(Tony Webster/Flickr. CC-BY 2.0. Muokattu värejä.)
Viime viikolla käsittelin lukujen kirjoittamista toinen toistaan oudommilla tavoilla. Tämän viikon aiheena on jatkaa vielä vähän eteenpäin kompleksilukujen parissa, mutta keskitymme vain yhteen lukujärjestelmään. Sen kantaluku on $(-1 + i)$ ja siinä elää lohikäärme.
Maaliskuun neljästoista eli jenkkiläisittäin $3.14$ tunnetaan kansainvälisenä piipäivänä: matemaattisen vakion juhlana, johon kuuluu piirakan syöminen. Kovaääninen (muttei välttämättä runsaslukuinen) joukko, joka suosii enemmän tauta $\tau = 2\pi$ puolestaan juhlii omaa lempparivakiotaan kesäkuun 28. päivä.
Vaikka piin desimaaleja onkin hauska opetella, ne ovat hieman epäkäytännöllisiä päässälaskuun, jossa pitäisi päästä supistamaan pieniä lukuja. Siksi mieleen kannattaakin painaa heinäkuun kahdeskymmenestoinen eli $22/7$. Yllättävän helpolla päässälaskulla jakolaskun tulokseksi tulee
\[ 3.142857\ldots \]kun taas piin arvo on
\[ 3.141592\ldots \]Ei mitenkään paras arvio, mutta helposti muistettava, päässälaskuun ihan riittävä ja ammoisista ajoista tunnettu. (Mikäli huomaat tarvitsevasi tarkempaa likiarvoa, $355/113$ on ystäväsi.) Ja vaikka päässälasku ei kiinnostaisikaan, piin likiarvopäivä on hyvä syy nauttia jotain piirakkaa muistuttavaa! Tai piimää. Miten haluat.
Kuinka paljon numeroita on?
Pienenä olisin vastannut "äärettömästi". Numeron ja luvun eron oppineena olisin vastannut "kymmenen, nollasta yhdeksään". Ja nyt vastaan: kuinka monta vain haluat. Tässä tekstissä puhutaan lukujen kirjoittamisesta. Aloitamme tutuista numeroista ja siirrymme tietokoneen ykkösten ja nollien kautta yhä oudompiin lukujärjestelmiin.
(Tamperelaisen peliteollisuuden huipputuote Cities: Skylines.)
Olen pienen ikäni varrella ehtinyt pelata jokusen (sataa) tuntia SimCityä, peliä, joka asettaa pelaajan kaupunginjohtajan paikalle. Jonkun aikaa sitten pohdiskelin, millaisia elementtejä kaupunkisimulaatioon tarvitaan. Peliä ei kannata odotella tältä suunnalta — se vaatisi liikaa pitkäjänteisyyttä minulta! — mutta blogimateriaaliksi aihe kyllä sopii.
Ensimmäinen ja isoin kysymys on, kuinka asukkaat mallinnetaan. Tähän on kaksi isoa lähestymistapaa: jokaisen asukkaan simulointi erikseen (nykyään suosittu) tai jonkinlainen tilastollinen malli (epätarkka mutta hitaille koneille sopiva). Minua kiinnostaa jälkimmäinen.
Wolfram|Alpha on erinomainen työkalu: pitkälle kehittynyt symbolinen laskin ja tietopankki. Olen totta kai sen aktiivinen käyttäjä, ja yhteen Fermi-arvioblogaukseen kuluu kymmeniä ellei satoja hakuja. Tuloksia odotellessa ehtii kiinnittää huomiota yhteen asiaan... tuloksia joutuu odottelemaan. Monimutkaisiin laskuihin kuluvan ajan ymmärrän, mutta miksi helpot lausekkeet vaativat niin paljon aikaa?
Päätin siis jonkun aikaa sitten kokeilla rakentaa oman yksikkölaskimeni — sellaisen, joka korvaisi Alphan yksinkertaisissa laskutoimituksissa ja olisi paljon nopeampi. Sellaisia varmasti on paljon, mutta puolen ikäänsä ohjelmoineelle valmis ei kelpaa! Samalla nimittäin sain hyvän syyn luoda ensimmäisen pilvipalveluni, mitä olin halunnut tehdä jo pitkään.
Vajaan parin viikon työn tuloksena syntyi Aleph|Nolla. Se on kauttaaltaan ilmainen, kevyt ja käynnistymistä lukuunottamatta salamannopea (ilmaisen palvelutason huono puoli). Pienestä keskeneräisyydestä huolimatta se toimii kohtalaisesti. Alla kerron muutaman palasen siitä, millaista matematiikkaa työssä tarvitsin.
(sasa.mutic/Flickr. CC BY-NC-ND 2.0.)
Istuskelin bussissa ja mietin, mistä seuraavaksi kirjoittaisin, kun kuulin sen. Kuskin radio soitti Vicky Rostin (nuoremmalle polvelle Antti Tuiskun) kasariklassikkoa Sata salamaa. Entäs jos... ottaisin laulun kirjaimellisesti? On karkeiden arvioiden aika!
(Maths Gear myy näitäkin umpinörttejä esineitä.)
Jos täydelliset luvut ovat erinomaisuudessaan yksinäisiä, niin ystävälliset luvut ovat niiden täydellinen vastakohta: kaksikko. Nekin on tunnettu pythagoralaisten ajoista asti — vuosisatoja myöhemmin elänyt kirjoittaja antaa kunnian Pythagoraalle itselleen — ja niihinkin on yhdistetty ylimääräistä symboliikkaa.
Ajatus on taas kerran yksinkertainen. $220$ on jaollinen itsensä lisäksi luvuilla $1$, $2$, $4$, $5$, $10$, $11$, $20$, $22$, $44$, $55$ ja $110$. Niiden summa on $284$. Sen jakajat puolestaan ovat $1$, $2$, $4$, $71$ ja $142$ — ja niiden summa on $220$. Aika söpöä hei!
