keskiviikko 10. toukokuuta 2017

Miksi lasken logaritmeja huvikseni

Kattoon liimattuja muistilappuja, joissa logaritmien arvoja.

Muutaman päivää sitten kiinnitin sänkyni yläpuolelle kaksi muistilappua. Kummassakin on pienten lukujen logaritmien likiarvoja: ensimmäisessä luonnollisia logaritmeja ja toisessa kymmenkantaisia. Tavoitteeni: oppia arvioimaan logaritmeja päässä.

Joku voisi sanoa, että olen hullu. (Ja varmaankin olisi oikeassa.) Mutta hullutukselleni on erittäin selkeä syy. Kuten olen aiemminkin maininnut, olen päässälaskun suuri fani. Minusta on erittäin tärkeää osata arvioida suuruusluokkia ilman laskimen apua, minkä lisäksi uskon päässälaskun olevan paitsi aivojumppaa, myös matematiikan ymmärtämistä parantava harrastus. Mikäli siis olet riittävän uskalias, jatka lukemista.

Logaritmit

Ihan ensimmäinen vaihe on palauttaa mieleen logaritmien laskusäännöt ja opetella muutama arvo ulkoa. Aloitin kymmenkantaisesta logaritmista, joka on mielestäni paljon helpompi — kaikki seuraavat esimerkit käyttävät sitä. Oma muistisääntöni perustuu siihen, kuinka alkuluvut vastaavat melko nätisti parittomia desimaaleja. Keksi oma sääntösi, ja lunttia saa!

Sitten pikakurssi logaritmien laskusäännöistä. Logaritmit ovat siis menetelmä, joka "alentaa" laskujen tasoa: potenssit kertolaskuiksi ja kertolaskut yhteenlaskuiksi. Ensimmäinen sääntö on, että kantaluvun logaritmi on 1:

\[ \log(10) = 1. \]

Saman säännön kääntöpuoli on, että ykkösen logaritmi on aina nolla:

\[ \log(1) = 0. \]

Potenssit voidaan tiputtaa kertolaskuksi logaritmin eteen. Kymmenen potensseista puhuttaessa se tarkoittaa, että logaritmi vastaa ykköstä seuraavien nollien määrää.

\[ \log(1000) = \log(10^3) = 3 \cdot \log(10) = 3. \]

Viimeinen olennainen sääntö on, että kertolaskut muuttuvat yhteenlaskuksi:

\[ \log(3 \cdot 5) = \log(3) + \log(5). \]

Lopuilla säännöillä voi tarkentaa arvioitaan, mutta ne jäävät omaksi opiskeltavaksesi. Meidän kannaltamme kaksi viimeistä ovat kiinnostavimmat. Perusidea logaritmin päässälaskuun on, että haetaan luvusta jokin kertolaskuksi palautuva osa. Otetaan vaikkapa luku $1200$. Muistaakseni $12$ on alakoulun kertotauluissa ja tarkemmin sanottuna $4 \cdot 3$, jossa $4 = 2^2$. Kirjoitan tämän auki (päässä tämä vaatii hieman muistia!) ja käytän edellisiä sääntöjä:

\[ \begin{align*} \log(1200) &= \log(4 \cdot 3 \cdot 100)\\ &= \log(2^2 \cdot 3 \cdot 10^2)\\ &= 2\log(2) + \log(3) + 2\log(10). \end{align*} \]

Sitten jäljellä onkin ulkomuistista tehtävä osuus. Muistilapulta vilkaisten $\log(2) \approx 0.3$, $\log(3) \approx 0.5$ ja $\log(10)$ on tasan yksi. Tulos on siis suunnilleen $3.1$. Laskin sanoo... $3.079$. Ei nyt ihan surkeasti.

Kokeile itse: $\log(2000)$, $\log(150)$, $\log(14000)$, $\log(720)$.

Kertolasku

Kertolaskun logaritmi on yhteenlaskua. Kaksi lukua voi siis kertoa keskenään summaamalla niiden logaritmit... kunhan tuloksen osaa muuttaa logaritmista takaisin! Otetaan edellisen esimerkin $1200$ ja kerrotaan se kahdella. Kakkosen logaritmi on $0.3$ ja tuhannenkahdensadan $3.1$, ja niiden summa on $3.4$. Nyt tästä pitäisi saada järkevä luku; prosessi pitäisi saada jotenkin kulkemaan takaperin.

Yksi ratkaisuvaihtoehto on $3.4 = 2 + 0.5 + 3 \cdot 0.3$. Tämä on sama kuin $\log(100) + \log(3) + \log(2^3)$, joka puolestaan on sama kuin $\log(100 \cdot 3 \cdot 8)$. Logaritmin keskellä oleva luku on $2400$, ja sitähän me lähdimme hakemaan![1] Tämä nyt tietenkin oli tahallisen helppo esimerkki, mutta sama periaate toimii vaikeammissakin tapauksissa.

Kokeile itse: $18 \cdot 25$, $2100 \cdot 150$.

Neliöjuuret

Kertolaskuilla leikkiminen oli oikeastaan vain harjoittelua. Olen vähän sitä mieltä, että kertominen on helpompaa muilla tavoin, vaikka logaritmit ovatkin hyvä lisä välinearsenaaliin. Paljon kiinnostavampaa on nimittäin neliöjuurien laskeminen.

Neliöjuuren ottaminen on sama asia kuin luvun korottaminen potenssiin puoli. Siten \[ \log(\sqrt{1200}) = \frac 1 2 \log(1200). \] Aiemman laskun perusteella tulos on $1.55$. Etenemällä takaperin se on noin $0.7 + 0.85$ eli $\log(5) + \log(7)$ eli $\log(5 \cdot 7)$ eli vastaus on jotakuinkin $35$. Oikeasti se on... noin $34.64$.

Saman voi laajentaa kuutiojuuriin ($\sqrt[3]{1200}$ lienee vähän päälle kymmenen... ai 10,63?) tai potensseihin.

Kokeile itse: $\sqrt{2000}$, $\sqrt[3]{2000}$, $14^3$.

Seuraavaksi

Isoin ongelmani on, etteivät arviot ole järin tarkkoja. Tähän on oikeastaan kaksi ratkaisua: opetella ulkoa tarkempia lukuja ($\log(3)$ kärsii eniten virheestä) tai opetella ja laskea kunkin termin mukana tuleva virhe. Jälkimmäinen tapa on Matikkaninjan suosiossa. Suosittelen muutenkin lukemaan Colin Beveridgen blogista muita vastaavia temppuja!

Haluan myös jossain kohtaa laajentaa luonnollisiin logaritmeihin. Niihin törmää matematiikassa vähän väliä, ja jotkut arviot voisivat hyötyä toisen kantaluvun käyttämisestä.

Isoin haaste on kylläkin oppia tekemään tätä nopeasti ja luotettavasti. Siihen on vain yksi tapa: harjoitus, harjoitus ja harjoitus. Jos siis näet minut bussissa irvistelemässä katolle... yritän vain laskea. Se on ihan normaalia. Kai. Onhan se?


[1] Toinen tapa olisi $3.4 = 4 \cdot 0.85 \approx 4 \cdot \log(7)$. Vaikka $7^4$ näyttäisi pelottavalta, se on itse asiassa tavallaan helppo: $(7^2)^2 = 49^2 = (50 - 1)^2$, joka menee binomikaavalla $50^2 - 2 \cdot 50 + 1$. Tuloksena saatava $2401$ on aika loistavan lähellä oikeaa.

Ei kommentteja:

Lähetä kommentti

Kommentit ovat moderoituja — yritän hyväksyä kommenttisi mahdollisimman pian. Voit kirjoittaa kommenttiin LaTeX-koodia tai yksinkertaista HTML-merkintää: lue lisää Kommentointi-sivulta.