Matematiikan epätäydellisyys

(Mario Calvo, 500px. CC-BY-NC 3.0.)

Kylässä asuu ja työskentelee yksi parturi. Kukaan kyläläisistä ei leikkaa hiuksiaan itse, vaan parturi leikkaa kaikkien hiukset. Kuka leikkaa parturin hiukset?

Mikään ei piristä päivää niin kuin pieni paradoksi. Paitsi jos olet Gottlob Frege, paradoksin kertoo Bertrand Russell ja se tarkoittaa sitä, että jo painossa olevassa, vuosia kestäneessä työssäsi on virhe. Frege oli yksi matematiikan lakien formalisointia yrittäneistä, ja tämä virhe sai Russellin kirjoittamaan viime kerralla mainitun oman yrityksensä. Frege puolestaan kiirehti lisäämään loppuhuomautuksen siitä, ettei hänen järjestelmänsä toimikaan täydellisesti. (Russell esitti paradoksin teknisemmin termein, mutta ydinajatus on sama.)

Kaikki yritykset tiivistää matematiikan perusteet olivat epäonnistuneet. Aina oli jokin aukko, josta paradoksi tai puute pääsi livahtamaan. Oliko yritys tuhoon tuomittu? Vastaukseksi osoittautui kyllä.

Matematiikan perustukset

"Lause $1+1=2$ on ajoittain hyödyllinen." (Principia Mathematica, 2. nide, sivu 86.)

Matematiikan pätevyys tulee suoraan sen loogisesta rakenteesta. Jokainen matemaattinen lause on tulos todistuksesta, jossa alkuoletuksista päästään loogisten päättelysääntöjen avulla lopputulokseen. Mutta mistä alkuoletukset tulevat?

Lähes aina oletukset ovat aiempien todistuksien tuotteita, mutta matematiikan perustuksina toimivat aksioomat, ennalta tosiksi sovitut asiat. Aksiooman on oltava täysin ilmiselvä, koska sen vääräksi osoittaminen osoittaisi myös kaikki sitä käyttävät todistukset vääriksi. Toisaalta valitut aksioomat eivät saa johtaa ristiriitaan, koska silloin koko järjestelmä on epäpätevä.

Ideaalista olisi käyttää mahdollisimman vähän aksioomia ja osoittaa loput asiat niistä seuraaviksi. Yrityksiä ainakin on ollut — samoihin lopputuloksiin pääsee monenlaisilla valinnoilla. Tällä kerralla tutustumme kahteen merkittävään aksioomajärjestelmään, jotka pyrkivät tuomaan järjestystä geometriaan ja laskemiseen. Ensi kerralla puolestaan näemme, miksi matematiikka ei koskaan tule olemaan täydellistä.

Muutama päässälaskuvinkki

Koska edellinen tekstini koevinkeistä sai suhteellisen paljon huomiota, käsittelen vielä toistakin koulussa ja muuallakin hyödyllistä aihetta: päässälaskun jaloa taitoa. Päässälaskutaito on mitä ilmeisimmin heikentynyt aika rajusti viime vuosina, mikä on valtava sääli. Mielestäni päässälaskutaidon ja matematiikan ymmärtämisen välillä on jonkinlainen suhde.

Tunnustan olevani päässälaskuintoilija, jolla on kohtalaisen hyvä numeropää. En koskaan hankkinut yhtälöitä pyörittävää älylaskinta, vaan luotin itseeni ja kuvan laskimeen, jolle varmaan nauretaan lyhyessäkin matikassa. (Lainasin CAS-laskimen tarkistusavuksi ylioppilaskokeeseen, mikä kyllä kannatti.) Vaikka en olisi kieltämässä älylaskimia, kannatan kyllä niiden välttämistä. Päässälasku ja peruslaskimeen rajoittuminen parantavat numeropäätä valtavasti.

Enemmittä puheitta, mennään asiaan. Päässälaskulla tarkoitan tässä sekä puhtaasti päässä tapahtuvaa että paperia hyödyntävää toimintaa. Vinkit ovat omiani, painottuvat jonkun verran pitkään matikkaan, eikä niillä ole takuuta.

Maisemia fraktaaleista

(Terragen-ohjelmalla luotu vuoristo. Levyznin/Wikimedia Commons/PD.)

Viime kerralla löysimme fraktaaleita luonnosta. Tällä kertaa teemmekin saman toisin päin: löydämme luontoa fraktaaleista!

Kuinka pitkä on Suomen rannikko?

(Blogisti mittaa rantaa 110 kilometriä sisämaassa.)

Suomen rannikko on erittäin monta kilometriä pitkä, mutta mikä on tarkka luku? (Oletetaan, että aika pysäytetään mittaamisen ajaksi, jottei aalloista tai maan kohoamisesta tarvitse välittää.) Ympäristökeskus antaa luvuksi muutaman tuhatta kilometriä mannerrantaa ja nelisenkymmentä tuhatta saaret huomioiden, mutta väitän luvun olevan kelpoisuudestaan huolimatta kaukana tarkasta. Suomen rannikko nimittäin muistuttaa fraktaalia.

Muutama koevinkki

Loppiainen meinaa laskeutumista takaisin arkeen ja abiturienteille koestressin kehittymistä. Vaikka yritän välttää kouluaiheita, tässä muutama (kantapään kautta opittu) vinkkini kaikenikäisille kokeentekijöille. Näillä on napsittu kymppejä ja älliä, joten ne ovat toimineet ainakin minulle. (Ei takuuta.)

Muistutus: En ole opettaja. Nämä havainnot ovat opiskelijan näkökulmasta.

Määrittelyehdot ja tarkkuus

Kuvitellaan, että kokeessa on seuraava tehtävä:

Määritä yhtälön $x^4 = 2, \, x > 0$ ratkaisut.

Huono vastaus olisi $x \approx \pm 1.19$. Ensinnäkin, tehtävänannon mukaan $x$ ei voi olla negatiivinen. Toisekseen, odotetaanko tehtävässä likiarvoa? Matematiikka (ainakin pitkä) on sen verran eksakti tiede, että tarkka arvo on hyvä oletus, ellei toisin määrätä. Siis: $x = \sqrt[4]{2}$.

Määrittelyehto voi olla muuallakin kuin tehtävänannossa. Mikäli ratkaistaisiin epäyhtälöä

\[ \frac{x-1}{x} < 1 \]

pitäisi itse muistaa kieltää tapaus $x=0$. Nollalla ei jaeta ilman erityisen painavaa syytä, eikä yleensä silloinkaan.

Kaoottinen ilmakehä

Sääennusteet ovat käytetyimpiä ennusteita ja ehkä rajuimpia yksinkertaistuksia. Meteorologien ja tehokkaiden tietokoneiden yhteistyön tulos tiivistetään kartalle pilvisymboleiksi ja lämpötiloiksi. Samalla menetetään tietoa ennusteiden sisäisestä epävarmuudesta ja monimutkaisuudesta. En ole missään nimessä pätevä kommentoimaan ennusteiden fysiikkaa, mutta tutustutaan isoimpiin matemaattisiin periaatteisiin.