torstai 22. helmikuuta 2018

Piin loputtomat desimaalit

Pii, tuo matematiikan kansikuvakasvo. Suunnilleen kaikki tietävät, että piin desimaalit jatkuvat loputtomiin ilman mitään kuviota. Jotkut opettelevat sitä ulkoa huvikseen. Jotkut syövät piirakkaa kansainvälisenä piipäivänä (epäkansainväliseen malliin 14.3., tosin itse suosin heinäkuuta).

Paitsi että pii on irrationaalinen eli loputon ja toistumaton, se on transsendentti. Se meinaa, että sitä ei voi laskea minkään helpon (tekniselle helpon määritelmälle) polynomin avulla. Siksi sen laskemiseen on monia kiinnostavampia tapoja. Tapoja, joiden ansiosta desimaaleja tunnetaan biljoonittain.

Tämä on yksi niistä harvoista matemaattisista aiheista, joissa käytännön tarpeet tyydytettiin kokonaan jo vuosisatoja sitten. Miljoonilla desimaaleilla ei tee yhtään mitään, ei edes sadoilla. Linnunradan kokoisen ympyrän halkaisijan voisi laskea protonin tarkkuudella käyttäen vain neljääkymmentä desimaalia. Tämäkin vastaa pelkästään teoreettisten tähtitieteilijöiden ja ehkä Elon Muskin tarpeisiin.

Elon Musk tahtoo vain rakennella raketteja.

Kuitenkin piin laskemisen tarina tarjoaa kiinnostavan poikkileikkauksen matematiikan historiasta.

keskiviikko 14. helmikuuta 2018

Miksei nollalla saa jakaa?

Ai miksikö nollalla ei saa jakaa? No ensinnäkin siksi, että niin ei saa tehdä. Toisekseen siksi, että kuvahaku sanalle "division by zero" tuottaa tämän tuloksen:

Google-kuvahaku: division by zero

Mikäli asia tuli tästä selväksi ja olisi parempaakin tekemistä, voit lopettaa lukemisen nyt. Helppoa! Mutta jos "siksi" ei kelpaa vastaukseksi, katsotaanpa asiaa hieman tarkemmin...

torstai 8. helmikuuta 2018

Yhteenlaskun salattu elämä

Liitutaululla kysymys: 1+1=2, mutta mitä tarkoittaa plus?

Ensimmäisenä matikasta tulee mieleen laskeminen. Matematiikan laitoksella aktiviteettina on kaikki paitsi laskeminen. Nyt kuitenkin lasketaan, mutta matemaatikon tapaan.

Matemaatikontaimi laskee $1+1=2$. Muutaman vuoden koulutuksen jälkeen otetaan askel käsitteellisempään suuntaan. Nyt paperissa lukeekin $1+x=2$ ja tehtävänä olisi selvittää $x$. Tämä hupi tunnetaan myös algebrana. Yliopistomatematiikassa askelia otetaankin sitten maratonin verran. Kun päästään abstraktiin algebraan, tutkintaan laskutoimituksessa joutuu $+$. Yhteenlasku voi tuntua maailman yksinkertaisimmalta asialta, mutta näin asian ei tietenkään tarvitse olla.

Keksitään näin alkajaisiksi uudentyyppinen yhteenlasku. Siinä missä tavanomainen 3000-luvun eaa. yhteenlasku toimii luvuilla, meidän versiomme toimii sanoilla. Sovitaan että $\oplus$ (kutsutaan tätä vaikka sananlaskuksi) liittää kaksi sanaa toisiinsa suomen kielen sääntöjen mukaisesti. Siis vaikkapa

\[ \text{makkara} \oplus \text{siili} = \text{makkarasiili}. \]

keskiviikko 31. tammikuuta 2018

Kuinka monta lumihiutaletta lumiukossa on?

Jonkin aikaa sitten Twitter-piirissäni käytiin tämänkaltainen keskustelu:

Ah, miten ihastuttava ja vuodenaikaan sopiva kysymys! Kiitos @Dragon_Dodo ja @SamHartburn! Kertauksena siis Fermi-arviolla, jollaisia tässäkin blogissa on sangen monta vilahtanut, tarkoitetaan arviota, joka kasataan kertomalla yhteen monta karkeaa arviota ja toivomalla, että virheet kumoavat toisensa. Mitä pidempi ketju, sitä parempi arviosta teoriassa tulee. (Tällä kertaa ketju tosin pysyy lyhyenä.)

Tämä on siitäkin mukava kysymys, että sitä pohtiessa saa edes kuvitella talvea. Kun aloin kirjoittaa tätä, Helsingissä ei ollut hiutalettakaan lunta. Sitten tuli Lumi-inferno™ (kehäkolmosen ulkopuolisella kielellä: tavallinen talvisää). Sitten lumi suli. Sitten taas... no, tarinan opetus on, että täällä ei ole kauheasti lunta. Siksi tämä koko arvio on tehty sisätiloissa matemaatikolle sopivalla teoreettisella tavalla.

Se ei tietenkään tarkoita, etteikö kokeellinen tutkimus olisi nastaa. Siksipä kannustan kaikkia kykeneviä rakentamaan lumiukon tieteen nimissä!

keskiviikko 24. tammikuuta 2018

Kannattaako Lotto plussata?

KUVAUS

Veikkaus työllistää matikkabloggaria. Olen kirjoittanut, kannattaako Lomatonni, kannattaako Kaikki tai ei mitään, kannattaako Lotto tuplata, kannattaako Lotto tuplata uusin säännöin, ja tässä sitä taas mennään. Uusin uudistus koko kansan suosikkipeliin on tuplauksen korvaaminen hieman erilaisella plussauksella.

Tuttuun tapaan tarkastelen ensin odotusarvoa eli sitä, kuinka paljon keskimäärin voittaa. Sen jälkeen kuitenkin teen jotain, mistä on ollut tarkoitus kirjoittaa jo pitkään: esitän ajatuksen sen puolesta, ettei lottoaminen ehkä olekaan täysin tyhmää. Se muuttaa analyysia merkittävällä tavalla.

torstai 11. tammikuuta 2018

Kuinka Bayesin kaava pelastaa noutajan, tutkijan ja siinä sivussa maailman

KEKSEJÄ

(Yumi/Flickr. CC-BY-NC 2.0.)

Kuvittele vastikään uunista vedetty, lämpöä, makeutta ja rakkautta hehkuva pellillinen vastustamattomia kaurakeksejä. Hetken keittiöstä poissa oltuasi huomaat, että pelliltä on kadonnut muutama suupala. Talossa on lisäksesi kaksi kolmevuotiasta: yksi labradorinnoutaja ja yksi ihmislapsi. Kumpaa syyttäisit?

Astut hieman lähemmäs rikospaikkaa ja huomaat pöydän eteen siirretyn tuolin. Labradori yltäisi pöydälle ilmankin, lapsi ei. Kumpaa nyt syyttäisit?

Kävelet naapurihuoneeseen, jossa lapsi pitää kädessään tuoretta kaurakeksiä, kovin läheisesti kadonnutta muistuttavaa sellaista. Kumpaa nyt syyttäisit?

Ihmisen arkinen päättely perustuu hypoteesien päivittämiseen havaintojen pohjalta. Aluksi lapsi ja koira voivat olla yhtä todennäköisesti syyllisiä, mutta tuoli on vahva aihetodiste ja rysän päältä kiinni jääminen sinetöi tapauksen. Tällainen ajattelu on kovin luonnollista. Saman voi pukea myös matemaattisempaan muotoon, ja silloin puhutaan bayesilaisesta päättelystä. Tässä on yksi työkalu täydentämään viimekertaisia p-arvoja.

maanantai 8. tammikuuta 2018

Mitkä ihmeen p-arvot, ja miksi ne ovat peestä?

Lego-tutkijoita.

(BRICK 101/Flickr. CC-BY-NC 2.0.)

Jos olet perehtynyt tieteelliseen tutkimukseen, olet varmaankin törmännyt p-arvon käsitteeseen ja siihen, kuinka niitä ei oikeastaan pitäisi käyttää. Jos aihe ei satu olemaan ennestään tuttu, tiivistettynä kyse on vuosikymmeniä jatkuneesta kränästä, joka menee osapuilleen näin:

— Tilastotieteilijät: Älkää käyttäkö p-arvoja, ne ovat valheellinen ja epäpätevä mittari!

— Kokeelliset tutkijat: Antaa kuulua parempi tapa.

Tietenkään asia ei ole ihan näin yksinkertainen. Sen ymmärtämiseksi pitää perehtyä siihen, kuinka tiedettä oikein tehdään. Minä tietenkin olen teoreettisena opiskelijana harvinaislaatuisen huono opas, muttei anneta sen haitata, kunhan pidetään mielessä, että kyseessä on yksinkertaistus!