttötarkoitus, mutta arkielämässä vain yhdestä on hyötyä. Viime kerralla taas huomasimme, että arkinen mitta on kolmikon ainoa, jonka kanssa voi puhua kulmista. Mutta miksi asialla on merkitystä? Minkä vuoksi olen esittänyt pituusmittoja tasavertaisina, ja minkä takia ollut niin innoissani kulmien määrittelystä?

Syy on siinä, että kaikki, jonka parissa työskentelen matemaatikkona, on vektoria.

Jos tulet mukaan vasta tässä kohtaa, suosittelen aloittamaan yllä mainituista osista. Mutta varoituksen sana: en kertonut totuutta ensimmäisessä osassa.

Kahden vektorin kulma

Viime kerralla havaitsimme, että pituuden voi laskea monella tapaa. Pisteestä pisteeseen voi kulkea linnuntietä tai taksilla, ja New Yorkin ruutukaavassa tulokset ovat erittäin erilaiset. Kahdesta erilaisesta pituusmitasta seuraa myös kaksi erilaista ympyrää, ja niistä vain toinen on pyöreä.

Kuitenkin arkielämässä on vain yksi tapa laskea pituus. Remonttihommissa ei hirveästi auta selitellä Manhattan-normia, kun huoneen kulmasta kulmaan pitäisi mitata palkki: ainoa tapa on sivu toiseen plus sivu toiseen ja neliöjuuri.

Jos kaikki pituuden määritelmät olivat muka yhtä päteviä, niin mikä sitten tekee Pythagoraan kaavasta niin ylivoimaisen?

Vektori ja sen pituus

Kuvassa on kolme ympyrää. Kuinka niin?

Kun minä olin nuori, vektorit jakoivat mielipiteitä. Tarkoitan siis, että lukiossa osa piti niistä ja osa ei päässyt jyvälle niiden logiikasta. Fysiikkaa lukeneet muistavat piirrelleensä mallikuviin nuolia ja siten päätelleensä mihin suuntaan laatikko/curlingkivi/veturi/jäätä pitkin liukuvan limupullon nappaava alieni (eikö teidän lukiossa?) liikkuu.

Yliopistomatikassa vektoreita käytetään ehkä yllättävän paljon ja tavoilla, joita ei heti ajattelisi. Meillä painopiste ei ole laatikon liikkeissä vaan ihan muissa jutuissa, joissa ei välttämättä näy pisaraakaan geometriaa. Tässä ja parissa seuraavassa tekstissä

• käymme läpi, mitä vektorit oikein ovat,
• kohtaamme kummallisia juttuja, kuten väitetyt kolme ympyrää, ja
• selvitämme, miksi matemaatikko haluaa nähdä vektoreita kaikessa, mikä ei liiku.

Lukiomatikan top 3+1

Jatketaanpa vielä uuden lukuvuoden juhlimista toisen top 3 -listan, nimittäin muistelun merkeissä. Tässä tulevat kolme omaa suosikkiani lukiomatematiikasta sekä yksi bonusvinkki lukion aloittajille.

Kirjoitan tätä tietenkin yliopistossa matematiikkaa opiskelevan näkökulmasta, mutta kaikki kolme suosikkia löytyvät jossain muodossa lyhyestäkin matikasta. Yleensäkin tämä on vain oma mielipiteeni, ja ehkä aika on kullannut muistoja ja opetussuunnitelma muutenkin ajanut ohi.

Mitkä ovat omat suosikkisi?

Kolme vinkkiä lukion matikkaan/fysiikkaan/kemiaan

Bloggaaja palaa juurilleen.

Taas lähtee uusi lukuvuosi käyntiin! Sen kunniaksi on hyvä aika esittää kolme Taatusti Toimivaa Vinkkiä™, joilla saat täysienpisteidentarroja kokeisiisi^*... tai mitä nyt sähköisiin kokeisiin liimataankaan. Joka tapauksessa, tässä tulee kolme ohjetta, jotka jokaisen lukionaloittajan ja varsinkin -lopettajan pitäisi mielestäni tietää.

* Arvosanatakuu: tämän artikkelin hinta (0 €) palautetaan kirjallista valitusta, pankkikortin molempia puolia ja sähköpostin salasanaa vastaan. Oikeat vastaukset eivät sisälly pakettiin.

Nämä vinkit ovat totta kai omia mielipiteitäni, joita olen kerryttänyt sekä lukiolaisena, satunnaisena tukiopettajana että matematiikan opiskelijana. Jaa ihmeessä omia neuvojasi esimerkiksi kommenteissa!

Kaikki kolme vinkkiä liittyvät päässälaskuun. Kyllä, päässälaskuun. GeoGebra-neuvoja joudut etsimään muualta. Voit pitää minua kalkkiksena, mutta ei siitä niin kauaa ole, kun olen itse kirjoittanut ylioppilaaksi. Meillä matikan osastolla sitä paitsi käytetään yhä liitutauluja (koomisuuteen asti) eikä tilanne ole lähivuosina muuttumassa. Siihen on syy.

Matemaatikkona työelämässä: Tutkimusavustaja, INAR

Olen ollut nyt pari kuukautta töissä, tarkemmin sanottuna siviilipalveluksessa, Helsingin yliopiston Ilmakehätieteiden tutkimuskeskus INARissa. (Keskus ei kuitenkaan sijaitse Inarissa.) Vaikka henkilöstöhallinnolle olenkin siviilipalvelusmies, varsinainen työnkuvani on tutkimusavustaja.

Pari vuotta takaperin kirjoitin siitä, millaista on olla ohjelmistokehittäjänä sädehoidon parissa. Nyt vuorossa olisi yksi kuvaus työstä yliopistolla. Pidin viikon ajan päiväkirjaa tekemisistäni, ja tulokset ovat alla. En helmikuussa tätä ideoidessani arvannut, että työskentelisin koko viikon kotona – mutta samapa se, minkä pöydän ääressä nakuttaa läppäriä. Ehdinkin jo hetken nauttia työn ja vapaa-ajan erosta, jota opiskellessa on vaikea saavuttaa...

Teekkarin ja teoreetikon ylin ystävä

Matemaatikkona olemiseen kuuluu myös kulttuurista tuntemusta kuten alalla olijoiden yhteistä sanastoa. Yksi tärkeimmistä tällaisista sanoista on käsienheiluttelu. Se viittaa siihen, mitä tilastotieteilijät, fyysikot ja teekkarit parhaiten tekevät eli tarkkojen perustelujen sivuuttamiseen.

Vaikka sanaa toki voi käyttää myös loukkauksena, mielestäni käsienheiluttelussa ei ole mitään pahaa. Tosimaailmassa nimenomaan täytyy ohittaa yksityiskohtia ja tehdä valistuneita arvauksia, jos aikoo saada jotain aikaiseksi. Ja joskus käsienheiluttelu johtaa jonkin suuremman äärelle. Tässä tapauksessa se vie syvälle funktioiden ymmärtämiseen tavalla, josta niin diplomi-insinööri kuin akateemikkokin tykkää.

Lue Tyyppiarvoa!

Minulla on Nollakohtaan varmaan viisi tekstiä, joita en ole saanut aikaiseksi kirjoittaa loppuun (tai joissakin tapauksissa edes alkuun), eikä tämä päivä ei tuota poikkeusta sen suhteen. Sen sijaan olen viime viikkoina ehtinyt kirjoittaa Tyyppiarvoon, Suomen tilastollisesti merkitsevimpään julkaisuun. Tätä verkkolehteä/blogia ylläpitävät Helsingin yliopiston tilastotieteen opiskelijat, joiden joukkoon minäkin sivuaineen puolesta kuulun. (Itse asiassa suosin heidän opiskelijahuoneellaan norkoilua, vaikka matemaatikoksi itseni laskenkin.)

Noin kuukausi sitten pohdin uhkapelurin tuhoa ja höpsismiä. Isompi juttu on kuitenkin eiliseltä: massiivinen tietopaketti siitä, miten Suomessa (ja kaikkialla muuallakin) äänestetään väärin. Sieltä löydät luultavasti enemmän kuin olet koskaan halunnutkaan tietää vaalitavoista!

Jouluristikot 2018

(In English below.)

Jottei talven pimeys pääsisi lannistamaan, tähän vuoden vaiheeseen on pistetty sopivasti perinteinen valon ja ilon juhla. Kyllä vain, Nollakohdan lukuristikko on taas täällä!

Minkälainen tämän vuosikertan pulma on? Samanlainen kuin ennenkin, mutta isompi kuin koskaan, sanoisin. Vihjeitä on tavallista enemmän, koska ratkaisut linkittyvät toisiinsa ennennäkemättömällä tavalla. (Kokonaisuus on silti hieman Chalkdust-lehden ristikkoa pienempi.) Jälleen kerran tehtävä on ratkottavissa ilman apuvälineitä, vaikkakin laskimella (ja kenties Wolfram|Alphalla) voi helpottaa elämäänsä huomattavasti — mikäli niin siis haluaa! Vaikeus tulee enemmän limittäisyydestä kuin vihjeistä.

Mutta kukapa minä olen selittämään: katso itse! Klikkaa vain

TÄTÄ ISOA LINKKIÄ

ja nauti pulmasta! Mahtavaa talvenjatkoa, riemukasta lomaa, tsemppiä tentteihin ja kaikkia muita mitä kullekin relevantteja juhlanaiheita! Sitten kun siltä tuntuu, voit kurkata (mahdollisesti oikean) ratkaisun tästä linkistä.

Statuspäivitys

(Yleistajuisen matikan kurssilaisten tekemä fraktaalikuusi.)

Tuota... näkikö kukaan, minne syksy meni?

Oli jokseenkin tarkoituksellista, etten blogannut kesällä. Sen sijaan ei ollut varsinaisesti tarkoitus, etten kirjoita juuri mitään syksylläkään! Kurssit ja halu viettää vapaa-aikaa muunkin kuin matikan parissa vain voittivat kirjoittamisen, ja netin sijaan blogi-ideat päätyivät osaksi suurta listaa.

Mutta mitä nämä kurssit ovat oikein olleet? Opinto-ohjauksen ja yleisen mielenkiinnon nimissä valotan tässä hieman, mitä toisen vuoden maatikko pääsee puuhaamaan Kumpulanmäellä.

Liitutauluja, liitutauluja kaikkialla

Hae netistä kuvia matematiikasta ja matemaatikoista, ja saat kuvia liitutauluista. Liitutaulut ovat erottamaton osa matematiikan identiteettiä. Mikä parasta, tämä stereotypia on vieläpä varsin tosi!

Meidänkin matematiikan laitoksemme on aivan täynnä liitutauluja. Jokaisessa varteenotettavassa luentosalissa on neljä; jokaisessa harjoitusluokassa on kolme seinällistä tauluja. Yksi käytävä on vuorattu tauluilla opiskelijoita varten. Jos luento joudutaan pitämään fysiikan tai kemian laitoksen puolella, luennoitsija on aivan pulassa: eihän kaksi liitutaulua riitä, tai vielä pahempaa, salissa on valkotaulu!

Liitutaulun käyttämiseen on jopa jonkinlainen universaali standardi, jonka moni luennoitsija jakaa. Siinä esiintyjä laatikoi kunkin tuloksen ja todistuksen omaksi osakseen taulua, kunnes koko tila on laatikoiden peitossa ja alkaa strateginen pyyhkiminen. Sanon tätä universaaliksi, koska keväällä luin kiinnostavan sosiologian artikkelin, joka kuvaa tismalleen saman menetelmän!

Kuten artikkelikin esittää, uskon matematiikan ajattelemisen olevan jossain määrin kytkeytynyttä sen kirjoittamiseen. Liidun avulla abstraktista tulee konkreettista, ja paljon kouriintuntuvammalla ja ajattomammalla tavalla kuin tussilla. Siksi niin moni matemaatikko suosii valkoista mustalla.

Mutta joskus rakkaus liitutauluihin menee ehkä yli.

Matemaatikkona työelämässä: Varian Medical Systems

(Varianin moderni sädehoitokone Meilahden Syöpäklinikalla.)

Havaitsin tammikuisten rekrymessujen ohjelmasta firman, josta en ollut aiemmin kuullut. Se teki lääketieteellistä tekniikkaa ja vieläpä minulle tutuilla ohjelmointityökaluilla. Erittäin käymisen arvoinen ständi, ajattelin. Toukokuussa sitten astuinkin firman palkkalistoille kuluneen kesän ajaksi!

Koska tämä on blogi matematiikasta ja työelämä kiinnostanee monia, ajattelin esittää muutaman vinjetin siihen, millainen oli ensimmäinen kesätyöni matemaatikkona (ainakin melkein, kuten alla näet). Kaiken kukkuraksi kovinkaan moni ei tiedä, että Suomesta löytyy tällaistakin huippuosaamista — taikka sitä, että Varian rekrytoi ahkerasti.

(Huomautus: En ole saanut tästä tekstistä kompensaatiota eikä sitä ole tarkistettu. En voi käsitellä läheskään kaikkea näkemääni, enkä ota kantaa tekniikoiden tai tuotteiden kliiniseen kelpoisuuteen.)

Erään hakukonehuijauksen anatomia

Yksi päätöksistäni heti bloggaamista aloittaessani oli esiintyä omalla nimelläni ja olla helposti tavoitettavissa. Jos vilkaiset Kuka olen? -sivuani, löydät liudan erilaisia tapoja saada asiasi tietooni. Tämä on ollut pelkästään hyvä päätös, koska sitä kautta olen päässyt kirjoittamaan muuallekin: viimeksi minulla oli suuri kunnia kirjoittaa Fermi-arvioista aineenopettajien Dimensio-lehdessä.

Tällä kertaa en kuitenkaan puhu näistä mahtavista tilaisuuksista. (Joita siis otan mielelläni vastaan!) Sen sijaan puhun siitä yhdestä, josta kieltäydyin. Ja koska tämä on blogi matematiikasta, tähän tarinaan kietoutuu yksi maailman merkittävimmistä algoritmeista. Ja kuten jokaiseen hyvään juttuun, tähänkin liittyy matriiseja.

Huonosti käyttäytyvät funktiot

Yläkoulussa opitaan, mitä funktio tarkoittaa. Alkuun kirjaimilla laskemisessa on reippaasti sulattelemista, mutta sen jälkeen homma alkaa helpottua. Muutaman lukiokurssin jälkeen kaavaan sijoittamiset, kuvaajan piirtämiset ja derivaatan nollakohdan etsimiset sujuvat kuin vettä vain. Tämä kuitenkin on valheellinen käsitys, joka jättää katseen ulkopuolelle ison osan maailmasta.

Useimmat funktiot nimittäin ovat kaikkea paitsi kivoja.

Kesä. Lukuristikko.

Taas on se aika vuodesta, jolloin verrataan lukioita, verrataan lukiovertailuja, verrataan lukioiden vertailijoita erilaisiin elämänmuotoihin, vedetään herne nenään netissä koko lukiojärjestelmästä ja niin edelleen. Joka tapauksessa: jotkut saavat lakin, jotkut saavat todistuksen ja jotkut pääsevät lomalle. Ja sehän voi tarkoittaa vain yhtä asiaa: Nollakohdan perinteinen (kyllä se tässä kohtaa on jo traditio) lukuristikko on täällä taas!

Ajan hengen mukaisesti ristikkoa on jälleen kerran leikattu. (Viime kevään ristikot löytyvät täältä ja talviset täältä.) Nyt ristikoita on tasan yksi kappale, ja vaikeustasoltaan olen asemoinut sen lähemmäksi helppoa kuin hankalaa. Tähän malliin ei tarvitse siis etsiä ratkaisuja ohjelmoimalla, mutta niin saa toki tehdä! Jos tuntuu liian helpolta, niin laita kaikki apuvälineet pois ja ratko pelkästään kynällä ja paperilla.

Enemmittä puheitta PAINA TÄSTÄ JA NAUTI. Kun olet valmis, kannattaa vilkaista myös ratkaisua!

Tämän myötä toivotan myös hyvää kesää niille lukijoilleni, joita tällainen toivotus kiinnostaa. Nollakohta päivittyy rauhallisella tahdilla sitä mukaa, kun kokopäivätyöltä ehdin. Olen Varianilla tekemässä softaa sädehoidon suunnitteluun, ja se on pikku matemaatikosta aika jännää se!

Vaarallinen veikkaus

Mikä luku tulee jonossa $1, 2, 4, 8, 16, \ldots$ seuraavaksi?

1. $31$,
2. $32$,
3. $212$,
4. ei mikään edellisistä.