torstai 29. syyskuuta 2016

Eräs iso luku

Menneen puolentoista viikon aikana olemme leikkineet äärettömyydellä sekä suuressa että pienessä merkityksessä. Ääretön on tavoittamattomissa, jotain mitä ei voi edes yrittää konkreettisesti ajatella. Paljon parempi tapa räjäyttää mielensä on tutkia jotakin pienempää, vaikkapa Grahamin lukua.

tiistai 27. syyskuuta 2016

Kiinnostavista luvuista

Lievä kevennys matemaatikkohuumorin merkeissä. Anteeksi jo etukäteen.

Väite: Kaikki luvut ovat kiinnostavia.

Todistus: Tehdään vastaoletus: on olemassa pienin (ei-negatiivinen) tylsä luku. Mutta hei, sehän olisi aika kiinnostavaa!

Tsemppiä kaikille, jotka huomenna istuvat matematiikan ylioppilaskokeessa! Toivottavasti tulee kiinnostavia tehtäviä!

sunnuntai 25. syyskuuta 2016

Sisukkaasti etenevä sarja

Päivän kysymys: kummalla näistä loputtomista lukujonoista on suurempi summa?

\[ \begin{align*} A &= 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \ldots\\ B &= 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \ldots \end{align*} \]

Kuten kysymyksen asettelusta saattaa arvata, vastaus ei ole B. Oikeastaan "suurempi" ei ole oikea sana, koska kummankin summa on ääretön. Kysymys onkin, miksi A, jonka termit pienenevät nopeasti kohti nollaa, on suuruudeltaan ääretön.

torstai 22. syyskuuta 2016

Hajaantukaa, täällä ei ole mitään nähtävää

Kuinka paljon on $$A = 1 - 1 + 1 - 1 + \ldots$$?

Helppoa: $$A = (1 - 1) + (1 - 1) + \ldots = 0$$.

Toisaalta: $$A = 1 + (-1 + 1) + (-1 + 1) + \ldots = 1$$.

Ja vielä pahempaa, kun lasketaan $$A + A$$ pienellä twistillä:

\[ \begin{align*} 1 - &1 + 1 - 1 + \ldots\\ + \, &1 - 1 + 1 - \ldots \end{align*} \]

$$2A = 1$$ eli $$A = \frac{1}{2}$$! Jotenkin ihmeellisesti kokonaisista ykkösistä saatiin puolikas!

Mikä sitten on oikea vastaus? Ei mikään. Kyseessä on hajaantuva sarja, jollaiselle ei voida määrittää summaa. Suurin osa vuosisatojen varrella kehitetyistä summausmenetelmistä päätyy lopputulokseen $$\frac{1}{2}$$, mutta sekään ei tarkoita että vastausta olisi olemassa. Jos jokin pitäisi valita, puolikas olisi luultavasti paras vaihtoehto.

Tämän sarjan esitti matematiikan professoriksi edennyt italialaismunkki Guido Grandi vuonna 1703. Omassa käsittelyssään hän päätyi siihen, että tulos oli paitsi puolikas, ristiriita myös todisti maailman luomisen tyhjästä. Siitä kohtaa todistusta kyllä puuttui välivaihe tai kaksi.

Ensi kerralla: tasapainoilemme äärettömyyden rajoilla.

maanantai 19. syyskuuta 2016

Tarpeeksi lähelle kun menee...

Tällä väitteellä saa sopivanlaisessa porukassa aikaan keskustelua:

\[ 0.999\ldots = 1 \]

Kuinka niin siinä voi olla yhtäsuuruusmerkki? Ensimmäinen alkaa nollalla ja toinen ykkösellä! Kyllähän ne voivat olla äärettömän lähellä toisiaan, mutta eivät kai ne sama luku voi olla?

Kyllä vaan voivat.

lauantai 17. syyskuuta 2016

Hilbertin suurehko hotelli

Ensinnäkin, pieni huomautus. Hilbertin hotelli on erittäin klassinen esimerkki, joka esiintyy jotakuinkin jokaisessa populaarimatematiikkaa käsittelevässä kirjassa. Mikäli olet korviasi myöten täynnä Hilbertin hotellia, voit esimerkiksi pelata Christian Lawson-Perfectin alkulukupeliä. Oikeastaan, sitä kannattaa pelata muutenkin.

Tällä ja muutamalla kertaa hyppäämme äärettömyyksien jännittävään maailmaan. Vaikka en kovin syvälle siihen osaa johdattaakaan, aihe on mielestäni äärettömän (anteeksi) monipuolinen ja kiehtova, ajoittain arkijärjen vastainen mutta silti täydellisen looginen. Ensimmäinen kysymys: kuinka suuri on ääretön?

keskiviikko 14. syyskuuta 2016

Yksinkertaisuudessaan kaunis todistus

Seuraavan erinomaisen todistuksen on luonut Dov Jarden. Vapaasti suomennettuna se menee näin:

Yksinkertainen todistus, että irrationaaliluku korotettuna irrationaaliseen potenssiin voi olla rationaalinen.

$$\sqrt{2}^{\sqrt{2}}$$ on joko rationaalinen tai irrationaalinen. Jos se on rationaalinen, väite on tosi. Jos se on irrationaalinen, $$(\sqrt{2}^{\sqrt{2}})^{\sqrt{2}} = 2$$ todistaa väitteen.

Tämä on aivan nerokas tapa todistaa väite. Riippumatta siitä, onko $$\sqrt{2}^{\sqrt{2}}$$ rationaalinen, lauseke saadaan muokattua väistämättä rationaaliseksi:

  1. Tiedetään, että $$\sqrt{2}$$ on irrationaalinen --- sitä ei voi kirjoittaa murtolukuna.
  2. Tällöin $$\sqrt{2}^{\sqrt{2}}$$ on irrationaaliluku korotettuna irrationaaliseen potenssiin.
  3. Jos $$\sqrt{2}^{\sqrt{2}}$$ on rationaalinen, väite on tosi.
  4. Jos se ei ole, $$\sqrt{2}^{\sqrt{2}}$$ on irrationaalinen.
  5. Tällöin $$(\sqrt{2}^{\sqrt{2}})^{\sqrt{2}}$$ on irrationaaliluku korotettuna irrationaaliseen potenssiin.
  6. Se on kuitenkin rationaaliluku $$\sqrt{2}^2 = 2$$. Väite on tosi.

Kyseessä on eksistenssitodistus, joka todistaa väitteen, muttei ota kantaa kummalla ylläolevista tavoista. Tällaisten ratkaisujen takia pidän matemaattisesta todistamisesta!


  • Muilla keinoilla voidaan osoittaa, että $$\sqrt{2}^{\sqrt{2}}$$ on irrationaalinen. Se on myöskin transkendentti: se ei ole minkään rationaalikertoimisen polynomin nollakohta.

maanantai 12. syyskuuta 2016

Lukuvinkki: Cracking Mathematics

Luin hiljattain brittiläisen Colin Beveridgen tuoreen kirjan Cracking Mathematics (Octopus Books, 2016). Teos teki minuun todella syvän vaikutuksen, ja siksi se tuntuukin hyvältä valinnalta tämän blogin ensimmäiseksi lukuvinkiksi.

perjantai 9. syyskuuta 2016

Onko odotusarvo pätevä mittari?

Kahden viimeisen jutun aikana olemme käsitelleet odotusarvoa eli keskimääräistä tulosta. Odotusarvossa on kuitenkin puutteensa, joiden takia se ei sellaisenaan kelpaa päätöksentekoon.

keskiviikko 7. syyskuuta 2016

Kannattaako Lotto tuplata?

Päivitys 16.2.2017: Loton säännöt uudistuivat joulukuun 2016 vaihteessa. Analysoin uuden pelin eroa aiempaan tekstissä Kuka voittaa uudessa Lotossa?. Allaoleva teksti noudattaa aiempia, julkaisuhetkisiä sääntöjä. Johtopäätös siitä, kannattaako peli tuplata, pätee tosin edelleen.


Viimeksi tutkimme Lomatonni-pelin odotusarvoa. Huomasimme, että pelissä häviää väistämättä pitkällä juoksulla, mutta suuren voiton mahdollisuus saa meidät pelaamaan. Lomatonni on kuitenkin pieni ja yksinkertainen peli: siinä on vain 6000 vaihtoehtoa ja suurin palkinto on tuhat euroa. On aika siirtyä lauantai-illan Lottoon.

maanantai 5. syyskuuta 2016

Lomatonni ja odotusarvo

Erilaiset rahapelit ovat klassinen aihe todennäköisyyslaskennassa ja varsinkin sen opettelussa. Muutaman seuraavan jutun aikana aion esitellä joitakin peruskäsitteitä rakkaan rahapeliyhtiömme Veikkauksen pelien kautta. Aloittakaamme ensiksi ihan yksinkertaisesti. Tähän tarkoitukseen sopii erinomaisesti uudehko Lomatonni-peli.

perjantai 2. syyskuuta 2016

Kuusi kertaa kuusi on kuusi

Aloitetaan pienellä hypyllä lukuteorian ihmeelliseen maailmaan. Kokeile ottaa kaksi kuutoseen päättyvää (kokonais)lukua, ihan niin isoja tai pieniä kuin haluat, ja kerro ne keskenään. Mihin numeroon tulos päättyy? (Jos otit niin isot luvut, että laskimesi sanoo OVERFLOW, kokeile vähän pienemmillä luvuilla.)

Tervetuloa

Nollakohdat ovat niitä muuttujan $$x$$ arvoja, joilla yhtälö $$f(x) = 0$$ toteutuu.

Nollakohta on blogi matematiikasta. Sen tarkoitus on jakaa matematiikan ilosanomaa mahdollisimman monelle, keinoinaan osa-alueet joista koulussa ei puhuta, historian ja henkilöiden liittäminen teorioihin, muuten vain hämmästyttävät havainnot ja yleisen rento suhtautuminen. Tai se ainakin olisi tavoite. Suomenkielisiä matikkablogeja on harmittavan vähän, joten siinäkin suhteessa tässä on jotain.

Aion julkaista tekstejä pari kertaa viikossa. Ensimmäisinä ohjelmassa on muun muassa todennäköisyyksiä, äärettömyyden ilmentymiä, havaintoja lukuteoriasta sekä muutama tarina matematiikan historiasta. Lisäksi aion vinkata lisää luettavaa matematiikasta kiinnostuneille.

Vaikka eniten tästä blogista saavat irti jo matematiikasta kiinnostuneet suunnilleen lukioikäiset, pyrin pitämään kirjoitukset lähestyttävinä kenelle tahansa muullekin. Mitään suurempia ennakkotietoja ei tarvitse olla, enkä vaadi ratkaisemaan yhtään yhtälöä. Olen itsekin vasta alussa matkallani syvemmälle matematiikkaan, ja haluan jakaa kokemuksiani!

Tervetuloa mukaan!