(Päivitetty 20.10.2017 klo 14: ladattu korjattu versio PDF-tiedostosta.)
Uskoisin, että jokainen matematiikan opiskelija on joutunut selittämään sukulaisille tai tutuille, mitä oikein yliopistolla puuhaa. Tässä tekstissä on vastaus. Ainakin yksi sellainen.
Tässä on lista paristakymmenestä matikan alasta, jotka yhdessä antavat jonkinlaisen kokonaiskuvan nykymatematiikasta. Kaikkiaan aloja on aivan valtavasti ja rajat niiden välillä oikeastaan olemattomia, joten täydellistä vastausta ei olekaan. Pahoittelen, jos olen jättänyt oman suosikkialasi pois tai kuvannut sitä tylsällä tavalla!
Jos verkkosivun rullaaminen ei innosta, tämä teksti on saatavilla myös PDF-muotoisena julisteena. Sitä on hauska zoomailla tabletin ruudulla, ja voihan sen tulostaakin seinälleen, mikäli haluaa tukea suomalaista metsäteollisuutta. (Pienin luettava koko: A2.) Pidemmittä puheitta, eiköhän siirrytä listaan...
Logiikka
Milloin? Syntynyt antiikissa, hioutunut nykymuotoonsa 1800-luvulla.
Mitä? Tutkii loogista päättelyä, joukko-oppia ja matematiikan perustaa. Joukko-opissa tutkitaan esimerkiksi erisuuruisia äärettömyyksiä, kun taas logiikan puolella matematiikkaa muun muassa tarkastellaan eräänlaisena kielenä, jota sitovat tiukat säännöt.
Tätäkin pohditaan: Miten luvut ja laskusäännöt määritellään? Mitä väitteitä on ylipäänsä mahdollista todistaa, ja voiko todistukset tarkistaa tai jopa löytää tietokoneella?
Tiesitkö, että kokonaislukuja ja reaalilukuja on äärettömästi, mutta reaalilukujen äärettömyys on suurempi?
Algebra
Milloin? 1800-luvun alku.
Mitä? Koulussa algebralla viitataan yhtälöiden ratkaisemiseen. Moderni algebra sai alkunsa siitä, että kaikille yhtälöille ei olekaan suoraa ratkaisukaavaa. Algebra tutkii erilaisia lukujen muotoja, laskutoimituksia ja symmetrioita hyvin käsitteellisellä tasolla.
Tätäkin pohditaan: Miksei viidennen asteen yhtälöille ole ratkaisukaavaa? Mikä on optimaalinen tapa ratkaista Rubikin kuutio?
Lukuteoria
Milloin? Syntynyt antiikin Kreikassa, moderni muoto 1600-luvulta alkaen.
Mitä? Tutkii kokonaislukuja ja niiden suhteita. Alkuluvut ja jakojäännökset ovat alan perustyökaluja. Moderniin lukuteoriaan yhdistyy jokseenkin kaikkia matematiikan aloja ja tietokoneita käytetään paljon laskennan apuna. Lukuteoriaa pidettiin pitkään epäkäytännöllisenä, mutta esimerkiksi internetin salakirjoitus perustuu puhtaasti sen tuloksiin.
Tätäkin pohditaan: Miten alkuluvut ovat jakautuneet lukusuoralle? Voiko luvun jakaa alkutekijöihinsä jollain nopealla tavalla? Onko tietyillä yhtälöillä kokonaisluvuista koostuvia ratkaisuja?
Vuonna 1637 Pierre de Fermat väitti, että Pythagoraan lauseesta tutulle yhtälölle $x^n+y^n=z^n$ ei ole kokonaislukuratkaisuja, kun $n>2$. Väite saatiin todistettua lopullisesti vasta 1990-luvulla, ja siihen liittyi paljon uutta, syvällistä matematiikkaa!
Geometria
Milloin? Antiikin Kreikka, 500 eaa. alkaen
Mitä? Matematiikka eksaktina tieteenalana syntyi kreikkalaisten tutkiessa geometriaa. Tuhansia vuosia vanhojen tulosten päälle rakennetaan edelleen sovelluksia: ajattele vaikka 3D-mallinnusta! Lisäksi moderni geometria on laajentunut tutkimaan erilaisia kaarevia maailmoja, joissa suorat eivät enää olekaan ”suoria”. Oma maailmankaikkeutemme on esimerkki sellaisesta.
Tätäkin pohditaan: Mikä on tiivein tapa pakata sata samankokoista ympyrää neliön sisään? Minkä muotoinen universumi on? (Jälkimmäiseen tarvitaan myös kosmologeja.)
Topologia
Milloin? 1800-luvun loppu.
Mitä? Topologia on geometriasta erkaantunut (mutta edelleen läheinen) ala, joka tutkii niitä ominaisuuksia, jotka eivät muutu kappaleita venytettäessä. Topologi ei erota kahvikuppia donitsista, koska yhden voi venyttää toiseksi!
Tätäkin pohditaan: Onko maapallolla joka hetki jokin piste, jossa ei tuule? Miten kaksi solmua osoitetaan samanlaisiksi?
Solmuteoria
Solmuteoria tutkii päistään yhteen sidottuja naruja. Erilaisten solmujen luokittelu ja varsinkin purkaminen on hankalaa, ja niihin liittyy monia kiinnostavia ominaisuuksia. Purjehtimiseen solmuteorialla ei ole juuri annettavaa, mutta DNA:n sotkeutumista tutkivat biologit tykkäävät!
Analyysi
Milloin? 1600-luvun loppu.
Mitä? Alan nimestä voi tulla mieleen finanssialan analyytikot, mutta matemaattinen analyysi on lukiosta tuttua derivointia ja integrointia. Analyysi tutkii jatkuvasti muuttuvia suureita yhden tai useamman muuttujan tapauksessa. Yksi tärkeä analyysin sovellus on signaalin jakaminen sen osatekijöiksi. Analyysillä on teoreettisen mielenkiinnon lisäksi valtavasti käytännön sovelluksia.
Tätäkin pohditaan: Miten lämpö etenee kappaleessa? Miten päätellä molekyylin rakenne sen taivuttamien röntgensäteiden perusteella?
Inversio-ongelmat
Kun kappaleen rakenne tiedetään, on helppoa päätellä, minkä näköinen röntgenkuva siitä saataisiin. Toisin päin onkin vaikeampaa: miten päätellä kappaleen rakenne muutaman kuvan perusteella? Tämänkaltaiset käänteiset ongelmat ovat merkittäviä muun muassa lääketieteessä. Suomessa niitä tutkitaan usean yliopiston yhteistyönä.
Todennäköisyyslaskenta
Milloin? 1600-luku.
Mitä? Todennäköisyyksien tutkimus alkoi uhkapelien pelaamisesta ja laajeni vähän kaikille matematiikan aloille. Se on läheisessä yhteydessä tilastotieteeseen ja kombinatoriikkaan, mutta sovelluksia löytyy lähes kaikilta muiltakin aloilta: jopa fysiikasta, jossa mikrotason ilmiöt ovat yleensä satunnaisia.
Tätäkin pohditaan: Kuinka kauan menee, että kaupungissa satunnaisesti harhaileva ihminen löytää asemalle? Kuinka todennäköisesti satunnainen luku on alkuluku?
Kaaosteoria
Milloin? 1900-luvun vaihde.
Mitä? Jotkin järjestelmät vaikuttavat itse itseensä, jolloin niiden käytös on kaaottista ja saattaa päätyä loputtomiin kierteisiin. Toisaalta joillakin lähtöarvoilla ne voivat olla hyvinkin ennustettavia. Yleensä ongelmiin ei ole tarkkoja ratkaisuja vaan niitä joudutaan arvioimaan. Myös fraktaalit voidaan lukea tähän alaan.
Tätäkin pohditaan: Kolmen taivaankappaleen keskinäisiä liikkeitä ei voi ratkaista tarkasti, mutta entäs erikoistapauksissa? Hakeutuuko tutkittava järjestelmä ajan myötä johonkin vakaaseen tilaan?
Tilastotiede
Milloin? 1700-luku.
Mitä? Tilastotiede on ja ei ole matematiikan ala. Sen menetelmät ovat vahvasti matemaattisia, mutta toisaalta alan juuret ovat yhteiskunnan havainnoinnissa. Tilastotiede jalkautuu todellisen maailman epävarmuuksiin ja virheisiin. Valtavat datamassat tarvitsevat tulkitsijoita ja koneoppiminen opettajia, joten tällä hetkellä alan osaajien kysyntä on kova.
Tätäkin pohditaan: Kuinka paljon henkivakuutuksen pitää maksaa, jotta vakuutusyhtiö jäisi voitolle? Onko tutkimuksessa havaittu ilmiö vain sattuman seurausta? Miten kaupan asiakkaat käyttäytyvät tulevaisuudessa?
Kombinatoriikka
Milloin? 1600-luku.
Mitä? Kombinatoriikka tutkii tapoja järjestää erilaisia kappaleita. Kouluongelma olisi kysyä, monellako eri tapaa voi valita viisi ihmistä sadan joukosta. Käytännön puolella esimerkiksi erilaisten verkkojen tutkimus kuuluu tähän alaan.
Tätäkin pohditaan: Mikä on lyhin reitti kahden tietokoneen välillä? Kuinka monella värillä voi värittää minkä vain kartan?
Neljä väriä riittää! Tämä todistettiin tutkimalla yli tuhat alkeistapausta tietokoneen avulla. Joidenkin mielestä moinen raa’alla voimalla todistaminen on huijausta.
Taloustiede
Milloin? 1700-luvun loppu.
Mitä? Taloustiede käyttää valtavasti matemaattisia ja tilastollisia menetelmiä mallintaakseen taloutta kaikissa mittakaavoissa yhdestä yrityksestä maailmantalouteen. Alalla on paljon optimointi- ja ennustustehtäviä, joihin liittyy puutteellista tietoa.
Tätäkin pohditaan: Mikä on optimaalinen tuotantomäärä ja myyntihinta? Koska maailmantalous dippaa seuraavan kerran ja kuinka pahasti?
Taloustieteen nobelisti Bengt Holmström valmistui alkujaan matemaatikoksi Helsingin yliopistosta.
Peliteoria
Kahta ihmistä epäillään isosta rikoksesta. Jos kumpikaan ei tunnusta, he saavat lyhyen tuomion pikkurötöksestä. Jos yksi suolaa toisen, hän pääsee heti vapaaksi ja toinen saa 15 vuoden tuomion. Ja jos kumpikin suolaa toisensa, molemmat istuvat 10 vuotta. Miten syytettyjen kannattaisi menetellä, jos he eivät saa keskustella keskenään?
Peliteoria tutkii erilaisia ”pelejä”, joissa pelaajat tekevät mahdollisimman hyviä päätöksiä. Ala on kytkeytynyt tiukimmin taloustieteeseen, mutta sitä sovelletaan myös esimerkiksi evoluutiobiologiassa.
Tietojenkäsittelyteoria
Milloin? Omaksi alakseen 1950-luvulla.
Mitä? Tietokoneiden teoreettisella puolella sovelletaan runsaasti matematiikkaa — kuten matematiikassa tietokoneita. Käytännön ongelmiin kuuluvat erilaiset algoritmit, tekoäly ja laskentatehtävät. Ohjelmointikieliin ja laskettavuuteen liittyy myös runsaasti teoreettisia ongelmia, jotka kytkeytyvät matemaattiseen logiikkaan.
Tätäkin pohditaan: Kuinka itseajava auto saadaan toimimaan? Voiko ohjelman virheettömyyden tarkistaa ja todistaa? Kuinka nopeasti erilaiset ongelmat voidaan ratkaista?
Erityisen kiinnostava kysymys, P=NP-ongelma, koskee sitä, voiko eräät ”helposti” tarkastettavat ongelmat myös ratkaista yhtä helposti (missä ”helposti” on hyvin suhteellista).
Luonnontieteet
Milloin? Eriytyneet toisistaan historian varrella.
Mitä? Matematiikka ja luonnontieteet ovat kehittyneet rinta rinnan. Esimerkiksi fysiikka on vauhdittanut valtavasti matematiikan kehitystä ja vastineeksi fyysikot lainailevat alati matemaattisia työkaluja tarpeisiinsa. Matematiikkaa voi kuitenkin soveltaa myös biologiaan, kemiaan ja moneen muuhun alaan.
Tätäkin pohditaan: Miten populaatiot ja geenit kehittyvät? Kuinka kasvit tai verisuonet kasvavat? Millainen yhtälö kuvaa kaasujen virtausta ilmakehässä tai sylinterissä?
Matematiikan opetus
Milloin? Tieteenalana 1900-luvulta alkaen.
Mitä? Matematiikka on tunnetusti monelle vaikea aine, joten sen opettamista on tärkeää ja kiinnostavaa tutkia. Moni matematiikan opiskelija valmistuu aineenopettajaksi, mutta opetusta tutkitaan ja tarvitaan myös yliopistotasolla.
Tätäkin pohditaan: Mitkä aiheet ovat innostavia? Mitä pitäisi opettaa ja ennen kaikkea millä tavalla?
Taide
Hieman vinksahtaneet hahmot asettavat tiukat säännöt, joiden puitteissa he sitten luovat teoksia, joita vain harvat asiaan vihkiytyneet ymmärtävät — puhtaasti apurahojen turvin. Matematiikan tutkimus ja taide eivät olekaan kovin kaukana toisistaan! Jotkut tekevät kumpaakin, eikä ihme: matematiikan kehittäminen on mielikuvitusta vaativaa työtä.
Mutta ennen kaikkea...
Aritmetiikka EI OLE KIINNOSTAVAA
Milloin? Tuhansia vuosia ennen ajanlaskumme alkua.
Mitä? Joillekin syntyy koulumatematiikasta kuva, että matemaatikot vain opettelevat laskemaan yhä suurempia ja vaikeampia laskuja. Kuten tämän listan alat kertovat, väite ei voisi olla kauempana totuudesta. Laskeminen on vain työkalu, ihan kuten tavuttaminen kirjailijalle tai pallon pompottelu futarille. Matemaatikkoja kiinnostaa etsiä ja löytää yhteyksiä, ominaisuuksia... ja joskus myös sovelluksia.
Sanottua: "Matemaatikot eivät laske."
Tämä teksti ja juliste on julkaistu Creative Commons Nimeä 4.0 -lisenssillä.
Ei kommentteja:
Lähetä kommentti
Kommentit ovat moderoituja — yritän hyväksyä kommenttisi mahdollisimman pian. Voit kirjoittaa kommenttiin LaTeX-koodia tai yksinkertaista HTML-merkintää: lue lisää Kommentointi-sivulta.