torstai 29. joulukuuta 2016

Normaaleja lukuja

\[ 1,2,2,1,1,2,1,2,2,1,2,2,\dots \]

Keksitkö kaavan? (Vastaus seuraavassa kappaleessa.) Kolakoskin sarja on loputon lukujono, joka koostuu pelkästään ykkösistä ja kakkosista. Sen kehitti alkujaan Rufus Oldenburger vuonna 1939, mutta tunnetuksi sen teki William Kolakoski vuonna 1965 julkaistussa artikkelissaan. Siitä lähtien on ihmetelty, onko jonossa yhtä paljon ykkösiä ja kakkosia.

keskiviikko 21. joulukuuta 2016

Joululinkkejä

Platonin kappaleita joulutähtikuviolla.

Muutama jouluinen linkki lähinnä vuoden takaa.

Lumihiutaleissa on kuusi sakaraa

Mutta valitettavan moni piirtää kahdeksan, tai jopa viisi! (Jään saa muihinkin muotoihin, mutta ilmakehän paine on yleensä alle tuhat ilmakehää.[lähde?])

Stand up -matemaatikko Matt Parkerin aloitteesta Twitterin #snowfake-tunniste (rajattu Parkerin mainitseviin) on täynnä hyviä huonoja esimerkkejä. Aperiodical-blogin kuusikulmainen lumihiutalekilpailu tuotti tuloksia.

Lahjapaperit ovat matemaattisesti tylsiä

Aperiodicalin Katie Steckles tutki lahjapaperien symmetrisyyttä ja pettyi. Seitsemästätoista mahdollisesta symmetriasta vain kolmea käytettiin, ja niistäkin lähinnä tylsää toistoa. Koko tarina ja vaihtoehtoisia kuvioita.

Geometrisia joulukoristeita

Platonin kappaleet ovat yllättävän hienoja joulukoristeita (ainakin jos unohdetaan piirroshahmot). Tulosta ja askartele! Tekeminen vaatii jonkun verran hermoja, varsinkin viimeisiä liimauksia tehdessä, ja näissä malleissa on puutteensa.

Itse tuunasin näitä tulostamalla pohjat riittävän suurina ja tekemällä yhteen tahkoon reiän LED-kynttilälle. Pistelin myös pieniä reikiä, joista valo pääsee loistamaan.

Kaikkein tärkein kysymys

XKCD-sarjakuva luo joulumieltä.

Nollakohta muistuttaa, että ankara koristekritiikki ei välttämättä johda joulurauhaan. Blogi päivittyy hieman harvemmin seuraavat pari viikkoa.

maanantai 19. joulukuuta 2016

Keskiaikainen käännöskukkanen

Kreikkalainen matematiikka kukoisti kirkkaimmillaan ennen ajanlaskumme alkua, minkä jälkeen taso alkoi laskea. Jotkut pitävät matemaatikko Hypatian traagista kuolemaa vuonna 415 lopullisena päätöksenä kreikkalaiselle matematiikalle. Rooman valtakunnan rappeutuessa sivistyksen painopiste siirtyi itään, Bysantin kautta arabeille. Suuri osa kreikkalaisista teksteistä on säilynyt vain arabiankielisten käännösten ansiosta, ja ne palasivat Eurooppaan vasta keskiajan lopulta alkaen.

Sitä ennen kreikkalaiseen oppiin kuitenkin yhdistettiin tietoa muualta maailmasta — suurin lisäys oli intialainen lukujärjestelmä, joka yhdisti aiempien merkintätapojen parhaat puolet ja nollan. Yksi eri puolilta tulleiden oppien yhdistäjä oli 800-luvulla elänyt Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi, jonka kuvaus intialaisesta merkinnästä levisi myöhemmin Eurooppaan. Hän kirjoitti astronomiasta ja maantieteestä, mutta hänen tunnetuin työnsä käsittelee toisen asteen yhtälöitä. Kirja esittää esimerkkejä ja ratkaisumenetelmiä geometrisine todistuksineen, minkä vuoksi häntä on kutsuttu algebran isäksi. Eikä suotta.

Al-Khwarizmin pääteoksen pitkää nimeä (vapaasti suomennettuna Lyhyt kirja laskemisesta täydentämällä ja tasapainottamalla) en lähde translitteroimaan, mutta avainsana siinä on "palauttaminen; täydentäminen", al-jabr. Kirjoittajan ja teoksen nimet kääntyivät hieman puutteellisesti Euroopassa, muuttuen omiksi sanoikseen. Puhuessamme algoritmeista ja algebrasta viittaamme siis suoraan 800-luvun matemaatikkoon!

keskiviikko 14. joulukuuta 2016

Lisää liikkeen mahdottomuudesta

(Kuva: Niccie King (Flickr). CC-BY 2.0.)

Mainitsin syyskuussa lyhyesti 450 eaa. tienoilla filosofoineen Zenon Elealaisen todistuksesta, jonka mukaan liike on mahdotonta. Palataan tutkimaan asiaa vähän tarkemmin, koska Zenon ei esittänyt ainoastaan yhtä todistusta väitteelleen. Antiikin kreikkalaisilla ei ollut muodollista määritelmää jatkuvuudelle ja raja-arvoille, vaikka niiden intuitiivisesta ymmärryksestä on paljon viitteitä myös matemaattisissa teksteissä — he muun muassa määrittivät joidenkin pyörähdyskappaleiden tilavuuksia lähes integrointia muistuttavalla menetelmällä.

perjantai 9. joulukuuta 2016

Tietokone, osa 9: Suuri todellisuus

Tietokonesarjamme päättyy tähän osaan. Matkamme alkoi pienimmistä osista, joten se on hyvä päättää kaikkein suurimpiin rakennelmiin. Mikä ihmeellisintä, pienikin on yllättävän suurta. Tietojenkäsittelyssä usein hyödyllisimmät ideat ovat periaatteeltaan yksinkertaisimpia, kuten viime kerralla nähtiin erityyppisen tiedon muodossa.

keskiviikko 7. joulukuuta 2016

Tietokone, osa 8: Tekstiä ja kuvia

Viime kerralla rakenneltiin ohjelmia palikoista. Nyt on hyvä hetki lisätä lelulaatikkoon ääntä, kuvaa ja reaalilukuja ennen kuin sarja pääsee loppumaan. Siispä kohti kissavideoita!

maanantai 5. joulukuuta 2016

Tietokone, osa 7: Funktiot

Perjantain ohjelmointitekstissä esitettiin itseisarvofunktion toteutus useammalla ohjelmointikielellä. Funktion määritelmä puolestaan jäi vielä vajaaksi, muuten kuin että se muistuttaa matemaattista vastinettaan. Matemaattinen määritelmä on seuraava:

Funktio on sääntö, joka liittää jokaiseen määrittelyjoukon $A$ alkioon täsmälleen yhden maalijoukon $B$ alkion.

Toisin sanoen funktio ottaa vastaan joitakin parametreja ja antaa niiden pohjalta tuloksen. Muunnetaan tämä osaksi ohjelmaa.

perjantai 2. joulukuuta 2016

Tietokone, osa 6: Ohjelmointi

Viimekertaisen konekieliharjoituksen jälkeen on hyvä siirtyä oikeisiin ohjelmointikieliin. Pieni määrittely lienee paikallaan: ohjelmointikieli on keinotekoinen kieli, jossa on (yleensä) yksinkertainen ja kiinteä kielioppi sekä pieni sanasto. Kielestä riippuen koodi on lähempänä matematiikkaa tai englantia. Kääntäjäksi kutsuttu ohjelma muuntaa koodin konekieliseksi esitykseksi. Ohjelmointikielellä on kaksoistarkoitus olla selkeä sekä koneelle että ihmiselle, ja kiitos ihmisten luovuuden, niitä on ehditty luoda useampia tuhansia, hieman eri tarkoituksiin ja eri ajatusmalleja kannustaviksi.

Tässä osassa esittelen muutaman pääsuuntauksen historian varrelta, siinä missä niitä itse osaan. Loppuun olen lisännyt linkin Code.org -sivuston tunnin mittaiseen ohjelmointitehtävään, joka on aika loistavan oloinen ja visuaalinen tapa tutustua periaatteisiin itse. Aloitetaan!

keskiviikko 30. marraskuuta 2016

Tietokone, osa 5: Konekieli

Nyt on aika pistää edellisellä kerralla esitelty prosessori tekemään hyödyllistä työtä. Prosessori suorittaa yksinkertaisia käskyjä, jotka on esitetty "konekielellä" — ne on niin ikään esitetty lukuina, joille on annettu tietty merkitys.

Konekieliohjelmointia tehdään nykyään erittäin vähän, koska se on monimutkaista ja vaatii syvällistä ymmärrystä koneen toiminnasta. On paljon järkevämpää käyttää työkaluja, jotka ovat luettavampia ihmiselle ja jotka tuottavat parempaa konekieltä kuin tavalliset kuolevaiset. Konekieli on varattu käyttöjärjestelmien ja ohjelmointikielten kehittäjille — sekä meille, jotka syvennymme prosessorin toimintaan.

maanantai 28. marraskuuta 2016

Tietokone, osa 4: Mitä tietokoneeseen kuuluu?

(NASA:n insinöörejä IBM 7094 -tietokoneen ääressä vuonna 1966.)

Viime viikolla kävimme läpi matemaattisia perusteita, joiden päälle tietokone rakentuu. Tällä viikolla on aika pistää ne hyötykäyttöön. Tässä osassa käymme (pintapuolisesti) läpi tietokoneen historian ja perusosat, jonka jälkeen siirrymme ohjelmoimaan koneen omalla kielellä. Viikon lopuksi siirrymme ihmisen luettavaksi kelpaaviin kieliin. Jatketaan!

perjantai 25. marraskuuta 2016

Tietokone, osa 3: Negatiiviset luvut

Viime osan lopuksi vihjasin, että ympäripyörähtävät luvut käyttäytyvät hyvin kummallisesti. Auton matkamittari pyörähtää miljoonan kilometrin sijaan nollaksi, mutta sen ei odoteta pystyvän esittämään negatiivisia kilometrejä. Tietokoneessa miinusmerkit ovat kuitenkin välttämättömiä, ja siksi $127+1$ voikin olla $-128$!

keskiviikko 23. marraskuuta 2016

Tietokone, osa 2: Yhteenlasku

Edellisellä kerralla aloitimme pohjalta tutustumalla loogisiin piireihin ja binäärilukuihin. Tänään siirrymme seuraavalle tasolle: tietokoneemme alkaa käsitellä luonnollisia lukuja ja laskea niitä yhteen.

maanantai 21. marraskuuta 2016

Rakennetaan tietokone!

Olen silloin tällöin ollut tilanteessa, jossa päädyn selittämään tietokoneen toimintaperiaatetta (normaali ruokatunti Clasussa!). Tietokoneita on kaikkialla, mutta ne ovat eräänlaisia mustia laatikoita, joiden toimintaperiaate on mystinen salatiede. Näin ei ole. Tietokone on pohjimmiltaan äärimmäisen yksinkertainen laite, ja tämä sarja tulee esittelemään sen alkeista ylöspäin.

Matkamme jakautuu yhdeksään osaan kolmen viikon varrella. Tällä viikolla käydään läpi perusteita, joista matematiikka ja logiikka tietokoneen sisällä saavat alkunsa. Ensi viikolla näistä kootaan yksinkertainen tietokone, ja viimeisellä viikolla palasista muodostetaan jokaisen tuntema kokonaisuus. Yritän myös sisällyttää jokaiseen osaan pari tehtävää niille, joilla on aikaa ja kiinnostusta. Viikot ovat jokseenkin erillisiä, joten jokaiselle pitäisi löytyä jotain, toivottavasti.

Jotta sarja pysyisi mielekkäänä, käsittelemme erittäin yksinkertaistettua versiota tietokoneesta. Käsittelemme ohjelmointiakin varsin pintapuolisesti — algoritmien perusteista saisi kasattua toisen samanlaisen sarjan. (Josta voin olla kiinnostunut, jos sille on lukijoita!) Tämä ei opeta rakentamaan tietokonetta tai ymmärtämään Exceliä, mutta ehkä se raottaa hieman verhoa. Aloitetaan!

torstai 17. marraskuuta 2016

Lukuvinkki: Kirjeitä nuorelle matemaatikolle

Vajaat puoli vuotta sitten minut julistettiin ylioppilaaksi, ja MAOL-Pirkanmaa onnitteli koemenestyksestä kirjastipendin muodossa. Tämä kirja oli Ian Stewartin Kirjeitä nuorelle matemaatikolle (suom. Juha Pietiläinen, Terra Cognita 2007). Osoittautui (taas kerran), että opettajat tietävät mitä tekevät kannustaessaan matemaattista uraa harkitsevia.

Kuten kirjoittaja, matematiikan professori Warwickin yliopistossa, itsekin huomauttaa, teos on eräänläinen jatko-osa G. H. Hardyn Matemaatikon apologialle (julkaistu 1940). Hardy itse perusteli matematiikan harjoittamista sen kauneuden vuoksi, ja erityisesti korosti lukuteorian täydellistä hyödyttömyyttä maailmansotien keskellä. (Ja oli väärässä, kuten pari vuosikymmentä myöhemmin nähtiin.)

Stewartin teos on kirjoitettu lyhyiksi kirjeiksi, jotka on osoitettu kuvitteelliselle Megille. Kaksikymmentäyksi kirjettä alkavat Megin päätöksestä opiskella matematiikkaa ja päättyvät tämän yliopistovirkaan. Matkan varrella Stewart esittää huomioita omista kokemuksistaan yliopistomaailmassa, yliopistomatemaatikon työstä ja syistä ryhtyä matemaatikoksi. Joukossa on kannustuksen ja hyvien havaintojen lisäksi hyväntahtoista huumoriakin — kohderyhmä voi kokea matikkavitsit jopa hauskoiksi.

Itse luin tämän kirjan heti ylioppilasjuhlia seuraavina päivinä ja vaikutuin. Oma päätökseni oli siinä vaiheessa jo selvä, ja teos vain vahvisti sitä. Toisaalta se herätti ajattelemaan myös akateemisen maailman ongelmia, mutta myös matematiikan filosofista puolta. Stewart itse korostaa useampaan kertaan matematiikan kauneutta, mikä on inspiroinut minua yrittämään itsekin. Pidän tekstin ansiona sen keveyttä, joka jättää jatkoajattelemisen lukijan tehtäväksi, ja toisaalta mahdollistaa selailun koska tahansa.

Matemaattista alaa harkitsevan kannattaa, tai oikeastaan pitää, lukea tämä kirja.

Syksyn ylioppilastulokset julkistetaan huomenna. Blogi puolestaan ottaa seuraavat kolme viikkoa käänteen tietojenkäsittelyn perusteisiin vastatakseen kysymykseen, miten tietokone toimii.

tiistai 15. marraskuuta 2016

Pieniä suuria todistuksia

Matematiikka on parhaimmillaan erittäin tiivis tiede. Väitteen voi todistaa vääräksi esittämällä lyhyen vastaesimerkin ja useimmat perussäännöt voidaan todistaa muutamalla lauseella. Tämä heijastuu myös matemaattisiin artikkeleihin.

Yksi tunnettu esimerkki lyhyestä todistuksesta julkaistiin vuonna 1966. Kiitos avointen julkaisuarkistojen, se on vapaasti luettavissa. Kyseessä on juurikin vastaesimerkki, ja vapaahko käännökseni menee näin:

Vastaesimerkki Eulerin konjektuuriin [valistuneeseen arvaukseen] samojen potenssien summasta

Suora haku CDC 6600 -tietokoneella tuotti lausekkeen \[ 27^5 + 84^5 + 110^5 + 133^5 = 144^5 \] pienimpänä tapauksena, jossa neljä viidettä potenssia tuottavat viidennen potenssin. Tämä on vastaesimerkki Eulerin konjenktuuriin, jonka mukaan täytyy laskea yhteen ainakin $$n$$ $$n$$:tä potenssia $$n$$:n potenssin saavuttamiseksi, kun $$n>2$$.

Puoli sivua, ja siitäkin puolet otsikkoon ja yhden lähteen luetteloon! Yksi esimerkki riittää todistamaan, ettei ehto olekaan voimassa — neljän luvun yhteenlaskeminen riitti, vaikka 1700-luvulla Leonhard Euler veikkasi tarvittavan viisi.[1]

Ehkä lyhyimpänä todistuksena voitaisiin pitää John Conwayn ja Alexander Soiferin vuonna 2005 julkaistua artikkelia. Se käsittelee tasasivuisen kolmion peittämistä pienemmillä kolmioilla. Jos ison kolmion sivun pituus on $$n$$, pieniä kolmioita tarvitaan $$n^2$$ (tarkista vaikka itse!) kappaletta. Artikkeli tarkastelee tilannetta, jossa ison kolmion sivu ei olekaan tasaluku.

Voiko $$n^2 + 1$$ tasakylkistä yksikkökolmiota peittää tasakylkisen kolmion, jonka sivu $$>n$$, vaikkapa $$n+\epsilon$$?

$$n^2+2$$ voi: [kaksi kuvaa]

Koko tarina on luettavissa niin ikään vapaasti. Kirjoittajien tavoitteena oli tehdä ennätys artikkelin lyhyydessä, mutta julkaisija ei lämmennyt ajatukselle. Lyhyen väännön jälkeen teksti julkaistiin täytemateriaalina... lehden pidentämänä versiona.


[1] Vitsin mukaan matemaattiset löydöt nimetään toisen löytäjän mukaan, koska muuten lähes kaikki olisi nimetty Eulerin mukaan. Lista hänen mukaansa nimetyistä asioista on kieltämättä pitkä, mutta sitä voinee odottaa historian ehkä tuotteliammalta matemaatikolta.

perjantai 11. marraskuuta 2016

Mahdottomat ratkaisut

(Näillä ympyrällä ja neliöllä on vain likimäärin sama pinta-ala.)

Viime kerralla esitellyt kolme klassista ongelmaa työllistivät matemaatikkoja parin vuosituhannen ajan. Niiden ratkaiseminen itsessään ei ollut mahdotonta: jo antiikin kreikkalaiset tiesivät menetelmiä, joilla ne pystyttiin ratkaisemaan tehokkaasti. Näihin ratkaisuihin kuitenkin liittyi liikkuvia janoja, spiraaleja ja muita tekniikoita, joita ei voinut toteuttaa pelkästään harpilla ja viivaimella.

Tehtävä oli selvä: joko nämä ratkaisutavat oli johdettava lähtöoletuksista, tai ongelmat todistettava mahdottomiksi vain niitä käyttäen. Jälkimmäinen tapahtui. Matematiikka on siitä hieno laji, että asioiden todistaminen mahdottomaksi on mahdollista. (Mainittakoon, että tästä huolimatta matematiikan laitokset ympäri maailman saavat ilmeisen paljon postia henkilöiltä, jotka ovat "ratkaisseet" jonkun klassisista ongelmista.)

keskiviikko 9. marraskuuta 2016

Kreikkalaisten päänvaivoja

(Säännöllistä seitsemänkulmiota ei voi piirtää käyttäen vain harppia ja viivainta.)

Viime kerralla tutustuimme Eukleideen jäsentämään geometriaan. Vaikka kreikkalaiset ottivatkin ensimmäisinä käyttöön loogisen menetelmän, hekään eivät osanneet ratkaista kaikkia ongelmia. Niiden kanssa painiessaan he loivat paljon uutta, mutta he eivät osanneet päästää irti kaikista rajoituksistaan.

Ensimmäinen isku kreikkalaisille tuli kuitenkin jo aikaisemmin.

maanantai 7. marraskuuta 2016

Harppi ja viivain

(Tasasivuisen kolmion piirtäminen harpilla ja viivaimella.)

Geometria syttyi kukoistukseensa antiikin Kreikassa. Aiemmat kansat olivat kyllä mitanneet kuvioita ja tehneet oikeaoppisia päätelmiä, mutta geometria ei vielä loistanut tieteenalana. Muinaiset babylonialaiset ja egyptiläiset, kummatkin jo 3000-2000 eaa. alkaen, osasivat laskea kolmion alan ja tunsivat Pythagoraan lauseen. Toisaalta vaikkapa nelikulmion alan laskemiseen oli mitä luovimpia päin paikallista puulajia olevia kaavoja.

Luultavasti kaikkien aikojen tunnetuin geometrikko on Eukleides Aleksandrialainen. Eukleideesta tiedetään hyvin vähän — hän vaikutti vuoden 300 eaa. tienoilla Aleksandriassa, jossa hän ilmeisesti opetti yliopistoa muistuttavassa laitoksessa. Kaikki elämäkerrallinen tieto on kirjattu vasta vuosisatoja myöhemmin. Se, mitä hänestä on jäänyt jäljelle, ovat hänen kirjansa. Hänen tutkielmansa peileistä ja perspektiivistä ovat säilyneet, mutta kartioleikkauksista kertovat työt ovat kadonneet. Hänen päätyönsä on kuitenkin oppikirjaksi luotu Alkeet.

Alkeet (muinaiskreikaksi Stoikheia, latinaksi Elementa) on matematiikan historian bestseller. Sitä käytettiin oppikirjana aina 1900-luvun taitteeseen asti, koska sen 13 kirjaa käsittävät lähes kaiken aikanaan tunnetun matematiikan geometriasta lukuteoriaan. Eukleides ei itse keksinyt kuin joitakin todistuksia: hänen saavutuksensa oli tiedon järjestäminen yhdeksi loogiseksi järjestelmäksi.

torstai 3. marraskuuta 2016

Loogisesta kielestä

(Kuva: Jo Naylor (Flickr). CC-BY 2.0.)

Matematiikan ja arkielämän kielet eivät aina kohtaa: Vaikkapa kysymykseen "Otatko teetä tai kahvia?" pätevä vastaus on "Kyllä." Niin ikään loogikko voi luvata pysyvänsä kirkkaana päivänä sisätiloissa sanomalla "Jos huomenna sataa, en mene rannalle."

tiistai 1. marraskuuta 2016

Veikkaamalla voi voittaa

Arvostettu fyysikko Enrico Fermi (1901–1954) tuli tunnetuksi paitsi ydinpommiin johtaneesta tutkimuksestaan, myös hyvistä arvauksistaan. Fermin menetelmäksi kutsutaan tapaa, jossa arvio tuotetaan laskemalla suuntaa-antavilla arvauksilla. Kun arvaukset ovat edes sinnepäin, niissä olevat virheet kumoavat toisensa, ja lopputulos on yllättävän hyvä!

Menetelmää voi käyttää menestyksekkäästi vaikkapa kokeessa ennen todellisen ratkaisun tekemistä, kunhan muistaa sen tuottavan vain osapuilleen oikean suuruusluokan. Otetaan pari esimerkkiä.

keskiviikko 26. lokakuuta 2016

Lukuvinkki: Signaali ja kohina

(Kuva jenkkipokkariversiosta.)

Nate Silver on yksi aikamme merkittävistä tilastotieteilijöistä. Hänen tilastollisia ennusteita tekevä FiveThirtyEight-sivustonsa nousi otsikoihin vuonna 2012, kun sen ennuste Yhdysvaltain presidentinvaaleista osui oikeaan... jokaisessa osavaltiossa. Sivusto erottuu muista vastaavista siinä, että se ei peittele tilastojen epävarmaa luonnetta. (Suosittelen vilkaisemaan tämänhetkistä vaaliennustetta — on nimittäin paljon kovaa dataa!)

Silver on menestyksestään huolimatta ensimmäinen sanomaan, ettei häneen tai muihin ennusteentekijöihin kannata luottaa sokeasti. Ennusteella kävi säkä: todennäköisyys kaikkien osavaltioiden nappiinosumiseen oli vain parikymmentä prosenttia. Ennusteiden pohja todennäköisyyksissä ja niiden sisäsyntyinen epävarmuus on helppo ohittaa, ja Silverin menestysteos The Signal and the Noise (Penguin Books, 2012) taistelee näitä harhakäsityksiä vastaan. Teos on saatavilla myös suomennettuna.

maanantai 24. lokakuuta 2016

Synttärit samana päivänä

Ala-asteen luokkakaverillani oli sama syntymäpäivä kuin minulla. Olet luultavasti itsekin ollut samankaltaisessa tilanteessa: jollain tuttavallasi on yhteinen syntymäpäivä sinun tai muun tutun kanssa. Aika lailla joka toisessa koululuokassa on tällainen pari.

torstai 20. lokakuuta 2016

Suuri muutos pienessä riskissä

Kuva: xkcd

On matemaattinen fakta, että kesän kolmas rantareissu kasvattaa todennäköisyyttä joutua käsiase suussa uivan koiran uhriksi peräti 50 prosentilla. (Vielä pahempaa, kesän toinen reissu kasvattaa sitä sadalla prosentilla!)

Tuskin kukaan meistä kuitenkaan välttää rannalle menoa juuri siitä syystä — riskihän on aivan naurettavan olematon! Valitettavasti tuolla sarjakuvalla on silti tiukat juuret todellisuudessa: on tapauksia, joissa suuri muutosprosentti on ajanut ihmisiä raiteiltaan. Tässä on niistä yksi.

tiistai 18. lokakuuta 2016

Pitkien vanhempien vähemmän pitkät lapset

Amerikkalaisurheilijoiden piirissä kiertää legenda, jonka mukaan Sports Illustrated -lehden kanteen pääseminen/joutuminen johtaa tulosten huononemiseen. Mikä pahinta, niin näyttää oikeasti tapahtuvan ja sille on matemaattinen selitys!

Mietitäänpä, mitä lehden kanteen pääseminen vaatii: erittäin loistavia suorituksia. Mitä loistavat suoritukset vaativat? Lahjakkaita urheilijoita. Kaikkien lahjakkaiden urheilijoiden joukosta paras löytyy... käytännössä sattumalta.

Nyt tapahtumaketju on selkeä. Urheilijalla on sattumalta hyvä muutaman pelin putki. Sports Illustrated tekee hänestä kansikuvajutun. Seuraavissa peleissä onni ei suosikaan, vaan pelaaja palaa normaalille tasolleen tai jopa alemmaksi. Urheilumedian syytä?

Ilmiö on tunnettu jo toistasataa vuotta, ja sillä on vaikutuksia myös tutkimukseen. Alkujaan sen havaitseminen liittyi kuitenkin kysymykseen lasten pituudesta.

perjantai 14. lokakuuta 2016

Näin media johtaa sinua harhaan - katso kuvat!

Tässä muutama tapa muokata tietoja klikkiotsikkoon tai mainokseen sopivammiksi, kätevässä kuvitetussa listamuodossa. Pääsääntöisesti suomalaismediassa toiminta on hyvää ja siistiä, mutta aina silloin tällöin sekaan pujahtaa virhe. Välillä virheitä tehdään tarkoituksellisestikin, joko mainonnan tai vaikuttamisen vuoksi.

On hyvä huomata, että vain yksi esimerkeistä on tuore, ja että en jaksanut etsiä selkeitä mallikappaleita läheskään kaikista. Sitä voinee pitää hyvänä uutisena!

Toistan vielä: Nämä, varsinkin itse tekemäni, ovat kärjistettyjä esimerkkejä.

keskiviikko 12. lokakuuta 2016

Paranormaali Eila-mummi

Eila Roineella on näkijän kykyjä.

Palatkaamme ajassa taaksepäin yli kymmenen vuotta. Pieni minä, autuaan tietämättömänä tulevasta, tuijotan Pikku Kakkosta. Ruutuun ilmestyy ihana Eila-mummi, tervehtii katsojia ja tokaisee siinä sivussa: "Ja eipäs pyyhitä nenää hihaan siellä."

Voitte arvata, mitä tein juuri sillä hetkellä.

Tästä voi vetää kaksi erilaista johtopäätöstä. Voimme todeta Roineen olevan näyttelemisen lisäksi paranormaalit kyvyt hallitseva teräsmummo. Varsin hyvä vaihtoehto, mutta matikkabloggarin olisi paha sortua moiseen päätelmään.

Kuinka moni muistaa sen jakson, kuinka moni kirjoittaa blogeja siitä kuinka sympaattinen televisiomummo syyttelee kiltisti istuvia lapsia? Ihmisen muisti ei riitä rekisteröimään kaikkea, ja tuollaisen tapauksen mieleenjäämiseen tarvitaan enemmän, kuten minulle kävi.

Samaa logiikkaa voidaan käyttää erilaisten paranormaalien ilmiöiden, vaikkapa ennakkoaavistusten lyttäämiseen. Jos ajattelet jotakuta, joka yllättäen soittaa muutaman minuutin kuluttua, tapaus jää mieleen — siitä puhumattakaan jos hänelle on tapahtunut jotain suurempaa. Mutta et luultavasti muista kaikkia, joita ajattelit toissa viikon torstaina. Suomen kokoisessa väestössä jo sattuma riittää aiheuttamaan lukuisia "paranormaaleja" ilmiöitä päivässä, lasten pahat tavat tuntevasta juontajasta puhumattakaan.

Onko sinulle jäänyt mieleen vastaavanlainen tapaus? Kirjoita mieluummin tuohon alapuolelle kuin Ultraan! Noloista lapsuusmuistoista voimmekin siirtyä takaisin tilastoihin — heti ensi kerralla.

maanantai 10. lokakuuta 2016

Lukuvinkki: Älyllisen itsepuolustuksen pikakurssi

Oletko nähnyt jonkin ylläolevan kaltaisen kuvan, jossa pieni ero kasvaa valtavan näköiseksi? Jos olet, onnittelut: älyllinen itsepuolustuksesi on havainnut sen.

Lukiollani oli äidinkielen tietotekstikurssi, jolle en aikataulusyistä koskaan päässyt (ja joka sittemmin lopetettiin säästösyistä — ironista). Paitsi että kurssilaiset kehuivat kurssia itseään, he suosittelivat erästä kurssilla ollutta kirjaa: Normand Baillargeonin Älyllisen itsepuolustuksen pikakurssia (niin & näin, 2011). Se oli pitkään lukulistallani, mutta unohtui muiden kiireiden alle. Onneksi muutama viikko sitten törmäsin siihen kirjastossa. Se oli hyvä lukukokemus, jonka aiheista haluan puhua muutaman seuraavan tekstin verran.

perjantai 7. lokakuuta 2016

Väliraportti ja lupaus tulevasta

Pidän sarjoista sekä matemaattisessa mielessä että blogin kannalta. Sarjan kirjoittaminen on palkitsevaa, koska muutamalla istumalla saa aikaiseksi parin viikon edestä tekstiä, ja aihetta voi käsitellä monelta kantilta lyhyissä paloissa. Tähän mennessä olen käsitellyt rahapelien todennäköisyyksiä sekä äärettömyyksiä, ja ensi viikosta lähtien keskityn jonkin aikaa numerotaitoihin.

Aihelistalla odottaa monia yksittäisiäkin juttuideoita, mutta ne saavat jäädä vielä hetkeksi — yhdestä kirjasta syntyi liian monta ideaa. Otan mieluusti vastaan palautetta tästä lähestymistavasta, ensimmäisestä kuukaudesta ja muusta mitä mieleen tulee. Myös siitä, ovatko matikkavitsit huonoja vai todella huonoja. Tässä yksi, joka liittyy erittäin löyhästi ensi viikon teemaan.

— Missä kuukaudessa on 28 päivää?
— Kaikissa niistä.

keskiviikko 5. lokakuuta 2016

Miksi ympyrässä on 360 astetta?

(Noin 1800 eaa. peräisin oleva babylonialainen savitaulu, jossa on suorakulmaisen kolmion sivujen pituuksia. Wikimedia Commons.)

Yksi kokonainen on 100 prosenttia, 100 senttiä on euro taikka metri ja 1000 metriä on kilometri. Lukujärjestelmämme perustuu kymmeneen ja sen kerrannaisiin. Kuitenkin tunnissa on 60 minuuttia ja ympyrässä 360 astetta. Mistä tällainen poikkeus?

lauantai 1. lokakuuta 2016

Lukuvinkki: Things to Make and Do in the Fourth Dimension

(Oma kopioni kirjasta on jenkkiversio: alkuperäinen brittiteos näyttää hieman erilaiselta.)

Sarja äärettömyydestä on hyvä päättää kertomalla loistavasta lähteestä lisätiedolle. Matt Parkerin Things to Make and Do in the Fourth Dimension (mikä sanahirviö!) on sellainen, vaikka äärettömyys muodostaa vain pienen osan teoksesta.

torstai 29. syyskuuta 2016

Eräs iso luku

Menneen puolentoista viikon aikana olemme leikkineet äärettömyydellä sekä suuressa että pienessä merkityksessä. Ääretön on tavoittamattomissa, jotain mitä ei voi edes yrittää konkreettisesti ajatella. Paljon parempi tapa räjäyttää mielensä on tutkia jotakin pienempää, vaikkapa Grahamin lukua.

tiistai 27. syyskuuta 2016

Kiinnostavista luvuista

Lievä kevennys matemaatikkohuumorin merkeissä. Anteeksi jo etukäteen.

Väite: Kaikki luvut ovat kiinnostavia.

Todistus: Tehdään vastaoletus: on olemassa pienin (ei-negatiivinen) tylsä luku. Mutta hei, sehän olisi aika kiinnostavaa!

Tsemppiä kaikille, jotka huomenna istuvat matematiikan ylioppilaskokeessa! Toivottavasti tulee kiinnostavia tehtäviä!

sunnuntai 25. syyskuuta 2016

Sisukkaasti etenevä sarja

Päivän kysymys: kummalla näistä loputtomista lukujonoista on suurempi summa?

\[ \begin{align*} A &= 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \ldots\\ B &= 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \ldots \end{align*} \]

Kuten kysymyksen asettelusta saattaa arvata, vastaus ei ole B. Oikeastaan "suurempi" ei ole oikea sana, koska kummankin summa on ääretön. Kysymys onkin, miksi A, jonka termit pienenevät nopeasti kohti nollaa, on suuruudeltaan ääretön.

torstai 22. syyskuuta 2016

Hajaantukaa, täällä ei ole mitään nähtävää

Kuinka paljon on $$A = 1 - 1 + 1 - 1 + \ldots$$?

Helppoa: $$A = (1 - 1) + (1 - 1) + \ldots = 0$$.

Toisaalta: $$A = 1 + (-1 + 1) + (-1 + 1) + \ldots = 1$$.

Ja vielä pahempaa, kun lasketaan $$A + A$$ pienellä twistillä:

\[ \begin{align*} 1 - &1 + 1 - 1 + \ldots\\ + \, &1 - 1 + 1 - \ldots \end{align*} \]

$$2A = 1$$ eli $$A = \frac{1}{2}$$! Jotenkin ihmeellisesti kokonaisista ykkösistä saatiin puolikas!

Mikä sitten on oikea vastaus? Ei mikään. Kyseessä on hajaantuva sarja, jollaiselle ei voida määrittää summaa. Suurin osa vuosisatojen varrella kehitetyistä summausmenetelmistä päätyy lopputulokseen $$\frac{1}{2}$$, mutta sekään ei tarkoita että vastausta olisi olemassa. Jos jokin pitäisi valita, puolikas olisi luultavasti paras vaihtoehto.

Tämän sarjan esitti matematiikan professoriksi edennyt italialaismunkki Guido Grandi vuonna 1703. Omassa käsittelyssään hän päätyi siihen, että tulos oli paitsi puolikas, ristiriita myös todisti maailman luomisen tyhjästä. Siitä kohtaa todistusta kyllä puuttui välivaihe tai kaksi.

Ensi kerralla: tasapainoilemme äärettömyyden rajoilla.

maanantai 19. syyskuuta 2016

Tarpeeksi lähelle kun menee...

Tällä väitteellä saa sopivanlaisessa porukassa aikaan keskustelua:

\[ 0.999\ldots = 1 \]

Kuinka niin siinä voi olla yhtäsuuruusmerkki? Ensimmäinen alkaa nollalla ja toinen ykkösellä! Kyllähän ne voivat olla äärettömän lähellä toisiaan, mutta eivät kai ne sama luku voi olla?

Kyllä vaan voivat.

lauantai 17. syyskuuta 2016

Hilbertin suurehko hotelli

Ensinnäkin, pieni huomautus. Hilbertin hotelli on erittäin klassinen esimerkki, joka esiintyy jotakuinkin jokaisessa populaarimatematiikkaa käsittelevässä kirjassa. Mikäli olet korviasi myöten täynnä Hilbertin hotellia, voit esimerkiksi pelata Christian Lawson-Perfectin alkulukupeliä. Oikeastaan, sitä kannattaa pelata muutenkin.

Tällä ja muutamalla kertaa hyppäämme äärettömyyksien jännittävään maailmaan. Vaikka en kovin syvälle siihen osaa johdattaakaan, aihe on mielestäni äärettömän (anteeksi) monipuolinen ja kiehtova, ajoittain arkijärjen vastainen mutta silti täydellisen looginen. Ensimmäinen kysymys: kuinka suuri on ääretön?

keskiviikko 14. syyskuuta 2016

Yksinkertaisuudessaan kaunis todistus

Seuraavan erinomaisen todistuksen on luonut Dov Jarden. Vapaasti suomennettuna se menee näin:

Yksinkertainen todistus, että irrationaaliluku korotettuna irrationaaliseen potenssiin voi olla rationaalinen.

$$\sqrt{2}^{\sqrt{2}}$$ on joko rationaalinen tai irrationaalinen. Jos se on rationaalinen, väite on tosi. Jos se on irrationaalinen, $$(\sqrt{2}^{\sqrt{2}})^{\sqrt{2}} = 2$$ todistaa väitteen.

Tämä on aivan nerokas tapa todistaa väite. Riippumatta siitä, onko $$\sqrt{2}^{\sqrt{2}}$$ rationaalinen, lauseke saadaan muokattua väistämättä rationaaliseksi:

  1. Tiedetään, että $$\sqrt{2}$$ on irrationaalinen --- sitä ei voi kirjoittaa murtolukuna.
  2. Tällöin $$\sqrt{2}^{\sqrt{2}}$$ on irrationaaliluku korotettuna irrationaaliseen potenssiin.
  3. Jos $$\sqrt{2}^{\sqrt{2}}$$ on rationaalinen, väite on tosi.
  4. Jos se ei ole, $$\sqrt{2}^{\sqrt{2}}$$ on irrationaalinen.
  5. Tällöin $$(\sqrt{2}^{\sqrt{2}})^{\sqrt{2}}$$ on irrationaaliluku korotettuna irrationaaliseen potenssiin.
  6. Se on kuitenkin rationaaliluku $$\sqrt{2}^2 = 2$$. Väite on tosi.

Kyseessä on eksistenssitodistus, joka todistaa väitteen, muttei ota kantaa kummalla ylläolevista tavoista. Tällaisten ratkaisujen takia pidän matemaattisesta todistamisesta!


  • Muilla keinoilla voidaan osoittaa, että $$\sqrt{2}^{\sqrt{2}}$$ on irrationaalinen. Se on myöskin transkendentti: se ei ole minkään rationaalikertoimisen polynomin nollakohta.

maanantai 12. syyskuuta 2016

Lukuvinkki: Cracking Mathematics

Luin hiljattain brittiläisen Colin Beveridgen tuoreen kirjan Cracking Mathematics (Octopus Books, 2016). Teos teki minuun todella syvän vaikutuksen, ja siksi se tuntuukin hyvältä valinnalta tämän blogin ensimmäiseksi lukuvinkiksi.

perjantai 9. syyskuuta 2016

Onko odotusarvo pätevä mittari?

Kahden viimeisen jutun aikana olemme käsitelleet odotusarvoa eli keskimääräistä tulosta. Odotusarvossa on kuitenkin puutteensa, joiden takia se ei sellaisenaan kelpaa päätöksentekoon.

keskiviikko 7. syyskuuta 2016

Kannattaako Lotto tuplata?

Päivitys 16.2.2017: Loton säännöt uudistuivat joulukuun 2016 vaihteessa. Analysoin uuden pelin eroa aiempaan tekstissä Kuka voittaa uudessa Lotossa?. Allaoleva teksti noudattaa aiempia, julkaisuhetkisiä sääntöjä. Johtopäätös siitä, kannattaako peli tuplata, pätee tosin edelleen.


Viimeksi tutkimme Lomatonni-pelin odotusarvoa. Huomasimme, että pelissä häviää väistämättä pitkällä juoksulla, mutta suuren voiton mahdollisuus saa meidät pelaamaan. Lomatonni on kuitenkin pieni ja yksinkertainen peli: siinä on vain 6000 vaihtoehtoa ja suurin palkinto on tuhat euroa. On aika siirtyä lauantai-illan Lottoon.

maanantai 5. syyskuuta 2016

Lomatonni ja odotusarvo

Erilaiset rahapelit ovat klassinen aihe todennäköisyyslaskennassa ja varsinkin sen opettelussa. Muutaman seuraavan jutun aikana aion esitellä joitakin peruskäsitteitä rakkaan rahapeliyhtiömme Veikkauksen pelien kautta. Aloittakaamme ensiksi ihan yksinkertaisesti. Tähän tarkoitukseen sopii erinomaisesti uudehko Lomatonni-peli.

perjantai 2. syyskuuta 2016

Kuusi kertaa kuusi on kuusi

Aloitetaan pienellä hypyllä lukuteorian ihmeelliseen maailmaan. Kokeile ottaa kaksi kuutoseen päättyvää (kokonais)lukua, ihan niin isoja tai pieniä kuin haluat, ja kerro ne keskenään. Mihin numeroon tulos päättyy? (Jos otit niin isot luvut, että laskimesi sanoo OVERFLOW, kokeile vähän pienemmillä luvuilla.)

Tervetuloa

Nollakohdat ovat niitä muuttujan $$x$$ arvoja, joilla yhtälö $$f(x) = 0$$ toteutuu.

Nollakohta on blogi matematiikasta. Sen tarkoitus on jakaa matematiikan ilosanomaa mahdollisimman monelle, keinoinaan osa-alueet joista koulussa ei puhuta, historian ja henkilöiden liittäminen teorioihin, muuten vain hämmästyttävät havainnot ja yleisen rento suhtautuminen. Tai se ainakin olisi tavoite. Suomenkielisiä matikkablogeja on harmittavan vähän, joten siinäkin suhteessa tässä on jotain.

Aion julkaista tekstejä pari kertaa viikossa. Ensimmäisinä ohjelmassa on muun muassa todennäköisyyksiä, äärettömyyden ilmentymiä, havaintoja lukuteoriasta sekä muutama tarina matematiikan historiasta. Lisäksi aion vinkata lisää luettavaa matematiikasta kiinnostuneille.

Vaikka eniten tästä blogista saavat irti jo matematiikasta kiinnostuneet suunnilleen lukioikäiset, pyrin pitämään kirjoitukset lähestyttävinä kenelle tahansa muullekin. Mitään suurempia ennakkotietoja ei tarvitse olla, enkä vaadi ratkaisemaan yhtään yhtälöä. Olen itsekin vasta alussa matkallani syvemmälle matematiikkaan, ja haluan jakaa kokemuksiani!

Tervetuloa mukaan!