Yksinkertaisuudessaan kaunis todistus

Seuraavan erinomaisen todistuksen on luonut Dov Jarden. Vapaasti suomennettuna se menee näin:

Yksinkertainen todistus, että irrationaaliluku korotettuna irrationaaliseen potenssiin voi olla rationaalinen.

$$\sqrt{2}^{\sqrt{2}}$$ on joko rationaalinen tai irrationaalinen. Jos se on rationaalinen, väite on tosi. Jos se on irrationaalinen, $$(\sqrt{2}^{\sqrt{2}})^{\sqrt{2}} = 2$$ todistaa väitteen.

Tämä on aivan nerokas tapa todistaa väite. Riippumatta siitä, onko $$\sqrt{2}^{\sqrt{2}}$$ rationaalinen, lauseke saadaan muokattua väistämättä rationaaliseksi:

1. Tiedetään, että $$\sqrt{2}$$ on irrationaalinen --- sitä ei voi kirjoittaa murtolukuna.
2. Tällöin $$\sqrt{2}^{\sqrt{2}}$$ on irrationaaliluku korotettuna irrationaaliseen potenssiin.
3. Jos $$\sqrt{2}^{\sqrt{2}}$$ on rationaalinen, väite on tosi.
4. Jos se ei ole, $$\sqrt{2}^{\sqrt{2}}$$ on irrationaalinen.
5. Tällöin $$(\sqrt{2}^{\sqrt{2}})^{\sqrt{2}}$$ on irrationaaliluku korotettuna irrationaaliseen potenssiin.
6. Se on kuitenkin rationaaliluku $$\sqrt{2}^2 = 2$$. Väite on tosi.

Kyseessä on eksistenssitodistus, joka todistaa väitteen, muttei ota kantaa kummalla ylläolevista tavoista. Tällaisten ratkaisujen takia pidän matemaattisesta todistamisesta!

---

• Muilla keinoilla voidaan osoittaa, että $$\sqrt{2}^{\sqrt{2}}$$ on irrationaalinen. Se on myöskin transkendentti: se ei ole minkään rationaalikertoimisen polynomin nollakohta.