Mitä on todennäköisyys?

Yksi ekan opiskeluvuoden absurdeimmista kokemuksista tapahtui tammikuussa. Oli aivan tavallinen luento, kurssin Todennäköisyyslaskenta I ensimmäinen. Luvassa oli kurssi, jonka ohjelmasta ainakin puolet olisi lukiosta tutun jutun kertaamista.

Niinpä luennoitsija riipusti taululle tuttuja todennäköisyyden ominaisuuksia: todennäköisyys on aina nollan ja ykkösen välillä, tapahtuman ja sen vastatapahtuman todennäköisyyksien summa on $1$, ja niin edelleen. Selvää tavaraa, vaikka useampi lukio-opettaja kannustaakin välttämään yo-kokeen todennäköisyystehtävää.

Sitten luennoitsija totesi, että matemaatikoina yliopistossa meitä toki kiinnostaa, mistä nämä ominaisuudet tulevat. Siispä hän alkoi kirjoittaa todennäköisyydelle oikeaa määritelmää (tässä tiivistettynä):

Olkoon kokoelma perusjoukon $\Omega$ osajoukkoja $\mathcal F$ sigma-algebra. Nyt kuvaus $\mathrm P : \mathcal F \to \mathbb R$ on todennäköisyys, jos

1. $\mathrm P(A) \geq 0$ kaikilla $A \in \mathcal F$,
2. $\mathrm P(\Omega) = 1$,
3. jos $A_i \in \mathcal F$ kaikilla $i \in \mathbb N_+$ ja $A_i \cap A_j \neq \emptyset$ kun $i \neq j$, niin \[ \mathrm P \left( \cap_{i=1}^\infty A_i \right) = \sum_{i=1}^\infty P(A_i). \]

Kolmikko $(\Omega, \mathcal F, P)$ on todennäköisyysavaruus.

Mitä ihmettä juuri tapahtui? Äsken puhuttiin kivoista laskukaavoista, nyt jostain joukko-opin infernaalisesta serkusta!

Avoin kirje tv-yhtiöille

Hyvät ohjelmapäälliköt, tuottajat ja muut lukijat: olemme kaikki kuulleet, kuinka tosi-tv tyhmentää kansaa ja laadukkaista tiedeohjelmista leikataan. Selvästi kuitenkin reality-ohjelmat kiinnostavat yleisöä, joten ymmärrän halunne keskittää tuotantoa niihin. En kuitenkaan keksi mitään syytä, miksi tunteet ja tiede olisivat toisensa poissulkevia.

Ajatusta havainnollistaakseni olen kehitellyt joitakin esimerkkejä konsepteista, jotka voisivat vedota niin syvimpään sohvaperunaan kuin paatuneimpaan matemaatikkoon.

Ei elämää

Seitsemän pitkän uran tehnyttä matemaatikkoa kokoontuu viettämään viikon syrjäisellä mökillä. Kullakin heistä on oma päivänsä, jona muut vieraat esittävät omat todistuksensa hänen ikimuistoisimmille lauseilleen.

Kun algebrikot, analyytikot ja loogikot kohtaavat toistensa klassikoiden merkeissä, ei kyyneliltä voi välttyä. Tämä on ehdottomasti vuoden suurin viihdeilmiö.

Viime viikon maailmanloppu

Sopivasti pääsiäisen alla muun muassa Helsingin Sanomat uutisoi iloisella otsikolla "Tutkijat laskivat: Maailmankaikkeus saattaa olla jo tuhoutumassa, emmekä edes ehtisi reagoida siihen". Uutinen kertoo tuoreesta tutkimusartikkelista, joka ennustaa juurikin otsikossa kuvaillun maailmanlopun skenaarion.

Itse olisin korostanut asian epätodennäköisyyttä ja taustaa ehkä enemmänkin, mutta minusta ja artikkelin kirjoittajasta vain jälkimmäinen on alansa ammattilainen. Artikkeli sitä paitsi on ihan hyvin kirjoitettu, ja vieläpä linkkaa alkuperäiseen tutkimukseenkin. Jutusta minulla ei siis ole mitään moitittavaa. Sen sijaan jäin miettimään, kuinka epätodennäköinen maailmanloppu oikeasti on.

Selasin siis läpi alkuperäisen tutkimusartikkelin, josta en tietenkään pelkällä lukiofysiikalla pysty sanomaan liikaa. (Sinua on varoitettu: teen varmasti monentasoisia virheitä!)

Karin karttakeppitehdas

Mitä eroa on keskiarvolla ja mediaanilla — ja ennen kaikkea, kumpaa niistä nyt pitäisi katsoa? Varmaankin olet kuullut, että keskiarvojen tuijottaminen on huono idea. Toisaalta keskiarvoista puhutaan niin paljon, ettei mediaanikaan voi olla ihan ylivoimainen.

Kuten maailmassa yleensä, yhtä oikeaa vastausta ei ole. Asian selvittämiseksi siirtykäämme hämyiselle teollisuusalueelle...

Kari omistaa tehtaan, karttakeppitehtaan. Viime vuosikymmenen opetusteknologinen rakennemuutos on johtanut tehtaan toimintojen sopeuttamiseen, toisin sanoen firmassa työskentelee enää parikymmentä ihmistä ja heistäkin osa vajaita tunteja. Lähdetäänpä tutkimaan hieman palkkojen jakautumista eri keskilukujen avulla.

Lukuvinkki: We Have No Idea

Viimeisimmästä lukuvinkistä on kohtalaisesti aikaa ja tenttiviikon jäljiltä pidempi blogaus vasta hautumassa, joten eiköhän oteta käsittelyyn kirja! Tänään vuorossa on Jorge Chamin ja Daniel Whitesonin We Have No Idea (Riverhead Books, 2017).

Kirjan aiheena on maailmankaikkeuden fysiikka (ei juurikaan matematiikkaa) ja jos pidit Randall Munroen What If?/Entäs jos? -kirjasta, pidät tästäkin. Siinä missä Munroe vastaili hypoteettisiin kysymyksiin ja samalla sivusi jänniä puolia maailmasta, Cham ja Whiteson kertovat siitä, mitä emme vielä tiedä — ja matkan varrella aika monesta tunnetusta jutusta. Mitä on pimeä aine? Kuinka suuri universumi on? Mitä "aika" ja "avaruus" ylipäätään tarkoittavat?!

Parempia oppaita näihin eksistentiaalisiin kysymyksiin saa hakea. Whiteson on hiukkasfysiikan professori, Cham suosittu akateemisen elämän popularisoija. Lopputulos on loistava sekoitus tiukkaa asiaa selkeästi selitettynä ja mitä hulvattomimmilla esimerkeillä havainnollistettuna. Juuri mitään taustatietoja ei tarvita, mutta lukiofysiikankin läpikäynyt löytää paljon uutta. Tätä voin rehellisesti suositella jokaiselle, jota maailmankaikkeus kiinnostaa eikä kielimuuri aiheuta ongelmaa.

Poliittinen torniodraama

Aikojen alussa, jolloin Neuvostoliitto näytti ikuiselta ja markalla sai litratolkulla lyijyllistä bensiiniä, oli kaukana Lapissa pieni jalasmökki. Mökkiin oli kokoontunut salamyhkäinen joukko ihmisiä kolmen puutapin ympärille. Yhdessä tapeista oli kuusikymmentäneljä erikokoista rengasta täydellisessä suuruusjärjestyksessä.

Hahmot alkoivat siirtää renkaita yksi kerrallaan tapista toiseen, aina pienemmät isompien päällä pitäen. Kun koko pino olisi siirretty toiseen tappiin, maailma järkkyisi: Paavo Väyrynen jättäisi politiikan lopullisesti!

Se näillä mystisillä hahmoilla myös on tarkoituksena. (Kuten olet saattanut lukea uutisista, he eivät ole ainoita.) Miten heidän tulisi siirtää renkaita, jotta tavoite täyttyisi mahdollisimman nopeasti? Kuinka kauan Paavolla on aikaa jäljellä? Ja ennen kaikkea: mitä ihmettä tämänkin tarinan kirjoittaja on hengitellyt?

Ensimmäisiin kahteen ratkaisu saattaa löytyä pienellä päättelyllä, joten otapa tauko lukemisesta! Kannattaa tosin kokeilla neljällä renkaalla, ja muista säännöt: vain yhtä rengasta voi liikuttaa kerrallaan eikä yksikään rengas saa olla itseään pienemmän renkaan päällä.

Nollan ja ykkösen valtava väli

Kaikki tietävät, että lukuja on äärettömästi. (No okei, eivät kaikki, mutta tällä oletuksella menen.) Tämä äärettömyys ei ole vain leveää vaan myös syvää: pelkästään nollan ja ykkösen välissä on aika monta lukua.

Otetaan vaikka nollan ja ykkösen keskiarvo $\frac 1 2$. Ja tämän ja nollan keskiarvo $\frac 1 4$. Ja siitä saadaan $\frac 1 8$. Ja niin edelleen, loputtoman pitkään, aina nollaa lähestyen muttei sitä ikinä tavoittaen. Siispä pelkästään nollan ja ykkösen välissä on äärettömän monta rationaalilukua!

Sana "ääretön" kuitenkin vihjaa ongelmallisesti, että kyse olisi yhdestä, intuitiivisesta asiasta. Todellisuudessa ääretön ei ole kumpaakaan, mokoma rontti.