tiistai 12. joulukuuta 2017

Kokemuksia matikan opiskelusta

Matrix-elokuvien mainoksia.

(Vaikka jotkin epäluotettavat blogit toisin vihjaavatkin, matematiikan ainejärjestöllä ja elokuvalla ei ole yhteyttä. Matrix ry sai nimensä joitakin vuosia aiemmin.)

Koska yksi tämän blogin teema on toimia matematiikan opintojen propagandana ja toisaalta koska olen nyt elänyt opiskelijaelämää lähes lukukauden verran, tällä kertaa kerron opiskelusta. Nyt siis alanvalintaa puntaroivat ja heidän läheisensä kuulolla!

En ole kummemmin järjestellyt tätä tekstiä, ainoastaan jaotellut joitakin mieleen juolahtavia asioita alaotsikoiden alle. Jos jokin jää askarruttamaan mieltä, älä epäröi vaan kysy kommenteissa tai muulla tavalla! Lisäksi huomautettakoon, että osaan puhua ainoastaan Helsingin yliopistosta. Muut yliopistot ja varsinkin teknilliset yliopistot voivat olla hyvinkin erilaisia, joten kannattaa selvitellä eroja.

torstai 7. joulukuuta 2017

Siili, pikseli ja matriisi

(Valokuva: Kalle Gustafsson/Flickr. CC-BY 2.0.)

Viime kerralla kehitimme pelin, jossa siili napsii mansikoita. Siinä kuitenkin puhuimme ainoastaan pelimekaniikoista; nyt vuorossa on pelin siirtäminen ruudulle. Sitä ennen tarvitaan pieni selitys tietokonegrafiikan toiminnasta.

Nykytietokoneessa on kaksi suoritinta, jotka tekevät yhtäaikaisesti töitä. Ensimmäinen on yleispätevä ja pystyy monenlaisiin temppuihin. Se voi käsitellä tekstiä tai simuloida siilin nälkäistä mahaa. Toinen suoritin puolestaan keskittyy pelkästään grafiikkaan ja osaa lähinnä laskea vektoreilla. Ennen kaikkea se osaa laskea niillä valtavan paljon nopeammin kuin tavallinen suoritin.

torstai 30. marraskuuta 2017

Siili, mansikka ja vektori

Ah, vektorit, nuo pitkän matematiikan kauhut ja fyysikkojen lempilelut. Osalle lukiolaisista vektorit tuntuvat hieman vaikeilta, osalle luonnollisimmalta jutulta paahtoleivän ja langattoman netin jälkeen. Henkilökohtainen kokemukseni on, että pelien koodaileminen yläkoulussa siirsi minut vakaasti jälkimmäiseen ryhmään, joten nyt yritän selittää saman näin nettitekstin välityksellä.

Sivumennen sanoen ymmärrän lukiolaisten tuskan. Olen paraikaa kurssilla, jossa suunnilleen kaikki on vektoria... muun muassa funktiot. Kyllä vaan, $f(x) = x + (\sin x)^2$ on vektori jossain ääretönulotteisessa avaruudessa. Tämän sisäistäminen vaatii jo jonkinlaista luottamusta määritelmien voimaan... enkä enää ihmettele, miksi matemaatikkojen ainejärjestö on nimeltään Matrix.

It is not the spoon that bends, it is only yourself.

Mutta eipä harhauduta nyt moisiin ajatuksiin (ne sopivat toiseen kertaan), vaan aloitetaan kysymällä mikä vektori oikein on — ilman yliopistotason selitystä. Aion olla niin radikaali, etten koskaan edes kerro vastausta. Näytän vain esimerkkejä ja sitten leikimme niillä. Aletaanpa väsätä peliä siileistä ja mansikoista.

maanantai 20. marraskuuta 2017

Lukuvinkki: Joulupukin kiistämätön olemassaolo

The Indisputable Existence of Santa Claus.

Joulusesonki on jo puolessavälin, joten kaiketi minunkin on hyvä aika kääntää blogin kurssia kohti Korvatunturin vuosittaista logistiikkaoperaatiota. Mikään ei korota joulumieltä paremmin kuin koko juhlan analysointi tiukan matemaattisesti, ja siihen tilaisuuteen tarttuu Hannah Fryn ja Thomas Oléron Evansin näppäränkokoinen kirja The Indisputable Existence of Santa Claus (Doubleday, 2016). (Tämänvuotinen painos kirjasta on vieläpä iloisen joulunpunainen!)

Sataanneljäänkymmeneen sivuun on pakattu huikea paketti matematiikan sovelluksista jouluisiin teemoihin. Enkä nyt tarkoita mitään tylsää peruskamaa, vaan esimerkiksi

  • peliteoreettista lähestymistä joululahjojen ostoon,
  • tapa tehdä työpaikan lahjaringistä tasapuolinen ja
  • strategia sukulaisten rökittämiseen Monopolissa.

Kappaleet voisivat melkein olla tästä blogista revittyjä, paitsi paljon hauskempia ja hiotumpia. Siksi suosittelenkin tätä pukinkonttiin nuorelle tai miksei vanhemmallekin lukijalle, joka saattaisi pitää edes aavistuksen verran matematiikan soveltamisesta jouluun. Suomennosta ei tietääkseni ole — ja näkökulma on niin brittiläinen, ettei se oikein toimisikaan. Kielitaito onkin vaatimus lukijalle, mutta laatuaan ainoa sellainen.

Jos kaipaat matemaattisia lahjaideoita, minulla on kohtalainen lista muista hyvistä kirjoista, joista löytyy jotain joka matemaatikolle. Ja voihan olla, että tätäkin blogia kannattaa pitää silmällä joulumatikan tarpeen tyydyttämiseksi...

keskiviikko 15. marraskuuta 2017

Matemaatikko nimeltä Bourbaki

Bourbakin kirjoja algebrasta.

Moni matemaatikko työskentelee koko uransa kapealla alalla — mutta jotkut pystyvät loikkimaan aiheesta toiseen. Joidenkin nimi jää historiaan nerokkaan löydön myötä — harvat tulevat tunnetuiksi kirjoista, joista tulee alojensa merkkiteoksia ja välttämättömiä oppikirjoja. Ranskalainen Nicolas Bourbaki (1935–) kuuluu kummassakin jälkimmäiseen leiriin.

Hänen nimissään ei juuri ole teoreemoja eikä häntä ole palkittu yhdelläkään suurella palkinnolla. Kuitenkin jokaisen itseään kunniottavan yliopistokirjaston matematiikan osastolta löytyy useampi Bourbakin teos. Hän ei myöskään rajoitu yhteen alaan, vaan on vuosien varrella tuottanut merkkiteoksia useammalla matematiikan saralla.

tiistai 7. marraskuuta 2017

Päättymätön shakki

Shakkilauta.

(Ricardo630/Wikimedia Commons. CC-BY-SA 3.0.)

Viime kerralla esitin ongelman:

Opiskelija haluaa käydä yhtä usein Helsingin yliopistolla ja Aallossa. Hän haluaa pitää yllätyksenä, milloin hän seuraavan kerran eksyy millekin yliopistolle. Jos hän noudattaa jotain kuviota kolmesti peräkkäin, häneen kohdistuu suuri sosiaalinen paine jatkaa samalla kuviolla. Mikäli hän käy kolmesti peräkkäin Aallolla, hänellä ei ole enää asiaa Helsingin yliopistolle. Puolestaan jos hän vuorottelee "HAHAHA", hänen on pakko jatkaa vuorottelua — kun taas "HAHA" ja jotain muuta ei tuota ongelmaa. Millainen sääntö opiskelijan pitäisi keksiä, ettei hän ikinä tee samaa kuviota kolmesti peräkkäin ja silti käy yhtä usein kummallakin yliopistolla?

Tämän ongelman ratkaisu kuuluu siihen joukkoon matematiikkaa, joka on niin yksinkertaista, että se hyppää esiin vähän kaikkialla. Sanalla sanoen kutsuisin sitä kauniiksi matematiikaksi.

torstai 2. marraskuuta 2017

Metropulma

Hakaniemen metroasema.

(Kallerna/Wikimedia Commons. CC-BY-SA 3.0.)

Kuvitellaanpa taas yksi hypoteettinen tilanne.

Nuori opiskelija asuu Ruoholahdessa. Hän pitää yhtä lailla teoreettisesta filosofiasta ja soveltavasta sähkötekniikasta, ja siksi mieluusti hengailee vuorotellen yliopistolaisten ja teekkarien kanssa. Päättääkseen, keiden kanssa hän viettää päivänsä, hän menee metroasemalle ja ottaa ensimmäisen saapuvan metron. Jos se menee länteen (siksi tilanne on hypoteettinen), hän päätyy Aallolle — jos itään, hän on hetkessä yliopistolla.

Metroja tulee kumpaankin suuntaan tasaisesti viiden minuutin välein (oikea aikataulu eroaa tästä pulmasta). Kuitenkin opiskelijamme löytää itsensä Aallolta vain kerran viikossa. Miksi näin tapahtuu?

tiistai 31. lokakuuta 2017

Aika on vaikeaa

Vino kuva kellosta.

(Alex The Shutter/Flickr. CC-BY-NC 2.0.)

Taas on se aika vuodesta, kun käydään kiivasta keskustelua kesäajan tarpeettomuudesta. Tämä teksti ei ota siihen kantaa, vaan esittelen monta muutakin syytä, miksi aikaa — ehkä maailman ennustettavimmalta tuntuvaa asiaa — on lähes mahdotonta käsitellä.

Erityisen tärkeää tämä on ohjelmoijille: jokaisen vähänkään vakavammin koodaavan tulisi tietää, miksei aikajuttuja kannata yrittää kehittää itse. Ikävä kyllä läheskään kaikki eivät tunne edes yleisimpiä kompastuskiviä; enkä kyllä siitä voi moittiakaan. Siksi perussääntö on tämä: Jätä ajan käsittely ammattilaisille. Ei, et ole ammattilainen.

Kesäaika on ongelmista yleisin

Mikä olisikaan iloisempaa kuin ajanjakson 2:59-4:01 kestävän kaksi minuuttia tai viettää tunti laatuaikaa kello 3:00-3:00? Kesäajan johdosta paikallinen aika ei ole jatkuvaa. On pisteitä, joita ei ole olemassa: esimerkiksi 26.3.2017 klo 3:30. Toisaalta on pisteitä, jotka eivät ole yksikäsitteisiä: vaikkapa 29.10.2017 klo 3:15 tarkoittaa kahta ajanhetkeä.

Ohjelmat joutuvat sietämään takaperin kulkevaa kelloa, yöjunat pysähtyivät sunnuntaina tunniksi ja niin edelleen. Onneksi sentään vaihdokset on ajoitettu viikonloppuöiksi.

keskiviikko 25. lokakuuta 2017

Roope Ankan rahasäiliö

Roope Ankan rahasäiliö.

(Kuvat omiani, hahmot © Disney.)

Nyt puhutaan maailman rikkaimmasta ankasta — tosin tarinamme alkaa hetkestä, jona hän ei ollutkaan niin rikas. Klassisessa Carl Barksin tarinassa Aku Ankka pelastaa Tyhjälän joulun (ensi kertaa Aku Ankan numerossa 12B/1956, ks. INDUCKS-tietokanta) Roopen rahasäiliön pohja romahtaa alla olevaan onkaloon ja kolikot jäävät ohuen ohuen kivikerroksen päälle, josta niitä sitten pelastetaan pienellä leikkijunalla.

Mutta kuinka paljon kyseiset killingit oikeasti painavat — ja kuinka arvokkaita ne ovat? Onko lanttien varastointi päällekkäin alkuunkaan viisas idea? Tämän selvittämisestä tuli hauska viikonloppuprojekti, johon kuului runsaasti tutustumista... tuota, kirjalliseen lähdeaineistoon. Matikka ei myöskään ole yläkoulutasoa pelottavampaa, joten kuka tahansa voi laskea mukana. Eiköhän aloiteta!

maanantai 23. lokakuuta 2017

Linkkejä tenttiviikon kunniaksi

Tenttiviikko! Taivaat synkkenevät, Helsinki jäätyy ja elävät kuolleet vaeltavat kampuksella! (Ainejärjestön aamuneljältä päättyneellä Harry Potter -leffamaratonilla saattaa olla tekemistä viimeisen kanssa.)

Tenttiviikkoon voi liittää ahdistusta, stressiä ja pitkiä päiviä — tai, kuten omassa kalenterissani, runsaasti vapaata aikaa. Tämän ilmestymishetkellä olen matkalla viikon ainoaan oikeaan tenttiin. Vive la akateeminen vapaus! (Ennen kuin ehdit kirota minut, todettakoon, että ensi periodissa ei naurata niin paljon.)

Tässä on siis hyvä hetki koota syksyn kiinnostavimpia lukupaketteja. Oman luppoaikani yritän käyttää blogipuskurin kevyeen kerryttämiseen — saa nähdä, millä menestyksellä!

perjantai 20. lokakuuta 2017

Mitä matemaatikot oikein tekevät?

(Päivitetty 20.10.2017 klo 14: ladattu korjattu versio PDF-tiedostosta.)

Uskoisin, että jokainen matematiikan opiskelija on joutunut selittämään sukulaisille tai tutuille, mitä oikein yliopistolla puuhaa. Tässä tekstissä on vastaus. Ainakin yksi sellainen.

Tässä on lista paristakymmenestä matikan alasta, jotka yhdessä antavat jonkinlaisen kokonaiskuvan nykymatematiikasta. Kaikkiaan aloja on aivan valtavasti ja rajat niiden välillä oikeastaan olemattomia, joten täydellistä vastausta ei olekaan. Pahoittelen, jos olen jättänyt oman suosikkialasi pois tai kuvannut sitä tylsällä tavalla!

Jos verkkosivun rullaaminen ei innosta, tämä teksti on saatavilla myös PDF-muotoisena julisteena. Sitä on hauska zoomailla tabletin ruudulla, ja voihan sen tulostaakin seinälleen, mikäli haluaa tukea suomalaista metsäteollisuutta. (Pienin luettava koko: A2.) Pidemmittä puheitta, eiköhän siirrytä listaan...

tiistai 10. lokakuuta 2017

Kuinka kysyä arkaluonteinen kysymys

Laskimelle kurkottava käsi.

Ei, nyt ei puhuta ihmissuhdetaidoista vaan tilastotieteen kurssilla vastaan tulleesta tempusta. Tämä kikka ei ehkä auta kasvotusten keskustelussa, mutta yleisellä tasolla siitä voi olla hyötyä.

Joskus halutaan selvittää, kuinka paljon ihmiset tekevät asioita, joista ei välttämättä haluta puhua ääneen. Esimerkiksi lukion matikanope saattaisi haluta tietää, kuinka moni ryökäle laskee helppoja yhteenlaskuja laskimella. Vaikka opettaja kuinka vakuuttelisi, että vastaukset ovat anonyymeja, oppilailla voi olla vaikeuksia luottaa yksityisyytensä (ja matikannumeronsa) säilymiseen.

Miten opettaja saisi tietää, moniko opiskelija turvautuu laskimeen — ilman, että oppilailla olisi paineita valehdella?

keskiviikko 4. lokakuuta 2017

Matemaatikko meni mäkkäriin

Pikaruokalan kananugetteja.

(Calgary Reviews/Flickr. CC-BY 2.0.)

Kuvittele täysin hypoteettinen tilanne, jossa matematiikan opiskelija pistäytyy kansainvälisen pikaruokaketjun toimipisteeseen. Kyseinen opiskelija on lukenut tätä blogia ja inspiroitunut eläkeläisestä, joka maksaa käteisellä. Nälkäinen kun on, matemaatikkomme haluaa ostaa mahdollisimman monta kananugettia (jollekin "kanan" määritelmälle) — mahdollisimman vaikeasti.

Kekseliäänä nuorena hän on huomannut, että nugetteja myydään neljän, kuuden, yhdeksän ja kahdenkymmenen kappaleen laatikoissa. Siksi hän pyytää yksitoista nugettia.

torstai 28. syyskuuta 2017

Kuinka monta bussipysäkkiä?

Syystien bussipysäkki kesän viimeisenä päivänä.

Jokaisella Helsingin bussipysäkillä on numero; myös sillä, jolla vietän suhteettoman paljon aikaa (harrastan etuajassa olemista). Bussia odotellessa ehtii miettiä kaikenlaista, kuten klassista tilastotieteen pulmaa: panssarivaunuongelmaa.

Toisessa maailmansodassa liittoutuneita kiinnosti tietää, montako panssarivaunua Saksa tuotti, ja yhtenä keinona he arvioivat lukua tankkien sarjanumeroiden perusteella. Minua puolestaan kiinnostaa tietää, montako bussipysäkkiä Helsingissä on — tai ainakin, mikä on suurin pysäkinnumero.

Aineistona minulla on kolme jokseenkin satunnaista pysäkkiä:

  • H2041 Rautatientori (vähän kaiken keskellä),
  • H3207 Syystie (jonka ohitse kävelin ihanana varhaissyksyn päivänä),
  • H3597 A.I. Virtasen aukio (siisti tiedepaikka).

En ole tähän mennessä keksinyt logiikkaa numeroinnin taustalla, mutta tuhannen alapuoliset numerot näyttävät olevan kisko- ja lauttaliikenteelle varattuja. Numeroiden välissä on selvästi tyhjiä koloja, joten siksi pysäkkien määrä ja isoin numero eivät ole sama asia.

Ihan ensi alkuun voidaan olettaa, että isoin numero on vähintään 3597. Mutta voimmeko arvata tarkemmin?

tiistai 19. syyskuuta 2017

Satu opiskelijakylän apoteekkarista

Vanhanaikaisia lasisia lääkepurkkeja.

(Dan Backman/Flickr. CC-BY 2.0.)

Olipa kerran kaukaisella yliopistolla pieni ja iloinen opiskelijakylä. Kylässä asui monen monta opiskelijaa ja olipa siellä puoti ja apoteekkikin. Joka perjantai-ilta nuoret ja vähän vanhemmatkin tieteenharjoittajat kävivät kaupassa, ja seuraavana aam... iltapäivänä he kömpivät apteekkiin hankkimaan apuja eilisillan kolhuihin.

Apteekkaria mietitytti kovasti, kuinka paljon kunakin päivänä pitäisi olla rohtoja valmiina hyllyssä. Onneksi hän ja kauppias olivat jo vanhastaan ystäviä, joten he sopivat yhteistyöstä ja avunannosta tässä pulmassa. Apteekkari sanoi:

— Katsos, kun opiskelija toikkaroi vaapukkamehusta päissään, tarvitsee hän kohta särkylääkkeitä ja laastareita. Kuplajuomaa lipitellyt fuksi puolestaan valittaa kipeää masuaan ja pyytää vatsalääkettä. Jos kerrot minulle, miten paljon kutakin mehua kulloinkin myyt, osaan varautua seuraavana päivänä.

perjantai 15. syyskuuta 2017

Kaikkein tärkein koevinkki

This hedgehog is cheering for you because you can do anything

(Alkuperäinen kuva @OfficialNala.)

Eräs lukion matematiikanopettajani sanoi ennen derivaattakurssin koetta näin:

Jos et yhtään osaa ratkaista tehtävää, niin kirjoita silti "Funktio on jatkuva ja derivoituva". Heti tulee kaksi pistettä.

Totta kai hän sanoi sen kieli poskessa, mutta samalla vinkki on niin tosi. Siinä on itse asiassa kaksi ohjetta yhdessä paketissa:

  • Selitä, mitä teet. Kaavojen välissä oleva teksti erottaa hyvän vastauksen keskinkertaisesta. Esimerkiksi pitkässä matikassa odotetaan perustelua ennen derivointia, joten opettajani halusi meistä jokaisen myös tekevän niin.
  • Jos et tiedä, arvaa. Jokainen perustelu ja kuva kertoo tarkastajalle, millaisella tavalla olet yrittänyt selventää ongelmaa. Tyhjä tehtävä on automaattinen nolla. Yksikin lause on parhaimmillaan enemmän ja pahimmillaan yhtä vähän.

Jälkimmäinen vinkki pätee ihan joka aineeseen. Jostain syystä olen itsekin jättänyt tehtäviä tyhjäksi sen sijaan, että olisin arvannut. Joka kerta on kirpaissut jälkeenpäin, kun arvaus olisikin osunut oikeaan.

Kokeessa kukaan ei tuomitse sinua yrittämisestä. Nosta siis leuka pystyyn, kirjoita mitä tiedät ja jatka eteenpäin!

Tänään järjestetään syksyn ylioppilaskirjoitusten ensimmäinen kirjallinen koe. Tsemppiä (ja onnea) abit!

tiistai 12. syyskuuta 2017

Lukuvinkki: Weapons of Math Destruction

Big Data on tämän hetken kuuma juttu, jossa on valtavasti potentiaalia hyvään. Jonkin aikaa sitten esimerkiksi uutisoitiin Helsingin ja Uudenmaan sairaanhoitopiirin kokeilemasta mallista, joka ennustaa keskosten verenmyrkytyksiä ihmistä aiemmin. (Ylen uutinen.) Valtavista tietomääristä kuvioita louhimalla voidaan saada aikaan paljon hyvää ja pelastaa ihmishenkiä.

Samalla kehityksellä vain on kääntöpuolensa. Yksityisyyttään varjelevat älähtivät jo siitäkin, kun S-ryhmä halusi kerätä yksityiskohtaisempia ostotietoja. (Yle.) Tämä kirja esittelee paljon vaarallisempia malleja, jotka vaikuttavat hyviltä, mutta todellisuudessa lisäävät eriarvoisuutta ja osuvat sivullisiin. Ne ovat joukkotuhoaseita — matikkatuhoaseita.

Kirja on Cathy O'Neilin Weapons of Math Destruction (Penguin Books, 2016). Tämä vinkkaus on siksikin ajankohtainen, että juuri näihin aikoihin kirja ilmestyy suomeksi nimellä Matikkatuhoaseet (suom. Kimmo Pietiläinen, Terra Cognita). En ole suomennosta vielä nähnyt, mutta kustannusyhtiön tuntien se lienee hyvä, mitä nyt ei koreilla kansilla tai laajalla saatavuudella pilattu.

Kirjassaan O'Neil, liike-elämässä algoritmien tuhovoiman nähnyt matemaatikko, tarkastelee hyvin kriittisesti eräitä malleja. Vaikka näkökulma painottuu Yhdysvaltoihin, samat riskit täytyy tiedostaa myös säännellymmässä yhteiskunnassa.

perjantai 8. syyskuuta 2017

Pizza ja sen geometria

Herkullinen pala pizzaa, jossa tomaattikastiketta, juustoa ja päällä basilikan lehti.

(Bionicgrrrl/Flickr. CC-BY-NC-ND 2.0.)

Pizza, tuo elämän valo ja Italian lahja maailmalle. Sen lisäksi, että pizza muodostaa noin neljä kolmannesta opiskelijan ruokaympyrästä, on se myös matemaattisesti erittäin tärkeää:

  • Pizzan korkeuden ollessa $a$ ja säteen $z$, sen tilavuus on $\pi zza$.
  • Pizzalla voi havainnollistaa kiehtovaa geometrista konseptia.
  • Matikan laitoksen ravintolassa on joka viikko pizzaperjantai.

Tänään tämä blogi keskittyy toiseen ja sen kirjoittaja kolmanteen kohtaan. Ensin kuitenkin pitää koukata pienen geometrisen harjoituksen kautta.

maanantai 4. syyskuuta 2017

Ensimmäinen vuosi

2.9.2016 painoin Julkaise-nappia ja Nollakohta ilmestyi digitaaliseen maailmaan. Nyt hieman yli vuotta myöhemmin automaatti vapauttaa tämän tekstin samalla, kun olen matkalla ensimmäiselle matematiikan luennolleni. Vuosi takaperin aloittelin välivuotta ja kokeilin, voisiko matikkabloggaaminen olla hauskaa. Sata tekstiä myöhemmin voin todeta, että onhan se.

Luonnostelin vähän aikaa sitten tekstiaihetta, jota olin luonnostellut vuotta aiemminkin. Vanhaa versiota lukiessani huomasin, että olen tainnut kehittyä hieman kirjoittajana. Sen lisäksi uskon kehittyneeni matematiikan harrastajana valtavasti. Vuoden tauko täysipäiväisestä opiskelusta ei ole ollut huono asia, vaikka tekemistensä hyödyllisyyttä saattaakin pohtia. Välivuosi ei mielestäni ole huono vaihtoehto. Nyt on hyvä jatkaa todelliseen yliopistomatematiikkaan.

Yleensä näissä tasavuositeksteissä sorrutaan reflektoimaan mennyttä, joten enköhän minäkin tee niin. Matkan varrelle on sattunut suurta motivaatiota, olematonta motivaatiota, hyviä tekstejä, huonoja tekstejä, yllättäviä lukijamääriä, vierailu toisessa blogissa ja paljon muuta. Melkein joka viikolle on löytynyt teksti tai pari, ja idealista on vain kasvanut muutamaan kymmeneen. Nyt tahti varmaankin tulee hidastumaan, mutta vastineeksi löytänen paljon jännittäviä aiheita ja anekdootteja matikasta, sen tekijöistä ja sen opiskelusta.

Iso kiitos kaikille (niin ihmisille kuin boteille), jotka ovat horinoitani lukeneet ja erityisesti jokaiselle, joka on kommentoinut ja tsempannut (❤). Alle olen kerännyt muutaman oman kohokohdan ensimmäisten sadan tekstin joukosta. Ja kuten aina: risut, ruusut ja muut enemmän tai vähemmän asiasisältöiset kommentit ovat tervetulleita!

maanantai 28. elokuuta 2017

Millainen on vahva salasana?

Erilaisia salasanamittareita murtoaika-arvioineen.

(Erilaisia mittareita verkosta hakemalla opimme, että 5alasana! on hyvä salasana, joka murtuu tunneissa, eikun minuuteissa, eikun kahdessa sekunnissa...)

Salasanat ovat vaikeita. Niitä pitää olla paljon, niiden pitää olla vahvoja, jostain syystä niitä pitää vaihtaakin (miksi?) ja joka sivustolla on vähän omat sääntönsä. Aika moni sivu myös tarjoaa mittaria, joka arvioi salasanan vahvuuden. Ikävä kyllä ne ovat ihan päin peetä. Miten tällainen mittari toimii... tai pikemminkin, miksi ne eivät toimi?

tiistai 22. elokuuta 2017

Hyvin selviävä ajatusharha

Selviytymisharha, yksi pirullisimmasta ajatusvirheistä. Äärimmäisen yksinkertainen: jos ryhmästä tutkitaan jotain piirrettä, joka vaikuttaa ryhmään kuulumiseen, tulokset ovat vääristyneitä. Esimerkiksi matematiikan laitoksella tehdyssä kyselytutkimuksessa lukiomatematiikka todettaisiin helpoksi — kai nyt, kun laitokselle ei pääse ilman sen osaamista. Ikävä kyllä todellisuudessa ei tietenkään ole mitään näin ilmeistä.

keskiviikko 16. elokuuta 2017

Lukuvinkki: How to Bake Pi

Varauduin jo keväällä opiskelujen alkamiseen hankkimalla keittokirjan. Valinnastani voi olla montaa mieltä: lähes kolmesataasivuisessa pokkarissa on nimittäin vain kourallinen reseptejä... mutta niiden välit onkin täytetty herkullisella matematiikalla! Kirjan nimi on How to Bake Pi — tai aiemman painoksen Cakes, Custard and Category Theory — ja sen on kirjoittanut Eugenia Cheng (Profile Books, 2015).

Moni aiemmin vinkkaamani kirja kertoo tarinoita matematiikan historiasta tai soveltaa matematiikkaa arkisiin ilmiöihin. Tämä kirja toimii toisin päin: se on kokoelma anekdootteja, jotka lähtevät elämästä (ja erityisesti ruoasta) ja päättyvät johonkin matemaattiseen konseptiin. Eikä mihin tahansa sellaiseen, vaan johonkin hyvin abstraktiin piirteeseen, joka kuvaa matematiikan luonnetta. Juuri se tekee tästä kirjasta niin kiinnostavan.

maanantai 14. elokuuta 2017

Yksinkertaisen kauniit solut

Merikotilo, jonka kuoressa on kahden värin muodostamia erikokoisia kolmioita.

(Richard Ling/Wikimedia Commons. CC-BY-SA 3.0. Rajattu.)

Kirjoitin keväällä Game of Life -simulaatiosta, jossa "solut" syntyvät ja kuolevat yksinkertaisten sääntöjen mukaan. Siinä on kolme ulottuvuutta: kaksiulotteinen pelikenttä ja aika. Siitä pääsee vielä yksinkertaisempaankin päin. Tässä tekstissä esittelen muutaman kaksiulotteisen soluautomaatin eli sääntöjä noudattavan solujärjestelmän. Kiehtovaa on, että sääntöjen äärimmäisestä yksinkertaisuudesta huolimatta muodostuvat kuviot saattavat johdattaa hyvinkin syvällisiin löytöihin.

torstai 10. elokuuta 2017

Lukion tärkein aine

Tämä on omaan kokemukseeni pohjautuva mielipidekirjoitus, tavallisesta poiketen ei siis universaali totuus. Suuntaan sen lukion aloittajille ja miksei vanhemmillekin opiskelijoille. Julkaisen tämän nyt lukioiden alkaessa, koska olisin itse halunnut tietää tämän neljä vuotta sitten aloittaessani.

Lukio on uskomattoman vaikuttava paikka. Se on yleissivistävä laitos, jossa nuori muodostaa omaa maailmankatsomustaan. Eteen tulee ainevalintoja, joiden seasta pitäisi osata löytää oma polkunsa — oli se sitten alusta asti selvä tai polveileva sellainen. Yksi aine kuitenkin on kaikille yhteinen ja ylioppilaskirjoituksissa pakollinen. Kyseessä on tietenkin äidinkieli. Väitteeni on, että se on lukion tärkein oppiaine. Ota se vakavasti.

maanantai 7. elokuuta 2017

Entten tentten teelikamentten

(THOR/Flickr. CC-BY 2.0.)

Lukion lukuteorian helmeä kongruenssia sovelletaan jo alakoulussa, nimittäin välitunneilla. Vanha kunnon arvontaloru Entten tentten pohjautuu ihan kokonaan kellotaululaskentaan ja siksi sitä onkin helppo hyväksikäyttää pienellä vaivalla. Loru itsessään on vanhaa ja kiinnostavaa perua (artikkeli) ja alueittain erilainen. Tässä käytän sitä muotoa, jonka itse olen muinoin oppinut:

Entten tentten teelika mentten
Hissun kissun vaapula vissun
Eelin keelin klot
Viipula vaapula vot
Eskon saun pium paum
Nyt sinä lähdet tästä pelistä pois
(Pum pam pelistä pois)

tiistai 1. elokuuta 2017

Erilainen kertolasku (tai sitten ei)

Mikäli olisin sensationalismiin taipuvainen, hehkuttaisin tämän tekstin opettavan huikean uuden tavan laskea lähes mahdottomia kertolaskuja. Ikävä kyllä en ole, joten tämä teksti esittelee allekkainlaskua vastaavan, keskiajalta asti tunnetun menetelmän. Mikäli huomaat sen helpottavan laskemista, loistavaa; mutta en takaa sen voittavan allekkainlaskua. (Huomannet, etten opiskele markkinointia.)

Menetelmä luultavasti tuli Lähi-idästä Eurooppaan 1300-luvun taitteessa ja tunnetaan monella nimellä: hilakertolasku, Gelosia-kertolasku ja niin edelleen. Ainakin itse olen oppinut koulussa vain allekkainkertomisen, ja siksi tämä onkin niin kiinnostava. Kyseiset kaksi tekniikkaa ovat nimittäin pohjimmiltaan samat, mutta alkuun hyvin erinäköiset.

keskiviikko 26. heinäkuuta 2017

Lohikäärmekäyrä

Lohikäärmettä esittävä patsas.

(Tony Webster/Flickr. CC-BY 2.0. Muokattu värejä.)

Viime viikolla käsittelin lukujen kirjoittamista toinen toistaan oudommilla tavoilla. Tämän viikon aiheena on jatkaa vielä vähän eteenpäin kompleksilukujen parissa, mutta keskitymme vain yhteen lukujärjestelmään. Sen kantaluku on $(-1 + i)$ ja siinä elää lohikäärme.

lauantai 22. heinäkuuta 2017

22/7

Pii-raskaavio!

Maaliskuun neljästoista eli jenkkiläisittäin $3.14$ tunnetaan kansainvälisenä piipäivänä: matemaattisen vakion juhlana, johon kuuluu piirakan syöminen. Kovaääninen (muttei välttämättä runsaslukuinen) joukko, joka suosii enemmän tauta $\tau = 2\pi$ puolestaan juhlii omaa lempparivakiotaan kesäkuun 28. päivä.

Vaikka piin desimaaleja onkin hauska opetella, ne ovat hieman epäkäytännöllisiä päässälaskuun, jossa pitäisi päästä supistamaan pieniä lukuja. Siksi mieleen kannattaakin painaa heinäkuun kahdeskymmenestoinen eli $22/7$. Yllättävän helpolla päässälaskulla jakolaskun tulokseksi tulee

\[ 3.142857\ldots \]

kun taas piin arvo on

\[ 3.141592\ldots \]

Ei mitenkään paras arvio, mutta helposti muistettava, päässälaskuun ihan riittävä ja ammoisista ajoista tunnettu. (Mikäli huomaat tarvitsevasi tarkempaa likiarvoa, $355/113$ on ystäväsi.) Ja vaikka päässälasku ei kiinnostaisikaan, piin likiarvopäivä on hyvä syy nauttia jotain piirakkaa muistuttavaa! Tai piimää. Miten haluat.

keskiviikko 19. heinäkuuta 2017

Luvun monet kasvot

Kuinka paljon numeroita on?

Pienenä olisin vastannut "äärettömästi". Numeron ja luvun eron oppineena olisin vastannut "kymmenen, nollasta yhdeksään". Ja nyt vastaan: kuinka monta vain haluat. Tässä tekstissä puhutaan lukujen kirjoittamisesta. Aloitamme tutuista numeroista ja siirrymme tietokoneen ykkösten ja nollien kautta yhä oudompiin lukujärjestelmiin.

tiistai 11. heinäkuuta 2017

Väkiluvun ennustelua

(Tamperelaisen peliteollisuuden huipputuote Cities: Skylines.)

Olen pienen ikäni varrella ehtinyt pelata jokusen (sataa) tuntia SimCityä, peliä, joka asettaa pelaajan kaupunginjohtajan paikalle. Jonkun aikaa sitten pohdiskelin, millaisia elementtejä kaupunkisimulaatioon tarvitaan. Peliä ei kannata odotella tältä suunnalta — se vaatisi liikaa pitkäjänteisyyttä minulta! — mutta blogimateriaaliksi aihe kyllä sopii.

Ensimmäinen ja isoin kysymys on, kuinka asukkaat mallinnetaan. Tähän on kaksi isoa lähestymistapaa: jokaisen asukkaan simulointi erikseen (nykyään suosittu) tai jonkinlainen tilastollinen malli (epätarkka mutta hitaille koneille sopiva). Minua kiinnostaa jälkimmäinen.

torstai 6. heinäkuuta 2017

Rakensin laskimen. Mitä tarvitsin siihen?

Wolfram|Alpha on erinomainen työkalu: pitkälle kehittynyt symbolinen laskin ja tietopankki. Olen totta kai sen aktiivinen käyttäjä, ja yhteen Fermi-arvioblogaukseen kuluu kymmeniä ellei satoja hakuja. Tuloksia odotellessa ehtii kiinnittää huomiota yhteen asiaan... tuloksia joutuu odottelemaan. Monimutkaisiin laskuihin kuluvan ajan ymmärrän, mutta miksi helpot lausekkeet vaativat niin paljon aikaa?

Päätin siis jonkun aikaa sitten kokeilla rakentaa oman yksikkölaskimeni — sellaisen, joka korvaisi Alphan yksinkertaisissa laskutoimituksissa ja olisi paljon nopeampi. Sellaisia varmasti on paljon, mutta puolen ikäänsä ohjelmoineelle valmis ei kelpaa! Samalla nimittäin sain hyvän syyn luoda ensimmäisen pilvipalveluni, mitä olin halunnut tehdä jo pitkään.

Vajaan parin viikon työn tuloksena syntyi Aleph|Nolla. Se on kauttaaltaan ilmainen, kevyt ja käynnistymistä lukuunottamatta salamannopea (ilmaisen palvelutason huono puoli). Pienestä keskeneräisyydestä huolimatta se toimii kohtalaisesti. Alla kerron muutaman palasen siitä, millaista matematiikkaa työssä tarvitsin.

keskiviikko 21. kesäkuuta 2017

Sata salamaa, sata aurinkoa

Useita salamaniskuja yöllä.

(sasa.mutic/Flickr. CC BY-NC-ND 2.0.)

Istuskelin bussissa ja mietin, mistä seuraavaksi kirjoittaisin, kun kuulin sen. Kuskin radio soitti Vicky Rostin (nuoremmalle polvelle Antti Tuiskun) kasariklassikkoa Sata salamaa. Entäs jos... ottaisin laulun kirjaimellisesti? On karkeiden arvioiden aika!

maanantai 12. kesäkuuta 2017

Ystävälliset luvut

Kaksi puolisydämen muotoista avaimenperää, joihin on kaiverrettu luvut 220 ja 284.

(Maths Gear myy näitäkin umpinörttejä esineitä.)

Jos täydelliset luvut ovat erinomaisuudessaan yksinäisiä, niin ystävälliset luvut ovat niiden täydellinen vastakohta: kaksikko. Nekin on tunnettu pythagoralaisten ajoista asti — vuosisatoja myöhemmin elänyt kirjoittaja antaa kunnian Pythagoraalle itselleen — ja niihinkin on yhdistetty ylimääräistä symboliikkaa.

Ajatus on taas kerran yksinkertainen. $220$ on jaollinen itsensä lisäksi luvuilla $1$, $2$, $4$, $5$, $10$, $11$, $20$, $22$, $44$, $55$ ja $110$. Niiden summa on $284$. Sen jakajat puolestaan ovat $1$, $2$, $4$, $71$ ja $142$ — ja niiden summa on $220$. Aika söpöä hei!

tiistai 6. kesäkuuta 2017

Täydellistä laatoitusta etsimässä

Vessan lattia. Kuusikulmaiset laatat!

Mikäli puhelin unohtuu oven ulkopuolelle, vessanpöntöllä istuskellessa ehtii katsella laattoja. Kun laattojen kuviot alkavat tympiä, voi alkaa pohdiskella kokonaisuuden olemusta. Millä tavoin vessan pinnat pystyy peittämään täydellisesti? Ja ennen kaikkea, miten sen voi tehdä tyylikkäimmin? Matemaatikoilla, noilla käytännön ihmisillä vessaan unohtujilla on vastaus.

keskiviikko 31. toukokuuta 2017

Lukuristikoita!

Ristikon ruudut muodostavat kauhistuneen naaman.

"AAaAAAaaaaAAAAAA armoaAAaa!"

Päivitys 19.6.2017: Lisätty ristikoiden ratkaisut.

Huhujen mukaan aivan lähipäivinä ylioppilaat lakitetaan ja koululaiset ryntäävät kesälaitumille nautakarjaakin nopeammin. Ehkäistääkseen vakavia matematiikan puutostiloja Nollakohta on perinteisesti (jokaisena toimintakesänään) julkaissut sarjan tulostettavia lukuristikoita pahimman pulmanälän lievittämiseksi. Tykästyin Chalkdust-lehden ristikoihin erittäin kovasti, joten pakkohan niitä oli kokeilla tehdä itsekin.

Tämän myötä myös Nollakohta hidastaa kesänopeuteen, ja yritän julkaista suunnilleen kerran viikossa jotain enemmän tai vähemmän hauskaa. Suven lopussa minulla onkin edessä muutto isolle kirkolle ja ryhtyminen oikeaksi matematiikanopiskelijaksi — äärimmäisen jännittävää ja huikeaa ja superlatiivista!

maanantai 29. toukokuuta 2017

Viiteen päättyvä neliö

Tämä temppu on klassinen, yksinkertainen ja aika näppärä. Aika moni on varmaan kuullutkin siitä, mutta sama nyt pätee kaikkeen täällä nähtävään. Asiaan siis: temppu on laskea päässä minkä tahansa viiteen päättyvän luvun neliö, esimerkiksi

\[ 65^2 = 4225. \]

Tämä teksti jakautuu kahteen osaan: selitykseen ja siihen, miksi temppu toimii. Ensin selitys.

Ota viitosta edeltävistä numeroista koostuva luku ja kerro se yhtä isomman luvun kanssa. Tässä siis $6 \cdot 7 = 42$. Lisää tuloksen perään $25$.

Se oli nopeaa. Sitten perustelu.

torstai 25. toukokuuta 2017

Vaarin laskutikku

Laskutikku mallia Aristo Schul-Commerz.

Arkistojen kätköistä löytyi isoisäni vanha laskutikku (kiitos vaari ja eno!). Tikun tarina ulottuu yli viiden vuosikymmenen taakse, jolloin laskutikun opettelu kuului kauppaopiston matematiikkaan. Hankinta tehtiin kuulemma "enemmän tai vähemmän edullisesti" koulun kautta kuten nykyäänkin nokkahuilujen ja laskimien tapaan.

Kyseinen tikku onkin varsin perusmalli: sillä pystyy kerto- ja jakolaskuihin sekä yksinkertaisiin muunnoksiin. Laajemmista malleista löytyy asteikkoja logaritmien ja vaikkapa trigonometrian tarpeisiin. Aikana ennen taskulaskinta tikku oli taulukkokirjoja ja päässälaskua nopeampi tapa suhteellisen tarkkoihin laskelmiin. Nykyään tikuista on käytössä lähinnä erikoislaskimia: ehkä yksinkertaisimpana mallina parkkikiekon keskikulutuslaskuri.

Mitä tämän tikun hyödyllisyyteen muuten tulee: ilmeisesti vaarini ei koskaan tarvinnut taitoa. Mekaaniset ja sittemmin sähköiset laskimet hoitivat homman nopeammin ja varmemmin, enkä kyllä suosittelisikaan tikkua laskimen tilalle. Sitä ei kuitenkaan koskaan tiedä, tarvitseeko sähköttömässä maailmanlopun tulevaisuudessa laskea kertolaskuja, joten vilkaistaanpa, kuinka tikku toimii!

tiistai 23. toukokuuta 2017

Tuplablogivinkki: Sata tarinaa ja liitupölyä

Aurinkolasit, joiden alla lukuristikko.

Kesä koitti Pirkanmaallekin pariksi päiväksi, joten tässä varsin omasta tekstistä vapaa blogitöräys: pari linkkiä, joita olen kevään varrella alkanut seurata aktiivisesti. Asiallisempi blogitoiminta jatkuu sään kylmetessä eli varsin pian!

Sata tarinaa matematiikasta

Mitä yhteistä on meteorologilla, materiaalikemistillä ja käyttöliittymätutkijalla? Kaikki tarvitsevat työssään matematiikkaa — ja ovat kertoneet siitä Teknologiateollisuuden 100-vuotissäätiön Sata tarinaa matematiikasta -blogissa. Minullakin oli hiljan kunnia höpistä siellä, mutta muiden tarinat vasta jänniä ovatkin. Odotan innolla tulevia vieraita! (Ja sitä, tuleeko sata täyteen...)

Chalkdust Magazine

University College Londonin matematiikanopiskelijat toimittavat pari kertaa vuodessa ilmestyvää Chalkdust Magazine -lehteä, joka tarjoaa lyhyitä juttuja matematiikasta kiinnostuneille. Sivustolla on lisäksi viikottaista blogitoimintaa. Oma mielipiteeni on, että kyseessä on kaikin puolin erinomainen lehti, ja sitä voi vieläpä lukea ilmaiseksi!

Lehden lukuristikot muuten ovat aika makeita. Sallinette, että palaan sellaisen pariin...

torstai 18. toukokuuta 2017

Lukuvinkki: Vaellusretkiä matematiikkaan

Emerituslehtori Simo Kivelän Vaellusretkiä matematiikkaan (omakustanne, 2017) oli kiinnostava lukukokemus jo siitäkin syystä, että se on suomalaisena teoksena pieni harvinaisuus. Retket osoittautuivat hieman vaativiksi, mutta maisemat todellakin sen arvoisiksi. (Kivelä muuten kirjoittaa myös omaa blogiaan matematiikasta.)

maanantai 15. toukokuuta 2017

Batman tuhoaa universumin

Batman sanoo: 12000 desibelin luulisi riittävän.

(Ruutukaappaus jaksosta.)

Jotenkin päädyin katselemaan Batmania. Enkä tarkoita mitään synkkäilyä, vaan sitä alkuperäistä 60-luvun hupailusarjaa. Vaikka jakso (perjantaihin asti Yle Areenassa) ei muuten oikein säväyttänytkään, yksi kohta siitä jäi mietityttämään.

Sankarikaksikko savustaa pahikset ulos pakettiautosta yliäänilepakkosäteellä™, jonka voimakkuus on vaatimattomat 12 000 desibeliä. Överiksi vedetyssä tv-sarjassa se ei ole voima eikä mikään, mutta kuinka paljon se oikeasti olisi? Tämä on tarina eksponentiaalisesta kasvusta.

keskiviikko 10. toukokuuta 2017

Miksi lasken logaritmeja huvikseni

Kattoon liimattuja muistilappuja, joissa logaritmien arvoja.

Muutaman päivää sitten kiinnitin sänkyni yläpuolelle kaksi muistilappua. Kummassakin on pienten lukujen logaritmien likiarvoja: ensimmäisessä luonnollisia logaritmeja ja toisessa kymmenkantaisia. Tavoitteeni: oppia arvioimaan logaritmeja päässä.

Joku voisi sanoa, että olen hullu. (Ja varmaankin olisi oikeassa.) Mutta hullutukselleni on erittäin selkeä syy. Kuten olen aiemminkin maininnut, olen päässälaskun suuri fani. Minusta on erittäin tärkeää osata arvioida suuruusluokkia ilman laskimen apua, minkä lisäksi uskon päässälaskun olevan paitsi aivojumppaa, myös matematiikan ymmärtämistä parantava harrastus. Mikäli siis olet riittävän uskalias, jatka lukemista.

maanantai 8. toukokuuta 2017

Melkein kaikki olennainen alkuluvuista

Alkuluvut ovat lukujen teorian olennaisin rakennuspalikka, joihin viittaan itsekin tämän tästä. Kuitenkaan niiden ominaisuudet eivät ole itsestäänselviä, joten tässä on kevyt referenssi/pikakertaus siihen, miksi alkuluvut ovat Iso Juttu. Joukossa pitäisi olla uusia tiedonmurusia lukion lukuteorian käyneillekin. Ota hyvä asento, niin aloitetaan!

torstai 4. toukokuuta 2017

Miten luultavasti kuolet?

(Ben Watkin/Flickr. CC-BY-NC 2.0.)

Syksyllä kirjoitin tekstin Suuri muutos pienessä riskissä, joka muistutti, että isokin kasvu häviävän pienessä riskissä johtaa... edelleen häviävän pieneen riskiin. Mutta kuinka isoja nuo pienet riskit oikeasti ovat? Nykyään puhutaan taas paljon terrorismista, ja jotkut muistuttavat aiheen alle jäävän paljon isompia kuolinsyitä (alkoholi, tupakka, matematiikka). Miten nämä todennäköisyydet suhtautuvat toisiinsa? Tilastotieteilijöillä on siihen vastaus.

torstai 27. huhtikuuta 2017

Pienten lukujen lait

Isojen lukujen laki on vakavamielinen ja tärkeä todennäköisyyksien pääsääntö: todennäköisyydet toimivat vasta isossa mittakaavassa. Tuhannesta kolikonheitosta noin puolet on kruunia, kahdesta heitosta puolestaan on paha mennä sanomaan. Pienten lukujen laki, tai itse asiassa kaksi lakia, on vähemmän vakava mutta niin ikään olennainen:

  1. Pieniä lukuja ei ole riittävästi vastaamaan niihin kohdistettuja odotuksia.
  2. Vaikka kaksi lukua näyttäisivät samalta, asia ei välttämättä ole niin!
Richard Guy

Guy esitteli nämä lukuisilla esimerkeillä kahdessa artikkelissa, joihin linkitän tämän tekstin lopussa. Annan kuitenkin muutaman esimerkin ihan itse.

tiistai 25. huhtikuuta 2017

Elämän peli

Selaimesi ei näytä tukevan <canvas>-elementtiä, joka vaaditaan tähän demoon.

Jokainen musta ruutu on solu. Solu syntyy, jos sen ympärillä on kolme solua ja kuolee, jos naapureita on alle kaksi tai yli kolme. Nämä yksinkertaiset säännöt esitti brittimatemaatikko John H. Conway (1937–) vuonna 1970. Siitä alkaen Game of Life on kiinnostanut ihmisiä — pelinä, jota voi vain katsella sen alettua.

Jo ylläolevaa kokeilemalla on helppo löytää kuvioita, jotka eivät koskaan kuole tai jotka liikkuvat pitkin kenttää. Vastoin ensimmäisiä odotuksia löytyi myös kuvio, joka "ampuu" loputtomasti uusia liikkuvia kuvioita. (Kuten usein, Wikipedian kuvat aiheesta ovat erinomaisia.)

Itse asiassa kuvioista voi koota kaikki tarvittavat loogiset osat: Game of Life on tietokoneiden tavoin Turing-täydellinen eli sillä pystyy laskemaan mitä tahansa laskettavissa olevaa. Viimeinen puuttuva palanen oli kuvio, joka pystyisi "lisääntymään" eli luomaan täydellisen kopion itsestään. Pitkän aikaa tiedettiin, että sellainen on olemassa, ja lopulta sellainen rakennettiin vuonna 2013. Peli alkoi olla nimensä veroinen.

Pelin filosofisen merkityksen suhteen voi mennä täysin överiksi, mutta kiistämättä se on vaikuttanut moneen alaan. Jos näinkin yksinkertainen, kaksiulotteinen ja mustavalkoinen soluautomaatti pystyy mihin vain, entä monimutkaisemmat järjestelmät? Kuinka vähän tarvitaan, jotta voidaan puhua elämästä?

Puhumattakaan siitä, että peliä voisi katsella loputtomiin. Solut elävät elämäänsä, muodostavat kuvioita ja jatkavat vaikka kuinka pitkään. Tässä toteutuksessa reunat on kytketty toisiinsa sekä pysty- että vaakasuunnassa. (Harjoitus: mikä geometrinen kappale on kyseessä?)

perjantai 21. huhtikuuta 2017

Kalkkunoita ja ihmisiä

SE ON KALKKUNA

(David Goehring/Flickr. CC-BY 2.0.)

Viimeviikkoinen analyysini pääsiäispupun liikehdinnästä muistutti ei niin etäisesti Randall Munroen What If? -blogia ja samannimistä kirjaa. (Pikalukuvinkki: Lue. Kirja löytyy myös suomeksi.) Kirjassa esitellään myös joukko erityisen kummallisia ja huolestuttavia kysymyksiä, joihin ei anneta vastausta. Tämä teksti vastaa niistä yhteen — eikä säästele imitoinnissa.

Entä jos... joka päivä jokaisella ihmisellä olisi prosentin todennäköisyys muuttua kalkkunaksi ja jokaisella kalkkunalla prosentin todennäköisyys muuttua ihmiseksi?

(Alkuperäinen kysyjä: Kenneth)

keskiviikko 19. huhtikuuta 2017

Ristinollan matemaattinen sisarus

(Esimerkki kolmesta vuorosta kahden ympyrän peliä.)

Brittimatemaatikko John H. Conway (1937–) tunnetaan ennen kaikkea Game of Life -pelistään, mutta se ei suinkaan ole hänen ainoa pelikeksintönsä. Hänen ja Mike Patersonin kehittämä Sprouts eli Versot on loistava korvike kahden hengen ristinollalle. Itselleni se oli uusi tuttavuus, eikä kirjahyllystä löytynyt pelikirja (ymmärrettävästi) maininnut pelin matemaattista taustaa tai merkitystä.

Pelilauta valmistellaan piirtämällä paperille muutama ympyrä. Kukin pelaaja piirtää vuorollaan kahden ympyrän välille viivan ja johonkin kohtaan sitä uuden ympyrän. Viivat saavat mutkitella ja päättyä samaan ympyrään kuin alkavat, mutta ne eivät saa koskettaa toisiaan. Kun ympyrään koskee kolme viivaa, siihen ei voi enää liittää uusia viivoja. Pelin häviää se, joka ei enää voi piirtää uutta viivaa.

Kuten ristinollaan, tähänkin peliin on optimaalinen strategia. Pelin nerokkuus tuleekin siitä, että säännöt ovat helposti laajennettavissa. Alussa piirrettyjä pisteitä voi olla kuinka monta tahansa yhdestä alkaen, ja se paitsi vaikuttaa täydellisesti pelatun pelin voittajaan, myös vaikeuttaa peliä reippaasti. Toinen vaikeuttava sääntömuutos on kääntää voittoehto: se häviääkin, joka piirtää viimeisen viivan.

Osa pelin analyysistä on jopa suhteellisen helppoa. Kuinka monta kierrosta peli voi enintään jatkua? Entä vähintään kuinka monta?

perjantai 14. huhtikuuta 2017

Tapaus Pääsiäispupu

Värikkäitä munia.

(Cowgirl Jules/Flickr. CC-BY-NC 2.0.)

Taas on se aika vuodesta, kun ihmiset kokoontuvat juhlistamaan kansainvälistä suklaaherkku- ja maataloustuotejuhlaa (johon jostain syystä liitetään myös puurakenteessa roikkuva puolialaston mies). Olennaisena osana monen pääsiäiseen kuuluu suklaamunia toimittava kotieläin, mutta tapoja onkin sitten enemmän. Onko se pupu, kukko vai joku muu? Milloin ja montako kertaa se vierailee? Ovatko munat hatussa, korissa vai hukassa?

Jokajouluisen partasuun toilailuista on kirjoitettu paljon, mutta pääsiäisen yöllisiin tapahtumiin on perehdytty harvemmin. Yritän tässä tekstissä selventää joitakin itselleni heränneitä kysymyksiä. Montako munaa ilmestyy? Kuinka pitkän reissun kukko tekee? Ja joutuuko pupu menemään samaa vauhtia kuin pukin porot?

Vastatakseni kysymyksiin tein muutaman suuntaa-antavan Fermi-arvion. Menetelmänä on siis yksinkertaisesti tehdä joukko valistuneita arvauksia ja toivoa virheiden kumoavan toisensa. Toivoisin lukujen olevan ainakin suuruusluokan tarkkuudella oikein. Mitä fysiikkaan tulee, olisi kiinnostavaa kuulla oikeasti alaa ymmärtävän tuloksia.

Selvyyden vuoksi puhun vain pääsiäispupusta, jolla on kukosta poiketen oma Wikipedia-sivu. Uskoisin näiden kahden olevan vertailukelpoisia, joten ainakin minä korvaan lukiessani pupun kukolla. Lisäksi rajoitan tarkastelun Suomen rajojen sisäpuolelle tietojenkeräämisen helpottamiseksi.

Kuinka monta munaa?

Ihan ensimmäiseksi pitää selvittää, montako munaa pupujussi kätkee. S-ryhmä mainostaa tuoreimmassa Yhteishyvä-lehdessään myyvänsä 7,7 miljoonaa suklaamunaa joka vuosi. Koska S-kaupalla on noin puolet suomalaisesta markkinasta, sovitaan kokonaismyynniksi pyöreät 15 miljoonaa munaa. Oletan jänön hankkivan tuotteet kaupasta, luultavasti sellaisesta jonka bonusohjelma tarjoaa ruoat loppuvuodeksi.

tiistai 11. huhtikuuta 2017

Täydellisten lukujen mysteeri

28 yksikköä pitkä palkki jaettuna eri tavoin osiin ja näistä osista koottu 28 yksikön palkki.

(Luvun 28 täydellisyys visuaalisemmassa muodossa.)

Mikäli sortuisin inhimillistämään lukuja, näkisin täydelliset luvut turhamaisena kaksosparina, joka ei katso omia napojaan pidemmälle. Vertaus on enemmän kuin hieman ontuva, mutta siitä viis täydellisen luvun käsite on huikea: todella yksinkertainen, todella muinainen ja edelleen arvoituksellinen.

Lukua sanotaan täydelliseksi, mikäli se on itseään pienempien tekijöidensä summa. Esimerkiksi $28$ on täydellinen, koska se on jaollinen luvuilla $1$, $2$, $4$, $7$ sekä $14$, ja näiden summa on $1+2+4+7+14=28$. Tämä tiedettiin jo antiikin Kreikassa.

Jos tämä kuulostaa hyvältä ainekselta numerologiahuuhailulle, olet aivan oikeassa: täydellisiin lukuihin on liitetty mystisiä ominaisuuksia kautta historian. Miksi muutenkaan Kuu kiertäisi Maan 28 päivässä ja kristinuskon Jumala käytti luomiseen kuusi päivää? Näillä luvuilla on onneksi myös oikeasti matemaattisesti kiehtoviakin ominaisuuksia.

keskiviikko 5. huhtikuuta 2017

Klikkiotsikot, ufokolumnit ja Markovin ketju

23 vuotta taksia ajanut Pekka: Valkoinen talo yritti häiritä Venäjä-kuulemisia. Susanna Leinosen päänsäryn taustalta paljastui erikoinen yhteys - keskiössä tamperelainen pubi. Poliisi: Olen lentänyt ilman housuja.

(Iltalehti, Ilta-Sanomat ja Markov.)

Tuntuuko sinusta siltä, että klikkiotsikot toistavat itseään? Että nettiuutiset ovat toinen toistaan turhempia ja järjettömämpiä? Että verkkotoimittajat on hiljalleen korvattu satunnaista tekstiä suoltavilla koneilla?

Tekstiä tuottavista koneista ehkä yksinkertaisin ja hauskin on Markovin ketju. Menetelmän kehitti venäläismatemaatikko Andrei Markov (1856–1922) viime vuosisadan alussa, tosin joitakin sen sovelluksia tunnettiin aiemminkin. Kyseessä on taas yksi esimerkki yksinkertaisesta menetelmästä, jota voi matematiikan voimin soveltaa lukemattomiin asioihin.

perjantai 31. maaliskuuta 2017

(Epä)käytännöllinen kolikkomaksu

Eläkepäiväsi ovat koittaneet ja voit viimeinkin siirtyä täysipäiväiseksi kassajonojen tukkijaksi. Aseinasi ovat tarkka tarjoussilmä, käteisellä täytetty lompakko ja annos matemaattista tiedonhalua. Vuosia tukka putkella kortillamaksamisen jälkeen on hyvä hengähtää ja miettiä uudelleen tapaa, jolla luopuu rahoistaan.

Ensinnäkin vaihtoraha on auttamattomasti passé. Älylliset virikkeet ovat tärkeitä ja niitä ei kassakone tarjoa. Siispä maksu on suoritettava tasarahalla. Entäpäs menetelmä, jolla latelet kolikot tiskiin? Klassinen "aloita isoista ja etene pienempiin" toimii, mutta on vähän tylsä... mitä jos yrittäisitkin maksaa ostokset käyttämällä kunkinsuuruista kolikkoa enintään kerran?

Iltapäivälehti tarttuu mukaan 1,60 € hinnalla, joka on helppo jakaa euroon, viisikymmensenttiseen ja kymmensenttiseen. Suklaalevyn 2,25 € hoituu kaksieuroisella, kahdellakymmenellä ja viidellä sentillä. Pienet ostokset sujuvat kuin tanssi (nivelten rajoissa), kunnes vastaan tulee pahin kaikista: kissanhiekkatarjous. Kaksi pussia yhdeksällä eurolla. Jono takanasi pitenee roimasti, kun yrität valita kolikkosi viitosen seuraksi — mutta et onnistu. Yhdeksää euroa ei voi maksaa käyttämättä samanlaista kolikkoa kahdesti.

tiistai 28. maaliskuuta 2017

Ihminen ja luvut

Vasemmalla puolella N ympyrää, oikealla M ympyrää.

Katso ylläolevaa kuvaa. Montako ympyrää on vasemmalla puolella? Entä oikealla?

Veikkaan, että ensimmäiseen kysymykseen oli helppo vastata pelkästään vilkaisemalla, kun taas jälkimmäistä varten jouduit laskemaan. Yleisesti ottaen ihminen pystyy tunnistamaan lukumääriä vilkaisemalla aina muutamaan (sanotaan neljään) asti. Tämä kyky ei vaikuttaisi olevan ihmisten yksinoikeus, vaan useiden eläinten on havaittu pystyvän samanlaiseen lukutajuun, josta tietenkin saattaa olla hyötyä eloonjäämiselle.

perjantai 24. maaliskuuta 2017

Satunnaisuuskyselyn tulokset

Todella iso kiitos kaikille kyselyyn osallistuneille! Odotin kohtalaista suosiota some-jakojen ansiosta, mutta 147 vastausta ylitti odotukseni reippaasti, tämä blogi kun ei kävijämäärillä erityisesti voi retostella. Nyt esitän oman analyysini joistakin tuloksista; odotan mielenkiinnolla muiden havaintoja!

Päätavoitteena oli osoittaa, että ihmiset eivät ole niin satunnaisia. Siinä kysely onnistuikin: useampaan tehtävään kertyi vastauksia, jotka ovat kaukana satunnaisesta. Periaatteessa tätä voi hyödyntää, ja varmasti hyödynnetäänkin, ihmisiä vastaan. Toisin päin ajateltuna puolestaan oikeasti satunnaiset ilmiöt eivät ehkä tunnukaan meistä niin satunnaisilta. Ihminen on kehittynyt tunnistamaan kuvioita — sielläkin, missä niitä ei ole.

Kysely ei todellakaan täytä tieteellisiä standardeja. Otanta on varmasti kaukana satunnaisesta, koska kysely levisi enimmäkseen siitä kiinnostuneiden välityksellä. Lisäksi useammassa kysymyksessä oli epäonnistunut asettelu. Olen kuitenkin sitä mieltä, että virheiden analysointi on erinomainen tapa oppia, ja että ne siksi jopa sopivat tähän kevyeen kyselyyn. Mutta eiköhän siirrytä itse tuloksiin!

keskiviikko 22. maaliskuuta 2017

Satunnaislukujen perusteet

Juonenkäänteet ovat kirjaimellisesti satunnaisia.

RAND Corporationin vuoden 1955 hittiteos A Million Random Digits with 100,000 Normal Deviates.
(Michael Sauers/Flickr. CC-BY-NC 2.0.)

Kiitos kaikille satunnaisuuskyselyyn vastanneille! Nyt minulla on edessä erittäin kiinnostava numeronmurskausoperaatio, ja sen tuloksiin pääsemme perjantaina. Sitä odotellessa on hyvä perehtyä siihen, mitä satunnaisuus oikeasti on.

Ensimmäiseksi meidän pitää määritellä satunnaisuus. Sen jälkeen tutustumme tapaan, jolla tietokoneet muodostavat arkisia satunnaislukuja. Lopuksi perehdytään todelliseen satunnaisuuteen. Ehdotan lisäksi paria tapaa mahdollisimman satunnaisten lukujen keksimiseen itse.

keskiviikko 15. maaliskuuta 2017

Suuri satunnaisuuskysely

Päivitys 24.3.2017: Satunnaisuuskyselyn tulokset

Hei! Tämä lyhyt kysely on tarkoitettu ihmisten satunnaisuustaitojen epätieteelliseen selvittämiseen. Joukossa on muutama muukin kysymys, joista on iloa tilastojuttuihin liittyen. Kysely on auki viikon verran, ja ensi viikon lopulla julkaisen ja analysoin saatuja tuloksia.

Ohjeet

  1. Klikkaa allaolevaa linkkiä ja vastaa kyselyyn.
  2. Älä vastaa kyselyyn useampaa kertaa.
  3. Jaa linkki tälle sivulle.
  4. Kysely sulkeutuu 22.3. aamulla, ja yritän saada tulokset julki 24.3.

Jakaminen on tärkeää, koska muuten otos jää aivan auttamattoman pieneksi. Siinä tapauksessa tuloksistakaan ei saa mitään irti. Tarvitsen siis apuasi!

> Kyselyyn

Julkaisen kyselystä saadun datan anonymisoituna. Aloitteleva tilastotieteilijä saattaa löytää siitä jotain hupia.

maanantai 13. maaliskuuta 2017

Leffavinkki: Hidden Figures

Mary Jackson ja Karl Zielinski työskentelemässä Mercury-kapselin parissa tuulitunnelissa.

(Kuva © Twentieth Century Fox Film Corporation.)

Liityn varsin monen tiedebloggarin joukkoon omalla mielipiteelläni elokuvasta. Tämä teksti ei toivoakseni sisällä juonipaljastuksia.


Kilpajuoksussa avaruuteen oli kahdenlaisia ihmisiä: niitä, jotka istuivat räjähdetornin nokassa ja niitä, jotka pitivät huolen siitä, että kaikki räjähti hallitusti. Ensimmäiset toimivat PR-kasvoina ja saivat mainetta ja kunniaa; jälkimmäiset ovat jääneet syrjemmälle. Omasta mielestäni viimeksi mainitut ovat olleet kautta avaruusohjelman kiinnostavampia — avaruustoiminta on huikea tieteen ja insinöörityön taidonnäyte, jossa virheille ei ole varaa.

Hidden Figures on tarina heistä. Se on tarina kolmesta laskijasta NASA:n Langleyn tutkimuskeskuksessa Virginiassa — kolmesta mustasta naisesta, jotka tekivät työtään rotuerottelun ja seksismin alla.

Tiede-elokuvat vilisevät valitettavan usein kliseitä, mutta tässä niitä on onnistuttu välttämään hyvin. Vaikka tarinaa on dramatisoitu ja keskitetty muutamaan henkilöön, turhia kuvitelmia yksinäisistä neroista ei ruokita. Joissakin elokuvissa yksityiskohdat ja tieteelliset asiavirheet pistävät pitkän matikan nähneeseen silmään pahasti. Nyt niin ei käynyt, pienet elokuvamaisuudet toki sormien läpi katsoen. Erityinen kunniamaininta kohtaukselle, jossa henkilö sanoo "44 astetta" ja kirjoittaa liitutaululle $\dfrac{\pi}{180} \cdot 44$!

Päähenkilöiden kohtaama epäoikeudenmukaisuus on esitetty tyylikkäällä tavalla, josta erottelun järjettömyys tulee ilmi ilman suurta meteliä. Hahmot ovat aivan tavallisia matemaatikkoja, jotka rakastavat alaansa ja työskentelevät sen eteen — aivan kuten he tosielämässä olivatkin. Tästä en spoilaa enempää, enkä sitä riittävän hyvin osaisi kuvatakaan.

Hidden Figures nostaa esille edelleenkin merkittäviä teemoja. Se on taitavasti (ja elokuvallisuuden takia runsaasti) tiivistetty versio tositapahtumista. Samalla se on hyväntuulinen ja inspiroiva tarina sankareista rakettien takana, matematiikasta ja periksiantamattomuudesta. Suosittelen.


Wikipedia-sivu Eulerin menetelmälle muuten sisältää elokuvan ansiosta In popular culture -osion.